Kezdőlap


Cím:	Szerkesztő postája.
Füzet:	1925/december, 127 - 128. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 80. feladat kiegészitéséül a következőket: $| a_{1} a_{2} + b_{1} b_{2} | = 1$ , ha $a_{1} b_{2} - a_{2} b_{1} = 0$ , azaz: $\frac{a_{1}}{a_{2}} = \frac{b_{1}}{b_{2}} = λ$ . Ha már most az $a_{1}^{2} + b_{1}^{2} = 1$ egyenletbe $a_{1} = λ a_{2}$ , $b_{1} = λ b_{2}$ helyettesítéssel élünk: $λ (a_{1}^{2} + b_{1}^{2}) = 1$ így $λ^{2} = 1$ . Ennélfogva $λ = \pm 1$ , tehát $a_{1} = \pm a_{2}$ és $b_{1} = \pm b_{2}$ .
A geometriai értelmezésben: $cos a_{1} = \pm cos a_{2}$ , és $sin a_{1} = \pm sin a_{2}$ . A $+$ előjel mellett $a_{1} = a_{2}$ , a neg. előjel mellett $a_{1} = a_{2} + π$ , tehát $cos (a_{1} - a_{2}) = - 1$ !

85. Hol a hiba? Egész számok összevonásánál tört számhoz jutunk:

\begin{matrix} x = 1 - 1 + 1 - 1 + 1 - 1 + ... in inf. \\ x = 1 - (1 - 1 + 1 - 1 + ...) \\ x = 1 - x; 2 x = 1; x \frac{1}{2}! \end{matrix}

A beérkezett 26 dolgozat közül Darvas Jenő (Zrinyi Miklós rg. VIII. A. o.) dolgozatának első mondata ad megfelelő választ:
,,Már az első sor hibás, amennyiben az adott sor nem konvergens.''
Az egyenlet jobb oldalán álló sor nem konvergens, nem ad határozott értéket; tehát nem is lehet vele úgy bánni; mint egy bizonyos, meghatározott

x

számmal!
A kérdéses sort nemcsak úgy foghatjuk fel, mint a geometriai haladvány egy esetét, amidőn t.i.

q = - 1

, hanem általában, mint két végtelen, széttartó sorkülőnbségét, t.i.

(1 + 1 + 1 + ...) - (1 + 1 + 1 + ...) = \infty - \infty

Ha a tagokat más rendezésban adjuk össze, végtelent is kaphatunk;
pl:

(1 + 1 - 1) + (1 + 1 - 1) + (1 + 1 - 1) + ...

és így tovább a végtelenig.
Ilyen módon bármely nagy számnál is nagyobbat kaphatunk!
A feladatban követett eljárás helyén lehet akkor, ha konvergens sorral van dolgunk. Így pl. Bernoulli Jakabnál ezt találjuk:

\begin{matrix} x & = \sqrt[]{a \sqrt[]{a \sqrt[]{a ...}}}; & x^{2} = a \sqrt[]{a \sqrt[]{a \sqrt[]{a ...}}} \\ x^{2} & = a x & x = a . \end{matrix}

T. i.

\begin{matrix} x = a^{\frac{1}{2} + \frac{1}{4} + \frac{1}{8} + ...} = a . \end{matrix}

A végtelen sorok összetartási feltételeivel először Cauchy foglalkozott behatóbban. Mesélik, hogy midőn Cauchy a francia akadémián előadta az erre vonatkozó vizsgálatainak az eredményét, Laplace felindulva és kétségbeesve távozott T. i. a ,,Mécanique céleste'' c. nagy csillagászati művében sok végtelen sorral dolgozik. Egy teljes hónapig bezárkózott és nem jelent meg sehol, amíg ki nem derítette, hogy jogosan használta a végtelen sorokat, mert összetartóak.
Ábeltől származik az a megjegyzés, hogy széttartó végtelen sorokkal mindent ki lehet mutatni, azt is, a mi lehetséges, azt is, ami nem lehetséges.

A 87* feladat megvilágítására szolgáljon azon definíció, hogy a háromszögbe írt kör oly kört jelent, melyet a háromszög oldalai érintenek, ‐ Ezen feladat megoldásának határideje 1926. jan. 16.