Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematikai érettségire
Szerző(k):	Kozma Katalin Abigél, Győr
Füzet:	2023/december, 518 - 520. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Matematika, Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{lg}\left(2025-x^2\right)<\sqrt[2024]{x-2023}}\end{array}$ egyenlőtlenséget a valós számok halmazán. (6 pont) $b)$ Oldjuk meg a $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{42-x}{x-1}-\frac{2x-20}{2-x}=2}\end{array}$ egyenletet a valós számok halmazán. (6 pont)   2. A híres Dávid-szobor Firenzében egy állandó kiállításon látható. Biztonsági okokból a szobor egy $2\mathrm{,}3$ méter magas talapzaton áll. A talapzat aljától pontosan $4\mathrm{,}5$ méterre található padlókamerából a szobor legalsó pontja ${32}^{\circ }$-kal kisebb emelkedési szögben látszik, mint a legfelső pontja. $a)$ Hány centiméter magas a szobor? (7 pont) Egy pénteki napon $2650$ felnőtt-, és $1100$ gyermekjegyet értékesített a múzeum, így aznap $37750$ euró folyt be a jegyekből. Másnap $2830$ felnőtt-, és $4500$ gyermekjegyet adtak el, ezzel $50290$ euró lett az aznapi jegybevétel. $b)$ Számítsuk ki egy felnőtt-, illetve egy gyermekjegy árát. (7 pont)   3. A trícium, azaz a hármas hidrogénizotóp mennyiségének a fele $12\mathrm{,}3$ év alatt bomlik el. $a)$ Mennyi idő alatt bomlik el adott mennyiségű trícium $\frac{15}{16}$ része? (3 pont) $b)$ Egy palack idei bor $350$ százalékkal több tríciumot tartalmaz, mint egy ‐ ugyanakkora űrtartalmú ‐ palack ugyanolyan, múlt századi bor. Hány éves lehet a régebbi bor a tríciumtartalma alapján? (8 pont)   4. $a)$ Tornaórán egy $12$ fős csoport medicinlabdával erősített. Az egyik gyakorlat során mindenki háromszor dobott és a tanár a legnagyobb dobás hosszát méterben feljegyezte. A testnevelő megállapította, hogy a felírt számok terjedelme $5$, mediánja és módusza is $9$ méter. Alsó kvartilise $8\mathrm{,}1$ méter, felső kvartilise pedig $10\mathrm{,}5$ méter. Adjunk meg három különböző adathalmazt, amelyre a fenti megállapítások érvényesek. (6 pont) $b)$ Robinak óra után 12 azonos méretű labdát kell két dobozba beraknia, az egyikben 4, a másikban 8 labda fér el. A labdák közül 7 piros, 3 kék, a többi zöld színű. Hányféleképpen helyezheti el a labdákat Robi, ha az azonos színű labdákat nem különbözteti meg és dobozon belül a labdák elhelyezkedése nem számít? (8 pont)   II. rész   5. Egy $28$ fős osztályban a matematikatanár háromféleképpen mérte fel a tanulók decemberi teljesítményét: videós beszámoló, interaktív feladatlap, illetve írásbeli dolgozat formájában. Minden tanuló részt vett legalább egyfajta értékelésben. Tudjuk, hogy $15$-en videóztak, ugyanennyien pedig pontosan kétfajta értékelés résztvevői voltak. $16$-an interaktív feladatokat oldottak meg, $22$-en pedig dolgozatot írtak. A tanár találomra kiválaszt egy tanulót, akit szóban is szeretne feleltetni. $a)$ Mekkora a valószínűsége, hogy olyan tanulót választ, aki mindhárom értékelésben részt vett decemberben? (9 pont) $b)$ Az osztály tanulóinak hány százaléka vett részt mindössze egyfajta értékelésben? (2 pont) $c)$ Legfeljebb hányan lehetnek azok, akik csak dolgozatot írtak? (5 pont)   6. Egy $0\mathrm{,}4$ dm átmérőjű tömör fémgömböt legurítottak egy golyópályán. A táv első felében $0\mathrm{,}12$ m/s, a második felében $0\mathrm{,}16$ m/s átlagsebességgel gurult a gömb. $a)$ Mekkora volt a gömb (a pálya teljes hosszára vonatkozó) átlagsebessége? (10 pont) Ezután a gömböt megolvasztották és anyagából $0\mathrm{,}5$ cm sugarú tömör gömböket öntöttek. $b)$ Hány darab ilyen gömb keletkezhetett az öntés során? (6 pont)   7. Gergő a $180$-nál kisebb, $6$-tal osztható természetes számok mindegyikét felírta egy-egy cetlire, majd a cetliket belerakta egy nagy dobozba. $a)$ Mennyi a cetliken szereplő számok összege, illetve szorzata, ha minden cetlire különböző számot írt Gergő? (4 pont) Gergő öccse találomra kiválasztott a cetlik közül egyszerre éppen hármat. $b)$ Mekkora a valószínűsége, hogy legalább két kiválasztott cetlin $10$-zel osztható szám szerepel? (5 pont) Ezután Gergő visszatette az összes cetlit a dobozba, jól megkeverte őket, majd véletlenszerűen kiválasztott egy cetlit, felírta a rajta lévő számot, majd ismét visszatette a dobozba. Ezt az eljárást még kétszer megismételte, tehát összesen három számot írt fel. $c)$ Mekkora a valószínűsége, hogy Gergő nem írta fel a nulla számjegyet? (7 pont)   8. $a)$ Egy kör két párhuzamos húrja $4$ cm és $198$ mm hosszúságú. Mekkora lehet a köztük lévő távolság, ha a kör átmérőjének hossza $20\mathrm{,}2$ cm? (8 pont) $b)$ Egy derékszögű háromszög külső szögeinek ívmértéke ‐ nagyság szerint sorba állítva ‐ egy mértani sorozat három, közvetlenül egymást követő tagja. Adjuk meg a háromszög belső szögeinek fokmértékét. (8 pont)   9. Adott a következő két halmaz: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\left\{x\in \text{N}\mid x^2<9\right\}\text{és}B=\left\{\text{egyjegyű, pozitív prímszámok}\right\}\mathrm{.}}\end{array}$ Hány olyan ‐ egymástól különböző ‐ függvény van, amelynek $a)$ értelmezési tartománya az $A$, képhalmaza a $B$ halmaz? (4 pont)   $b)$ értelmezési tartománya az $A$, értékkészlete a $B$ halmaz? (4 pont)   $c)$ értelmezési tartománya a $B$, képhalmaza az $A$ halmaz? (4 pont)   $d)$ értelmezési tartománya a $B$, értékkészlete az $A$ halmaz? (4 pont)