Kezdőlap


Cím:	Egyenlőtlenségek (A IV. közlemény feladatainak megoldása. (Folytatás)
Szerző(k):	Kántor S. , Reichlin V. , Zatykó L.
Füzet:	1952/április, 65 - 77. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Láttuk, hogy a hatványközepek, ha a kitevőt nagyon kicsinek választjuk, tetszés szerint közel jutnak a mértani középhez. Kérdés most, mit tudunk mondani a hatványközepekről, ha a kitevő ,,nagyon nagy'' lesz és ha ,,nagyon nagy'' negatív értékeket vesz fel. Legyenek $a_{1}$ , $a_{2}$ , $...$ , $a_{k}$ , az adott nem negatív számok. Rendezzük őket mindjárt nagyság szerint, tehát legyenek pl. $a_{1} \leq a_{2} \leq ... \leq a_{k}$ és ne legyenek az összes $a$ -k egyenlők. Képezzük a $q_{1}$ , $q_{2}$ , $...$ , $q_{k}$ (pozitív) súlyokkal súlyozott $r$ -edik hatványközepet, tehát ha $q_{1} + q_{2} + ... + q_{k} = 1$ , a

\begin{matrix} H_{r} = {(q_{1} a_{1}^{r} + q_{2} a_{2}^{r} + ... + q_{k} a_{k}^{r})}^{1 / r} \end{matrix}

kifejezést.
Ez sem túl nagy, sem túl kicsi nem lehet. Legyen először

r

pozitív. Csökkentsük egyrészt a kifejezést úgy, hogy csak az utolsó tagot tartjuk meg belőle, másrészt növeljük a kifejezést, ha mindegyik

a

helyett a legnagyobbat írjuk. Így kapjuk, hogy

\begin{matrix} q_{k}^{1 / r} a_{k} \leq H_{r} \leq {[(q_{1} + q_{2} + ... + q_{k}) a_{k}^{r}]}^{1 / r} = a_{k} . \end{matrix}

Ha viszont a kitevő

- r

negatív szám, (tehát a fenti kifejezés tulajdonképpen nevezőben áll és ott is az

a

-k hatványainak reciprokai állnak), akkor nagyobbítjuk a kifejezés értékét, ha tagokat elhagyunk, pl. csak az elsőt tartjuk meg, viszont kisebbítjük, ha az egyes tagokat nagyobbítjuk pl. minden

a

-nak a

- r

-edik hatványa helyébe

a_{1}^{r}

-t írunk. Így azt kapjuk, hogy

\begin{matrix} {(1 / q_{1})}^{1 / r} a_{1} = {(q_{1} a_{1}^{- r})}^{- 1 / r} > H_{r} \geq {[(q_{1} + q_{2} + ... + g_{k}) a_{1}^{- r}]}^{- 1 / r} = a_{1} . \end{matrix}

^{$^{*}$}
Az előző közleményünk segédtételében megmutattuk (más jelöléseket használva), hogy ha

c

pozitív szám, akkor az

u

pozitív hatványkitevőt elég kicsinek választva elérhetjük, hogy

c^{u}

tetszés szerint kevéssel különbözzék

1

-től. Ezt egyrészt

c = q_{k}

-val, másrészt

c = 1 / q_{1}

-gyel, mindkét esetben

u = 1 / r

-rel alkalmazva azt nyerjük, hogy egyrészt választhatjuk

1 / r

-et elég kicsinek, tehát

r

-et elég nagynak ahhoz, hogy

q_{k}^{1 / r} a_{k}

tetszés szerint kevéssel különbözzék

a_{k}

-tól, másrészt ismét

r

-et elég nagynak választva elérhető, hogy

{(1 / q_{1})}^{1 / r} a_{1}

tetszés szerint kevéssel különbözzék

a_{1}

-től. Az így választott kitevőkkel véve a

H_{r}

hatványközép is tetszés szerint közel lesz

a_{k}

-hoz, ill. a

H_{- r}

közép tetszés szerint közel jut

a_{1}

-hez. Így ha a kitevőt minden határon túl növeljük, a hatványközép tetszés szerint közel kerül az

a

-k legnagyobbikához, ha pedig negatív értékeken át minden határon túl csökkentjük, akkor tetszőlegesen közel jut az

a

-k legkisebbikéhez. ^{$^{*}$}
A IV. közleményben említettünk a konvexségre jellemző néhány újabb geometriai tulajdonságot. Így egy

f (x)

függvény görbéje konvex, egy szakaszon, ha e szakasz bármely három növekvő abszcisszák szerint következő

P_{1}

P_{2}

P_{3}

pontjára fennáll, a következő tulajdonságok bármelyike:

a) hogy a

P_{1} P_{2}

húr a

P_{1} P_{3}

húr alatt van,
b) hogy a

P_{2} P_{3}

húr a

P_{1} P_{3}

húr alatt van,
c) hogy a

P_{1} P_{2}

húr meghosszabbítása a

P_{2} P_{3}

húr alá fut.

Fejezzük ki e tulajdonságokat az algebra nyelvén. Ha két egyenesnek egy pontja közös, akkor egy nagyobb abszcissza-értéknél az van magasabban, egy kisebb abszcissza-értéknél pedig az van mélyebben, amelyiknek a meredeksége nagyobb. Az

f (x)

görbe

ξ

és

ξ'

abszcisszájú pontok közti húrjának a meredeksége pedig

\begin{matrix} \frac{f (ξ') - f (ξ)}{ξ' - ξ} . \end{matrix}

Így ha a három pont abszcisszái

x_{1}

x_{2}

x_{3}

, akkor a fenti tulajdonságokat rendre az

\begin{matrix} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{f (x_{3}) - f (x_{1})}{x_{3} - x_{1}}, & (a) \\ \frac{f (x_{3}) - f (x_{1})}{x_{3} - x_{1}} < \frac{f (x_{3}) - f (x_{2})}{x_{3} - x_{2}}, & (b) \\ \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{f (x_{3}) - f (x_{2})}{x_{3} - x_{2}} & (c) \end{matrix}

egyenlőtlenségek fejezik ki. Mindegyik egyenlőséget átszorozhatjuk a nevezők szorzatával, mert feltétel szerint

x_{1} < x_{2} < x_{3}

és így mindegyik nevező pozitív. Ha még a kapott egyenlőtlenséget nullára redukáljuk és

f (x_{1})

f (x_{2})

f (x_{3})

-at röviden

y_{1}

y_{2}

y_{3}

-mal jelöljük, akkor mindhárom egyenlőtlenségből az

\begin{matrix} x_{1} (y_{2} - y_{3}) + x_{2} (y_{3} - y_{1}) + x_{3} (y_{1} - y_{2}) > 0 \end{matrix}

(t)

egyenlőtlenséghez jutunk és ez vissza is alakítható a három egyenlőtlenség bármelyikévé. A (t) egyenlőtlenség baloldalán álló kifejezés a

P_{1} P_{2} P_{3}

háromszög kétszeres területének kifejezése koordináták segítségével. Így a kapott egyenlőtlenség szerint a három pont nem sorakozhat egy egyenesen, sőt azt is tudjuk, hogy ha a területet pozitív előjellel adja a képlet, akkor a

P_{1}

P_{2}

P_{3}

csúcsok az óra járásával ellenkező körüljárás sorrendjében következnek. Ez a geometriai tulajdonság tekinthető a konvexség újabb geometriai jellemzésének is, amiből könnyen következnek az (a), (b) és (c) tulajdonságok. Könnyű látni, hogy ez a geometriai tulajdonság tartalmazza a kéttagú súlyozott Jensen-egyenlőtlenséget is, amit eredetileg a konvexség jellemzésére használtunk. Utóbbit úgy kaptuk, hogy az algebra nyelvére fordítottuk a következő tulajdonságot: a

P_{2}

pont a

P_{1} P_{3}

húr alatt van. Mivel

x_{2}

(x_{1}, x_{3})

szakaszt

(x_{2} - x_{1}) : (x_{3} - x_{2})

arányban osztja, így a

P_{1} P_{3}

húr

x_{2}

abszcisszájú pontja ugyanilyen arányban osztja a húrt, tehát ordinátája

\begin{matrix} \frac{(x_{3} - x_{2}) f (x_{1}) + (x_{2} - x_{1}) f (x_{3})}{x_{3} - x_{1}} \end{matrix}

s így a mondott tulajdonságot az

\begin{matrix} f (x_{2}) < \frac{(x_{3} - x_{2}) f (x_{1}) + (x_{2} - x_{1}) f (x_{3})}{x_{3} - x_{1}} \end{matrix}

(j)

egyenlőtlenség fejezi ki.
Ha itt egyrészt

\frac{x_{3} - x_{2}}{x_{3} - x_{1}} = q_{1}

\frac{x_{2} - x_{1}}{x_{3} - x_{1}} = q_{2}

-t írunk, tehát

q_{1} + q_{2} = 1

és

x_{2}

helyébe a vele azonos

q_{1} x_{1} + q_{2} x_{3}

értéket,

(

ami azt fejezi ki, hogy

x_{2}

(x_{1}

x_{3})

szakaszt

q_{2} : q_{1} = (x_{2} - x_{1}) : (x_{3} - x_{2})

arányban osztja

)

, akkor megkapjuk a Jensen-egyenlőtlenséget. Másrészt viszont a (j) egyenlőtlenség is átalakítható a (t) egyenlőtlenséggé, csupa olyan lépésekben, melyek ellenkező irányban is elvégezhetők, vagyis a (t) egyenlőtlenség átalakítható a Jensen-egyenlőtlenséggé is és viszont. Ebből az is következik, hogy az (a), (b), (c) egyenlőtlenségek mindegyike (és a (t) is) következik a Jensen-egyenlőtlenségből és megfordítva utóbbi is ezek bármelyikéből. ^{$^{*}$}
Még általánosabban azt is mondhatjuk, hogy egy függvény konvex ha két húr közül, melyek egyikének mindegyik végpontja megelőzi a másik megfelelő végpontját (esetleg az egyik végpontjuk össze is eshet) mindig az első meredeksége kisebb. Legyenek a két húr végpontjának abszcisszái

x_{1}

és

x_{2}

ill.

ξ_{1}

és

ξ_{2}

x_{1} \leq ξ_{1}

x_{2} \leq ξ_{2}

, de a két húr ne essék egybe, akkor a feltétel így írható:

\begin{matrix} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{2}) - f (ξ_{1})}{ξ_{2} - ξ_{1}} . \end{matrix}

(d)

Itt

x_{2}

lehet kisebb is, nagyobb is

ξ_{1}

-nél és össze is eshet vele. Ha itt

x_{1}

és

ξ_{1}

egybeesik, akkor (a)-t, ha

x_{2}

és

ξ_{2}

esik egybe, akkor (b)-t, ha pedig

x_{2}

és

ξ_{1}

, akkor (c)-t kapjuk. De utóbbiakból is következtethetünk a (d) egyenlőtlenségre. Ha valamelyik két végpont egybeesik, akkor láttuk, hogy az (a), (b) vagy (c) egyenlőtlenséget kapjuk. Ha

x_{2} < ξ_{1}

, akkor (a) szerint

\begin{matrix} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{1} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{1}) - f (x_{1})}{ξ_{1} - x_{1}}, \end{matrix}

viszont (c) szerint

\begin{matrix} \frac{f (ξ_{1}) - f (x_{1})}{ξ_{1} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{2}) - f (ξ_{1})}{ξ_{2} - ξ_{1}} . \end{matrix}

A kettőből következik (d). Ha viszont

x_{2} > ξ_{1}

, akkor (a) szerint

\begin{matrix} \frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{2}) - f (x_{1})}{ξ_{2} - x_{1}}, \end{matrix}

viszont (b) szerint

\begin{matrix} \frac{f (ξ_{2}) - f (x_{1})}{ξ_{2} - x_{1}} < \frac{f (ξ_{2}) - f (ξ_{1})}{ξ_{2} - ξ_{1}}, \end{matrix}

a kettőből ismét következik (d). A föntebbi meggondolás szerint akkor a Jensen egyenlőtlenség teljesüléséből is következik a (d) egyenlőtlenség és megfordítva a Jensen-egyenlőtlenség is (d)-ből. ^{$^{*}$}
A (d) egyenlőtlenség ismételt alkalmazásával nyerjük a következőt: Legyen

u_{1} \geq u_{2} \geq ... \geq u_{k}

v_{1} \geq v_{2} \geq ... \geq v_{k}

, de legalább az egyik sorozat ne álljon csupa egyenlő elemből, végül vezessük be a következő jelöléseket:

\begin{matrix} D_{1} = \frac{f (v_{1}) - f (u_{1})}{v_{1} - u_{1}}, D_{2} = \frac{f (v_{2}) - f (u_{2})}{v_{2} - u_{2}}, ..., D_{k} = \frac{f (v_{k}) - f (u_{k})}{v_{k} - u_{k}} . \end{matrix}

Ekkor kapjuk, ha

f (x)

konvex függvény, hogy

\begin{matrix} D_{1} \geq D_{2}, D_{2} \geq D_{3}, ..., D_{k - 1} \geq D_{k}, \end{matrix}

azaz

D_{1} - D_{2} \geq 0, D_{2} - D_{3} \geq 0, ..., D_{k - 1} - D_{k} \geq 0

.
Feltevésünk szerint nem állhat mindenütt az egyenlőség jele.

\begin{matrix} Legyen & U_{1} = u_{1}, & U_{2} = u_{1} + u_{2}, & ..., & U_{k} = u_{1} + u_{2} + ... + u_{k}, \\ és & V_{1} = v_{1}, & V_{2} = v_{1} + v_{2}, & ..., & V_{k} = v_{1} + v_{2} + ... + v_{k} . \end{matrix}

Ha most

U_{1} < V_{1}

U_{2} < V_{2} ...

U_{k - 1} < V_{k - 1}

, de

U_{k} = V_{k}

, akkor ezeket rendre szorozva a fönti pozitív mennyiségekkel és összeadva kapjuk, hogy

\begin{matrix} U_{1} (D_{1} - D_{2}) + U_{2} (D_{2} - D_{3}) + ... + U_{k - 1} (D_{k - 1} - D_{k}) + U_{k} D_{k} < \\ < V_{1} (D_{1} - D_{2}) + V_{2} (D_{2} - D_{3}) + ... + V_{k - 1} (D_{k - 1} - D_{k}) + V_{k} D_{k}, \end{matrix}

és a

D

-k szerint átrendezve (miután

U_{2} - U_{1} = u_{2}

U_{3} - U_{2} = u_{3}

...

U_{k} - U_{k - 1} = u_{k}

és hasonló érvényes a

V

-kre) kapjuk, hogy

\begin{matrix} u_{1} D_{1} + u_{2} D_{2} + ... + u_{k} D_{k} < v_{1} D_{1} + v_{2} D_{2} + ... + v_{k} D_{k}, \end{matrix}

ha az

f (x)

függvény konvex. ^{$^{*}$}
Redukáljuk az egyenlőtlenséget nullára. A

D

-k jelentését tekintetbe véve a szorzókkal tudunk egyszerűsíteni és az

\begin{matrix} (f (v_{1}) - f (u_{1})) + (f (v_{2}) - f (u_{2})) + ... + (f (v_{k}) - f (u_{k})) > 0, \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} f (u_{1}) + f (u_{2}) + ... + f (u_{k}) < f (v_{1}) + f (v_{2}) + ... + f (v_{k}) \end{matrix}

egyenlőtlenséghez jutunk.
Tegyük most fel megfordítva, hogy egy

f (x)

függvényről csak annyit tudunk, hogy kielégíti az utolsó egyenlőtlenséget, ha az

u

-k és

v

-k eleget tesznek a fönti feltételeknek. Legyenek ekkor

v_{1} \geq v_{2} \geq ... \geq v_{k}

olyan számok, melyek közt vannak különbözők.
Ekkor

v_{1} > \frac{v_{1} + v_{2} + ... + v_{k}}{k}, \frac{v_{1} + v_{2}}{2} > \frac{v_{1} + v_{2} + ... v_{k}}{k} ...

\frac{v_{1} + v_{2} + ... + v_{k - 1}}{k - 1} > \frac{v_{1} + v_{2} + ... + v_{k}}{k}

.
Így

u_{1} = u_{2} = ... = u_{k} = \frac{v_{1} + v_{2} + ... + v_{k}}{k}

választás mellett ki vannak elégítve a kérdéses egyenlőtlenségek s így fennáll a

\begin{matrix} k f (\frac{v_{1} + v_{2} + ... + v_{k}}{k}) < f (v_{1}) + f (v_{2}) + ... + f (v_{k}) \end{matrix}

egyenlőtlenség, ami nem más, mint a

k

-tagú szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenség. Tudjuk azonban, hogy ennek teljesüléséből következik a függvény konvex volta.

f (x)

tehát konvex függvény. ^{$^{*}$}
Vizsgálatainkat átvihetjük többváltozós függvényekre is. Kétváltozós függvényt még tudunk ábrázolni a térben: a

z = F (x, y)

függvény értékeit úgy ábrázolhatjuk, hogy a független változók egy

x

y

értékpárját egy síkbeli koordináta rendszerben ábrázoljuk és a függvényértékeket egy-egy ilyen pontban a síkra merőleges irányban ábrázoljuk. Minden számbajövő helyen ilyen módon ábrázolva a függvényt általában egy felület alakul ki a pontokból. Ez ismét lehet domború vagy homorú (alulról nézve). Ezekben az esetekben a függvényt is, aminek a felület a képe konvexnek, ill. konkávnak fogjuk nevezni. Pl. a konvexséget geometriailag a térben is azzal jellemezhetjük, hogy a felület két pontját összekötő húr mindig a felület fölött van. Mivel az

(x_{1}

y_{1})

(x_{2}

y_{2})

, pontok közti szakaszt

q_{2} : q_{1}

arányban osztó pont koordinátái, ha még

q_{1} + q_{2} = 1

(q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}

q_{1} y_{1} + q_{2} y_{2})

és ebben a pontban a görbén a

z_{1} = F (x_{1}, y_{1})

z_{2} = F (x_{2}, y_{2})

ordináták közti húr ordinátája

q_{1} z_{1} + q_{2} z_{2}

, így az említett geometriai tulajdonságot az

\begin{matrix} F (q_{1} x_{1} + q_{2} x_{2}, q_{1} y_{1} + q_{2} y_{2}) < q_{1} F (x_{1}, y_{1}) + q_{2} F (x_{2}, y_{2}) \end{matrix}

Jensen-egyenlőtlenség írja le. Több változó esetén már geometriailag nem tudjuk a függvényt szemléletesen ábrázolni, a konvexség fogalmát azonban ebben az esetben is értelmezhetjük éppen a fenti egyenlőtlenség megfelelőjével. Egy

F (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})

függvényt konvexnek nevezzük, ha bármely két

(x_{1}, x_{2}, ..., x_{n})

(y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})

pontra és

q_{1}

q_{2}

pozitív súlyokra, melyekre

q_{1} + q_{2} = 1

fennáll az

\begin{matrix} F (q_{1} x_{1} + q_{2} y_{1}, q_{1} x_{2} + q_{2} y_{2}, ..., q_{1} x_{n} + q_{2} y_{n}) < \\ < q_{1} F (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) + q_{2} F (y_{1}, y_{2}, ..., y_{n}) \end{matrix}

egyenlőtlenség. Speciálisan, ha

q_{1} = q_{2} = \frac{1}{2}

, akkor kapjuk az

\begin{matrix} F (\frac{x_{1} + y_{1}}{2}, \frac{x_{2} + y_{2}}{2}, ..., \frac{x_{n} + y_{n}}{2}) < \\ < \frac{F (x_{1}, x_{2}, ..., x_{n}) + F (y_{1}, y_{2}, ..., y_{n})}{2} \end{matrix}

szimmetrikus Jensen-egyenlőtlenséget. Ismét igaz, hogy ennek a teljesüléséből következik a két és az akárhány tagú súlyozott Jensen-egyenlőtlenség teljesülése is, legalábbis racionális súlyok esetén. A bizonyítást kétváltozós függvényre mondjuk el. Több változóra szószerint ugyanígy történhetik, csak írni kell többet. Feltesszük tehát, hogy egy

F