Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematikai érettségire
Szerző(k):	Jócsik Csilla, Győr
Füzet:	2022/november, 465 - 467. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Matematika, Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ Oldjuk meg a $2\cdot \text{sin}{}^{2}x+3\cdot \text{cos}{}^{2}x+2\cdot \text{sin}x=0$ egyenletet a valós számok halmazán. (5 pont) $b)$ Melyek azok a valós számok, amelyek eleget tesznek az $x^2-4x-5\le 0$ és a $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{cos}\left(\frac{x}{2}+\frac{\pi }{3}\right)<\frac{\sqrt[]{2}}{2}}\end{array}$ egyenlőtlenségnek egyaránt? (8 pont)   2. Egy adott hosszúságú szakaszt az aranymetszés szerint úgy osztunk két részre, hogy az eredeti és a keletkezett hosszabb szakasz hosszának aránya megegyezik a keletkezett hosszabb és a keletkezett rövidebb szakasz hosszának arányával. Bence szobája egyik falának hossza $6\mathrm{,}5$ méter, magassága $2\mathrm{,}8$ méter.     Bence fala   Ezt a falfelületet Bence úgy szeretné lefesteni, hogy függőlegesen és vízszintesen is az aranymetszésnek megfelelően osztja fel $4$ téglalap alakú részre úgy, hogy a bal felső sarok felé legyenek a rövidebb szakaszok.   $a)$ Határozzuk meg az egyes téglalapok területét. A számolás során az oldalak hosszát és a területeket is pontosan $3$ tizedesjegyre kerekítve adjuk meg. (8 pont) $b)$ Bencének otthon $4$-féle színű falfestéke van, ezekből válogat a fal festése során. Hány különböző színezés lehetséges, ha az oldallal egymáshoz illeszkedő téglalapoknak különböző színűeknek kell lennie? (4 pont)   3. A légköri nyomás függ a tengerszinten mérhető nyomás értékétől $\left(p_0\right)$, a tengerszint feletti méterben mért magasságtól $\left(h\right)$ és a levegő Celsius-skálán mért hőmérsékletétől $\left(T\right)$. A hozzárendelés szabálya: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=p_0\cdot e^{-0\mathrm{,}0342\cdot \frac{h}{T+273}}\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ Mekkora a nyomás Bolívia fővárosában, La Pazban $3600$ méter magasságban, ha a tengerszinten $101500$ Pa a nyomás $20{}^{\circ }\text{C}$-on? (2 pont) $b)$ A Kékestetőn $1014$ méter magasságban hány $\%$-os nyomásváltozás észlelhető, ha a hőmérséklet $8{}^{\circ }\text{C}$-ról $22{}^{\circ }\text{C}$-ra emelkedik? (3 pont) $c)$ Milyen magasságban mérhető fele akkora nyomás, mint a tengerszinten, amikor a levegő hőmérséklete $24{}^{\circ }\text{C}?$ (6 pont)   4. Az AB0 vércsoportrendszerben az emberek négy alapvető fenotípusba sorolhatók. A magyarországi populációt figyelembe véve az A vércsoportúak a népesség $44\%$-át teszik ki, a 0 vércsoportúak $40\%$-ot. A B vércsoportúak aránya $11\%$, míg az AB vércsoportúak mindössze $5\%$-ot adnak. Ettől a csoportosítástól függetlenül a vörösvértestek felszínén található D antigén megléte esetén ${\text{Rh}}^{+}$ vércsoportról beszélünk, a D antigén hiánya esetén ${\text{Rh}}^{-}$ a vércsoport, ahová az emberek $15\%$-a tartozik. $a)$ Igazoljuk Réka állítását, aki azt mondja, hogy a Magyarországon élő $9\mathrm{,}7$ millió lakosból mindössze körülbelül $72750$ ember tartozik a legritkább AB ${\text{Rh}}^{-}$ vércsoportba. (2 pont) $b)$ Csengéről tudjuk, hogy van D antigén a vérében. Mekkora valószínűséggel B vércsoportú Csenge? Válaszunkat indokoljuk. (2 pont) $c)$ Készítsünk kördiagramot a szükséges középponti szögek meghatározása után, amely mutatja a magyar embereket vércsoportjuk alapján, figyelembe véve mind az AB0rendszert, mind a D antigén meglétét. (5 pont) $d)$ Egy véradásról szóló teltházas előadáson a $150$ fős teremben férfiak, nők és gyerekek ülnek. Ha a teremből kimenne $2$ férfi, akkor az ott maradó férfiak és nők aránya $2:3$ lenne. Ha a terembe bejönne még $2$ gyerek, akkor a nők pontosan háromszor annyian lennének, mint a gyerekek. Hány nő vett részt ezen az előadáson? (6 pont)   II. rész   5. $a)$ Elkezdtük összeadni a $7$-tel osztva $5$ maradékot adó pozitív egész számokat a legkisebb ilyen tulajdonságú számtól kezdve. Hány tagot adtunk össze, és mi az utolsó szám, ha a kapott összeg $54875?$ (4 pont) $b)$ Egy mértani sorozat hatodik és nyolcadik tagja egyaránt $6$. Számítsuk ki a sorozat első $35$ tagjának összegét. (4 pont) $c)$ Egy számtani sorozat három egymást követő elemének összege $72$. Ha az első számból elveszünk $4$-et, a középsőt változatlanul hagyjuk, az utolsóhoz pedig hozzáadunk $16$-ot, akkor egy mértani sorozat három egymást követő tagját kapjuk. Határozzuk meg a mértani sorozat hányadosát. (8 pont)   6. Tekintsük az $f\left(x\right)=\frac{4x-14}{x-2}$ függvényt. $a)$ Adjunk meg egy olyan egész számot, amelyre az $f\left(x\right)$ függvény helyettesítési értéke is egész szám. (2 pont) $b)$ Bizonyítsuk be, hogy pontosan $8$ darab rácsponton halad át az $f\left(x\right)$ függvény képe a Descartes-féle derékszögű koordinátarendszerben. (8 pont) $c)$ Oldjuk meg a $\sqrt[]{f\left(x\right)}=\sqrt[]{x-3}$ egyenletet a valós számok halmazán.  (6 pont)   7. Egy konyhai műanyag tölcsér alsó része henger alakú, belső átmérője $18$ milliméter, magassága $5$ centiméter. Felső része a hengerre pontosan illeszkedő csonkakúp, amelynek felső átmérője $7$ centiméter, illetve magassága $4$ centiméter. $a)$ A tölcsér alját befogjuk, és teljes magasságának $90\%$-áig megtöltjük vízzel. Hány deciliter víz lesz a tölcsérben? (6 pont) $b)$ Mekkora egy tölcsér tömege, ha a falvastagsága mindenhol $1$ milliméter, a műanyag sűrűsége $0\mathrm{,}92\frac{\text{g}}{{\text{cm}}^3}$? A műanyag térfogatának kiszámításához használjuk azt a közelítést, amely szerint a tölcsér belső felszínét szorozzuk a falvastagsággal. (4 pont) $c)$ Lézerfénnyel felülről függőlegesen belevilágítunk a tölcsérbe. Mekkora a valószínűsége, hogy a lézerfény a tölcsér alsó nyílásán jön ki? (3 pont) $d)$ $50$ darab tölcsérből átlagosan $2$ anyaghibásat készít a gyártósor. Mekkora a valószínűsége, hogy $135$ darab elkészített tölcsér között van anyaghibás? A választ négy tizedesjegyre kerekítve adjuk meg. (3 pont)   8. $a)$ Sheldon Cooper kedvenc száma a $73$, mert ez a $21.$ prím és $7\cdot 3$ éppen $21$. Sőt, a $73$ kettes számrendszerbeli alakja palindromszám, vagyis visszafelé olvasva az eredetivel azonos. Igazoljuk ez utóbbi kijelentést. (2 pont) $b)$ Egy adott alapú, és az ennél $2$-vel nagyobb alapú számrendszerben tekintsük a $\overline{345}$ alakú háromjegyű számokat, ezek összege ${696}_{10}$. Adjuk meg az összeadandó számok értékét a $10$-es számrendszerben felírva. (8 pont) $c)$ Véletlenszerűen kiválasztunk egy $10$-es számrendszerbeli háromjegyű számot. Mekkora a valószínűsége, hogy a szám $9$-es számrendszerbeli alakja is háromjegyű? (6 pont)   9. $a)$ Ábrázoljuk koordinátarendszerben a következő $A$ ponthalmazt: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\left\{\left(x;y\right)\in {\text{R}}^2\mid 4x+3y\ge 15\right\}\mathrm{.}}\end{array}$ (3 pont) $b)$ Ábrázoljuk koordinátarendszerben a $B$ ponthalmazt: $\begin{array}{c}{\displaystyle B=\left\{\left(x;y\right)\in {\text{R}}^2\mid x^2+y^2-14x-8y+40\le 0\right\}\mathrm{.}}\end{array}$ (5 pont) $c)$ Igazoljuk, hogy az $F\left(-3;-4\right)$ fókuszpontú $v:y=-6$ vezéregyenesű parabola egyenlete $y=0\mathrm{,}25x^2+1\mathrm{,}5x-2\mathrm{,}75$. (4 pont) $d)$ Írjuk fel a $y=0\mathrm{,}25x^2+1\mathrm{,}5x-2\mathrm{,}75$ parabola $\left(-1;-4\right)$ pontjába húzott érintőjének egyenletét. (4 pont)