Kezdőlap


Cím:	Görbék fonalas szerkesztésére vonatkozó feladatok megoldása
Füzet:	1950/október, 194 - 196. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Ha a 3. ábrán látható berendezésnél^{$^{*}$} egy lyukas vonalzót használunk, melyet ráakasztunk az U szögre, akkor az U pont bizonyos távolságra lesz a vonalzó szélétől. Igaz-e, hogy akkor csak hozzávetőleg kapunk hiperbolaágat? Határozzuk meg a keletkező görbe egyenletét alkalmasan választott koordinátarendszerben.

Megoldás: Legyen a két tű,

F_{1}

és

F_{2}

, távolsága

l

. Ezeken át válasszuk az

X

tengelyt és azon a tűn át, melyre a vonalzót akasztjuk, az

Y

tengelyt. E tűnek (ezt jelöljük

F_{1}

-gyel) a vonalzó szélétől való távolsága legyen

t

, a távolság talppontja

T

. A ceruza

P

hegyének

T

-től mért (változó) távolságát jelöljük

z

-vel. Ekkor

P F_{2} = z - d

, ahol

d

a berendezés alapszakasza. Mivel

F_{1} P

F_{1} T P

derékszögű háromszög átfogója,

\begin{matrix} F_{1} P^{2} = x^{2} + y^{2} = t^{2} + z^{2}; F_{2} P^{2} = {(x - l)}^{2} + y^{2} = {(z - d)}^{2} . \end{matrix}

A kettő különbségéből

\begin{matrix} l (2 x - l) = d \end{matrix}

ezt az első egyenletbe helyettesítve és átrendezve (

x

együtthatójával osztva az egyenletet) az

\begin{matrix} x^{2} - \frac{l (e^{2} + t^{2} - d^{2})}{l^{2} - d^{2}} x - \frac{d^{2}}{l^{2} - d^{2}} y^{2} + \frac{{(l^{2} + t^{2} - d^{2})}^{2} + 4 d^{2} t^{2}}{4 (l^{2} - d^{2})} = 0. \end{matrix}

x

és

y^{2}

együtthatóját és az állandó tagot rendre

- p

- q

r

-rel jelölve az egyenlet ilyen alakra hozható:

\begin{matrix} {(x - \frac{p}{2})}^{2} - q y^{2} = \frac{p^{2}}{4} - r . \end{matrix}

Ez hiperbola egyenlete, mert

l > d

lehet csak, s így

q

pozitív. A középpont abszcisszája

\begin{matrix} \frac{p}{2} = \frac{l}{2} (1 + \frac{t^{2}}{l^{2} - d^{2}}) . \end{matrix}

A tengelyek fél hosszára pedig

\begin{matrix} \sqrt[]{\frac{p^{2}}{4} - r} = \frac{d}{2} (1 - \frac{t^{2}}{l^{2} - d^{2}}) \end{matrix}

és

\begin{matrix} \frac{\sqrt[]{\frac{p^{2}}{4} - r}}{q} = \frac{l^{2} + t^{2} - d^{2}}{\sqrt[]{l^{2} - d^{2}}} \end{matrix}

adódik.

2. Határozzuk meg azon pontok geometriai helyét, amelyek két körtől egyenlő távolságra vannak.

Megoldás: Egy

P

pont és egy görbe távolságán értjük a legrövidebb utat, amelyen a pontból a görbéhez eljuthatunk. A körnél ez az út a pontot a kör középpontjával összekötő egyenesen fekszik, annak a

P

-től a kör

P

-hez közelebbi metszéspontjáig terjedő szakasza adja.
Jelöljük a feltételt kielégítő

P

pont köröktől való távolságát

d

-vel, a körök sugarát

r_{1}

r_{2}

-vel (legyen pl.

r_{1} < r_{2}

), a középpontokat

O_{1}

O_{2}

-vel. Ha mind a két körön kívül fekszik a pont, akkor

P O_{1} = d + r_{1}

P O_{2} = d + r_{2}

, tehát

P O_{2} - P O_{1} = r_{2} - r_{1}

. Ez mindig lehetséges, ha nincs az egyik kör a másik belsejében, mert akkor

\begin{matrix} P O_{2} - P O_{1} \leq O_{1} O_{2} < r_{2} - r_{1} . \end{matrix}

Ezen pontok egy olyan hiperbolaágon feküsznek, melynek fókuszai a körök középpontjai. Ha a

P

pont az egyik pl. az

r_{1}

sugarú körön belül, a másikon kívül van; akkor

O_{1} P = r_{1} - d

O_{2} P = r_{2} + d

s így

O P_{1} + O P_{2} = r_{1} + r_{2}

. (Ez mindig lehetséges, ha a két körnek van közös pontja. Ha nincs, akkor

r_{1} + r_{2} < O_{1} O_{2} \leq O_{1} P + P O_{2}

.) Ezen pontok egy ellipszisen feküsznek, melynek fókuszai a körök középpontjai.
Összefoglalva a keresett mértani hely, ha a 2 kör egymáson kívül fekszik, egy hiperbolaág, mely egyenessé fajul, ha a két kör egyenlő sugarú. Ha az egyik kör belsejében tartalmazza a másikat, akkor a mértani hely egy ellipszis, melynek fókuszai a körközéppontok. Ha a két kör koncentrikus, az ellipszisből kör lesz. Ha a köröknek 2 közös pontjuk van, akkor a mértani hely egy hiperbolaágból és egy ellipszisből áll. Ha a körök kívülről érintik egymást, az ellipszis a két középpont közti egyenesszakasszá fajul el. Ha belülről érintik egymást a körök, akkor a hiperbola fajul el egy félegyenessé, mely a kisebb kör középpontjából indul és átmegy az érintési ponton.

^{$^{*}$}Lásd e kötet 66. oldalán.