Cím:	Az ütközési együtthatóról
Szerző(k):	Juvancz Gábor
Füzet:	1967/február, 85 - 86. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek, Rugalmatlan ütközések

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Az ütközési együtthatóról   Ha két test ütközését vizsgáljuk, általában nem vesszük figyelembe a külső erőket, csak a testek kölcsönhatásait, azaz ekkor a két test zárt rendszert alkot. Bármelyik zárt rendszer impulzusa állandó, más szóval impulzus-változása 0. Ugyanis tegyük fel, hogy az ütközés olyan kicsi $\Delta t$ ideig tart, hogy $F_{12}$ (a 2-es test hatása az 1-esre) állandónak vehető. Newton 2. törvénye szerint egy test impulzus-változása egységnyi idő alatt $\Delta I/\Delta t=F$. ($I=mv$-t behelyettesítve) $\frac{\Delta \left(mv\right)}{\Delta t}=F$, ha $m$ konstans, ekkor ez a következő formában írható: $m\frac{\Delta \left(v\right)}{\Delta t}=F$. Kinematikából ismeretes, hogy ha $\Delta t$ kicsiny, $\frac{\Delta v}{\Delta t}=a$, azaz képletünk az ismert $F=ma$-val ekvivalens. Ezek szerint $F_{12}=\frac{\Delta \left(I_1\right)}{\Delta t}=F$, azaz $\Delta I_1=F_{12}\Delta t$, hasonlóan $\Delta I_2=F_{21}\Delta t$. A rendszer impulzus-változása egyenlő az egyes testek impulzus-változásainak vektori összegével: $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta I=\Delta I_1+\Delta I_2=\left(F_{12}+F_{21}\right)\Delta t\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Newton 3. törvénye szerint, mivel $F_{21}$ az 1-es test hatása a 2-esre, azaz az $F_{12}$ reakció-ereje $F_{21}=-F_{12}$, azaz (1)ből $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta I=\left(F_{12}-F_{12}\right)\Delta t=0.}\end{array}$ Ezek szerint, ha két test ütközik, teljes általánosságban csak annyit tudunk mondani, hogy a testek impulzusainak összege ütközés előtt egyenlő az ütközés utánival, vagyis teljesül az impulzus-megmaradás törvénye (zárt rendszer esetén). Az ütközések két speciális esete a teljesen rugalmas és a teljesen rugalmatlan ütközés. A teljesen rugalmas ütközésre teljesül a mechanikai energia-megmaradás törvénye, a teljesen rugalmatlant az jellemzi, hogy a testek az ütközéskor közös sebességet nyernek. A tökéletesen rugalmas ütközéskor a testek relatív sebessége ütközés előtt és után azonos. Ugyanis jelöljük $v$-vel az ütközés előtti, $v\text{'}$-vel az utáni sebességeket. Ekkor nyilván teljesül, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle m_{1}v{\text{'}}_1+m_{2}v{\text{'}}_2=m_1{v}_1+m_2{v}_2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle m\left(v{\text{'}}_1-v_1\right)=m_2\left(v_2-v{\text{'}}_2\right)\mathrm{,}}\end{array}$ illetve $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}{m}_1{v\text{'}}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v\text{'}}_2^2=\frac{1}{2}{m}_1{v}_1^2+\frac{1}{2}{m}_2{v}_2^2\mathrm{,}}\end{array}$ $\begin{array}{c}{\displaystyle m_1\left({v_1\text{'}}^2-{v_1}^2\right)=m_2\left(v_2^2-{v{\text{'}}_2}^2\right)\mathrm{.}}\end{array}$ A két egyenletet elosztva egymással $\begin{array}{c}{\displaystyle v_1+v{\text{'}}_1=v_2+v{\text{'}}_2\mathrm{,}\text{azaz}v{\text{'}}_1-v{\text{'}}_2=v_2-v_1\mathrm{.}}\end{array}$ Valóságban az ütközések se nem tökéletesen rugalmasak, se nem rugalmatlanok. Egy valóságos ütközést a relatív sebességek arányával jellemezhetünk a legjobban, mert ez első közelítésben független a sebességektől, csak a testek anyagi minőségétől függ. Nevezzük az $\epsilon =\frac{v{\text{'}}_1-v{\text{'}}_2}{v_2-v_1}$ mennyiséget ütközési együtthatónak. $\epsilon$ értéke 1 és 0 között változhat. Ha $\epsilon =1$, akkor a relatív sebességek nyilván egyenlők, azaz az ütközés teljesen rugalmas, míg ha $\epsilon =0$, akkor $v{\text{'}}_1=v{\text{'}}_2$, vagyis a testek közös sebességgel mozognak tovább, más szóval az ütközés teljesen rugalmatlan volt. Juvancz Gábor