Cím:	A 61. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2020/november, 452 - 453. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Matematikai Diákolimpia, Feladatok

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1Első nap   1. feladat. Tekintsük az $ABCD$ konvex négyszöget. A $P$ pont az $ABCD$ belsejében van. Fennállnak az alábbi, arányokra vonatkozó egyenlőségek: $\begin{array}{c}{\displaystyle PAD\sphericalangle :PBA\sphericalangle :DPA\sphericalangle =1:2:3=CBP\sphericalangle :BAP\sphericalangle :BPC\sphericalangle \mathrm{.}}\end{array}$ Bizonyítsuk be, hogy a következő három egyenes egy ponton megy át: az $ADP\sphericalangle$ és a $PCB\sphericalangle$ szög belső szögfelezője és az $AB$ szakasz felezőmerőlegese.   2. feladat. Az $a$, $b$, $c$, $d$ valós számok olyanok, hogy $a\ge b\ge c\ge d>0$ és $a+b+c+d=1$. Bizonyítsuk be, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(a+2b+3c+4d\right)a^a{b}^b{c}^c{d}^d<1.}\end{array}$   3. feladat. Adott $4n$ kavics, amelyeknek a súlya rendre $\mathrm{1,2,3,}\text{...}\mathrm{,4}n$. Mindegyik kavics $n$ szín közül az egyik színnel van kifestve; mindegyik színből négy kavics van. Mutassuk meg, hogy a kavicsokat el lehet rendezni két kupacba úgy, hogy mindkét alábbi feltétel teljesüljön: $•$ A két kupac összsúlya azonos. $•$ Mindegyik kupac minden színből két kavicsot tartalmaz.   Második nap   4. feladat. Adott egy $n>1$ egész szám. Egy hegynek egy lejtőjén $n^2$ állomás van, csupa különböző magasságon. Két felvonótársaság, $A$ és $B$ mindegyike $k$ felvonót üzemeltet; mindegyik felvonóval egy állomásról egy magasabban fekvő állomásra lehet eljutni (közbülső megállás nélkül). Az $A$ társaság $k$ felvonójának $k$ különböző kezdőpontja és $k$ különböző végpontja van, és magasabbról induló felvonó magasabbra is érkezik. Ugyanezek a feltételek teljesülnek $B$-re. Azt mondjuk, hogy egy felvonótársaság összeköt két állomást, ha a lejjebbi állomásról indulva el lehet jutni a feljebbire az adott társaság egy vagy több felvonóját használva (nincs megengedve semmilyen más mozgás az állomások között). Határozzuk meg a legkisebb olyan pozitív egész $k$ számot, amelyre biztosak lehetünk abban, hogy van két olyan állomás, amelyet mindkét felvonótársaság összeköt.   5. feladat. Adott egy kártyapakli, amely $n>1$ kártyából áll. Mindegyik kártyára egy pozitív egész szám van felírva. A pakli olyan, hogy bármely két kártyán lévő szám számtani közepe egyúttal a mértani közepe is néhány (egy vagy több) kártyán lévő számnak. Milyen $n$-ekre következik ebből, hogy a kártyákon álló számok mind egyenlők?   6. feladat. Bizonyítsuk be, hogy létezik olyan $c$ pozitív konstans, amellyel igaz a következő állítás: Tekintsünk egy $n>1$ egész számot és egy $n$ pontból álló $\text{S}$ halmazt a síkban úgy, hogy $\text{S}$ bármely két különböző pontjának távolsága legalább $1$. Ebből következik, hogy van olyan, $\text{S}$-et szétválasztó $\ell$ egyenes, hogy $\text{S}$ bármely pontjának $\ell$-től való távolsága legalább $c{n}^{-1/3}$. (Egy $\ell$ egyenes szétválasztja pontoknak egy $\text{S}$ halmazát, ha valamely, $\text{S}$-nek két pontját összekötő szakasz átmetszi  $\ell$-et.) Megjegyzés. Gyengébb eredményre, amelyben $c{n}^{-1/3}$ helyett $c{n}^{-\alpha }$ áll, járhat részpontszám az $\alpha >1/3$ konstans értékétől függően. 1Az olimpia honlapja: https://www.imo-official.org/.