A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész
1. Melyek azok az , egész számok, amelyekre egyszerre teljesül, hogy: ; ; ?
2. Az egyszerű hétpontú gráf csúcsainak foka rendre a másik kettőt nem ismerjük. Állapítsuk meg ezeket, ha a gráfnak 11 éle van, valamint a gráf megrajzolható egy folytonos vonallal úgy, hogy mindegyik élén pontosan egyszer haladtunk át. Adjunk meg három különböző irracionális számot úgy, hogy a három szám összege és bármelyik kettő szorzata is racionális szám legyen. Mutassuk meg, hogy az és kijelentések tetszőleges logikai értékére igaz a egyenlőség.
3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a | | egyenletet.
4. Két horgászegyesület, az Aligai Pecások és a Bélatelepi Horgászok közös edzőtáborozást tartottak 47 fő részvételével. A csapatokban felnőtt és junior korosztályú csoportok voltak. Tudjuk, hogy: minden csoport létszáma prímszám; legkevesebben a junior Bélatelepi Horgászok, legtöbben a felnőtt Aligai Pecások vannak a táborban; a felnőtt versenyzők összlétszáma osztható tízzel; a két csapat felnőtt tagjainak létszáma között 10-nél kisebb a különbség. Hányan vannak az egyes csoportokban?
II. rész
5. Egy húrnégyszög egyúttal érintőnégyszög is (bicentrikus négyszög). Két szomszédos oldala 9, 10 egység, az általuk bezárt szög . Jelöljük -val a körülírt, -val a beírt kör középpontját. Adjuk meg a másik két oldal hosszát. Határozzuk meg a beírt- és a köréírt kör sugarát. Milyen hosszú a távolság?
6. Vizsgáljuk meg az sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából. Állításainkat igazoljuk. Mutassuk meg, hogy a sorozat első tagjának összege | | (16 pont) |
7. Anna és Bálint szabályos dobókockával játszik. Felváltva dobnak, ha a dobott szám prímszám, akkor a számegyenesen álló bábuval egyet jobbra, ha összetett szám, akkor egyet balra lépnek. Ha egyik sem, akkor a bábu helyben marad. A bábu kezdetben a nullán áll, összesen hatszor fognak dobni. Előtte fogadnak arra, hogy a játék végén melyik számon áll majd a bábu. Anna az egyesre, Bálint a kettesre fogad. Kinek mekkora esélye van a nyerésre? Tegyük fel, hogy Anna nyerte a fogadást. Mennyi a valószínűsége, hogy a játék során egyszer dobtak egyest?
8. A 2 egység élű kocka egyik csúcsát jelöljük -val, majd állítsunk egyenlő hosszú szakaszokat a kocka -val érintkező lapjainak középpontjába, az adott lapokra merőlegesen kifelé. A szakaszok lapra nem illeszkedő végpontjait jelöljük , , -rel. Milyen hosszúak a szakaszok, ha az , , , pontok egy síkban vannak? A 2 egység élű kocka lapjaira kifelé egyenlő magasságú, 2 egység oldalú négyzet alapú egyenes gúlákat helyezünk úgy, hogy a gúla alapja egybeesik a kocka adott lapjával. Mekkora a gúla magassága, ha az így kapott testnek van körülírt és beírt gömbje? Mekkora a gúla magassága abban az esetben, ha az így keletkezett poliédernek 14 csúcsa, 12 lapja és 24 éle lett?
9. Legyen ; . Az függvény grafikonjához illesztettünk jobbról egy tengellyel párhuzamos tengelyű parabolát, amelyre az alábbiak egyszerre teljesülnek: a két görbe törésmentesen csatlakozik egymáshoz a abszcisszájú pontban; a parabola és az tengely által közrefogott síkidom területe egyenlő az grafikonja és az tengely által bezárt síkidom területével. Adjuk meg a parabola egyenletét.
|
|