Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Németh László, Fonyód
Füzet:	2020/október, 395 - 397. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Matematika, Felvételi előkészítő feladatsor

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Melyek azok az $x$, $y$ egész számok, amelyekre egyszerre teljesül, hogy: $a)$ $x^2+y^2\le 25$; $b)$ $|x|+|y|\ge 5$; $c)$ $\text{log}{}_2\left(y+1-x^2\right)\ge 0$? (12 pont)   2. $a)$ Az egyszerű hétpontú gráf csúcsainak foka rendre $\mathrm{3,2,4,1,2};$ a másik kettőt nem ismerjük. Állapítsuk meg ezeket, ha a gráfnak 11 éle van, valamint a gráf megrajzolható egy folytonos vonallal úgy, hogy mindegyik élén pontosan egyszer haladtunk át. $b)$ Adjunk meg három különböző irracionális számot úgy, hogy a három szám összege és bármelyik kettő szorzata is racionális szám legyen. $c)$ Mutassuk meg, hogy az $A$ és $B$ kijelentések tetszőleges logikai értékére igaz a $\neg \left(A\to B\right)=A^\neg B$ egyenlőség. (12 pont)   3. Oldjuk meg a valós számok halmazán a  $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}x+\text{cos}x=\frac{1-\text{sin}\left(2x\right)}{\text{cos}\left(2x\right)}}\end{array}$ egyenletet. (13 pont)   4. Két horgászegyesület, az Aligai Pecások és a Bélatelepi Horgászok közös edzőtáborozást tartottak 47 fő részvételével. A csapatokban felnőtt és junior korosztályú csoportok voltak. Tudjuk, hogy: $a)$ minden csoport létszáma prímszám; $b)$ legkevesebben a junior Bélatelepi Horgászok, legtöbben a felnőtt Aligai Pecások vannak a táborban; $c)$ a felnőtt versenyzők összlétszáma osztható tízzel; $d)$ a két csapat felnőtt tagjainak létszáma között 10-nél kisebb a különbség. Hányan vannak az egyes csoportokban? (14 pont)   II. rész     5. Egy húrnégyszög egyúttal érintőnégyszög is (bicentrikus négyszög). Két szomszédos oldala 9, 10 egység, az általuk bezárt szög ${60}^{\circ }$. Jelöljük $O$-val a körülírt, $K$-val a beírt kör középpontját. $a)$ Adjuk meg a másik két oldal hosszát. $b)$ Határozzuk meg a beírt- és a köréírt kör sugarát. $c)$ Milyen hosszú a $KO$ távolság? (16 pont)   6. $a)$ Vizsgáljuk meg az $a_n=n^3-n^2$ sorozatot monotonitás és korlátosság szempontjából. Állításainkat igazoljuk. $b)$ Mutassuk meg, hogy a sorozat első $n$ tagjának összege $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{n\left(n+1\right)\left(n-1\right)\left(3n+2\right)}{12}\mathrm{.}}\end{array}$ (16 pont)   7. Anna és Bálint szabályos dobókockával játszik. Felváltva dobnak, ha a dobott szám prímszám, akkor a számegyenesen álló bábuval egyet jobbra, ha összetett szám, akkor egyet balra lépnek. Ha egyik sem, akkor a bábu helyben marad. A bábu kezdetben a nullán áll, összesen hatszor fognak dobni. Előtte fogadnak arra, hogy a játék végén melyik számon áll majd a bábu. Anna az egyesre, Bálint a kettesre fogad. $a)$ Kinek mekkora esélye van a nyerésre? Tegyük fel, hogy Anna nyerte a fogadást. $b)$ Mennyi a valószínűsége, hogy a játék során egyszer dobtak egyest? (16 pont)   8. A 2 egység élű kocka egyik csúcsát jelöljük $A$-val, majd állítsunk egyenlő hosszú szakaszokat a kocka $A$-val érintkező lapjainak középpontjába, az adott lapokra merőlegesen kifelé. A szakaszok lapra nem illeszkedő végpontjait jelöljük $P$, $Q$, $R$-rel. $a)$ Milyen hosszúak a szakaszok, ha az $A$, $P$, $Q$, $R$ pontok egy síkban vannak? A 2 egység élű kocka lapjaira kifelé egyenlő magasságú, 2 egység oldalú négyzet alapú egyenes gúlákat helyezünk úgy, hogy a gúla alapja egybeesik a kocka adott lapjával. $b)$ Mekkora a gúla magassága, ha az így kapott testnek van körülírt és beírt gömbje? $c)$ Mekkora a gúla magassága abban az esetben, ha az így keletkezett poliédernek 14 csúcsa, 12 lapja és 24 éle lett? (16 pont)   9. Legyen $f\left(x\right)=2x^2-x^3$; $x\in \left[0;2\right]$. Az $f\left(x\right)$ függvény grafikonjához illesztettünk jobbról egy $y$ tengellyel párhuzamos tengelyű parabolát, amelyre az alábbiak egyszerre teljesülnek: $a)$ a két görbe törésmentesen csatlakozik egymáshoz a $2$ abszcisszájú pontban; $b)$ a parabola és az $x$ tengely által közrefogott síkidom területe egyenlő az $f\left(x\right)$ grafikonja és az $x$ tengely által bezárt síkidom területével. Adjuk meg a parabola egyenletét. (16 pont)