Kezdőlap


Cím:	A 2020.évi Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny elméleti feladatainak megoldása
Szerző(k):	Sarkadi Tamás , Szász Krisztián , Tasnádi Tamás , Vankó Péter , Vigh Máté
Füzet:	2020/október, 425. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2020. évi Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny
elméleti feladatainak megoldása^{$^{*}$}

F1.

a)

A golyó csak úgy érkezhet a gödör

B

sarkába, ha előtte a gödör függőleges oldalain páratlan számszor visszapattan. Minden visszaverődésnél a kis test sebességének vízszintes komponense előjelet vált, függőleges komponense pedig változatlan marad. A pattogó golyó pályáját a függőleges falakra való tükrözéssel ,,ki lehet hajtogatni'', és így töréspontok nélküli parabolát kapunk. Nyilvánvaló, hogy közelebbi pontba kisebb kezdősebességgel eljuttatható a golyó, tehát az optimális (kihajtogatott) pálya esetén a golyó csak egyszer pattan meg. Most már csak az a kérdés, hogy az eldobás helyétől távolabbi falon hol legyen a pattanási pont.

1. ábra

Paraméterezzük a feladatot! Legyen

d = 12

m a gödör távolabbi falának távolsága az

A

ponttól,

s = 2

m a gödör szélessége,

h = 1

m a gödör mélysége. Ezeken kívül használni fogjuk még az

L = d + s = 14

m távolságot is. Jelölje

C

és

D

a gödör

A

ponthoz közelebbi, illetve távolabbi felső sarkát,

B'

pedig a

B

pontnak a gödör távolabbi falára vonatkozó tükörképét (1. ábra). A kihajtogatott pálya tehát egy olyan parabola, amely átmegy az

A

és

B'

pontokon.
Az

A

és

B'

pontokat összekötő lehetséges parabolák közül csak azokat választhatjuk, amelyek ,,beesnek'' a gödörbe, azaz a talaj szintjét a

C D

szakaszon metszik. Szemléletesen látható, hogy ezek közül a pályák közül a legmagasabb,

A D B'

parabolához tartozik a legkisebb kezdősebesség, míg a leglaposabb,

A C B

parabolához a legnagyobb kezdősebesség. (Itt figyelembe vettük azt a tényt is, hogy a feladat adatai alapján lapos,

45^{\circ}

-nál jóval kisebb szögben induló hajításokról van szó.)

Megjegyzés. Az intuíciónkat számolással is igazolhatjuk. Ha a hajítás kezdősebessége

v

, az indítás hajlásszöge

α

, akkor az

A

és

B'

pontok közötti vízszintes (

L = d + s

) és függőleges (

- h

) elmozdulásokra a következőket írhatjuk fel:

\begin{matrix} L = v t cos α, - h = v t sin α - \frac{g}{2} t^{2}, \end{matrix}

amiből a mozgás

t

idejének kiküszöbölése után az alábbi kifejezést kapjuk

v

-re:

\begin{matrix} v^{2} = \frac{g L^{2}}{2 cos^{2} α (L tan α + h)} . \end{matrix}

(

1

)

Ahhoz, hogy kiderüljön, hogyan változik

v

nagysága az

α

szög kis megváltoztatásakor, vizsgáljuk meg a tört nevezőjének szög szerinti deriváltját:

\begin{matrix} [2 cos^{2} α (L tan α + h)]' = 2 L - 2 (h + L tan α) sin 2 α . \end{matrix}

A távolságadatok behelyettesítésével könnyen ellenőrizhető, hogy ez a derivált

α \approx 40^{\circ}

és annál kisebb szögekre biztosan pozitív, azaz ,,lapos'' hajítási szögek esetén a

B'

pont eltalálásához szükséges

v

sebesség annál kisebb, minél nagyobb az

α

szög értéke. A gödörbe beleeső golyó lehetséges pályái közül az 1. ábrán látható

C

ponton átmenő parabolához tartozik a legkisebb

α

szög, míg

α

értéke a

D

ponton átmenő pálya esetén a legnagyobb. Tehát az optimális pálya a gödör távolabbi függőleges falát a legfelső,

D

pontban találja el, majd egy pattanás után a kis test a

B

pontba érkezik.

b)

A kinematikai egyenletekből kiindulva felírhatjuk az optimális pálya

A D

szakaszán a golyó vízszintes elmozdulását az

α

szög és a

v

kezdősebesség segítségével:

\begin{matrix} d = \frac{2 v^{2} sin α cos α}{g} . \end{matrix}

(2)

A megjegyzésben szereplő

(1)

egyenletből beírva ide

v^{2}

-et megkapjuk a hajítási szöget:

\begin{matrix} tan α = \frac{h d}{L (L - d)} = \frac{3}{7} \to α = 23, 2^{\circ} . \end{matrix}

Ezt az eredményt visszaírva a

(2)

egyenletbe a következő kifejezéshez jutunk:

\begin{matrix} v^{2} = \frac{g d}{2 sin α cos α} = \frac{g d (1 + tan^{2} α)}{2 tan α} . \end{matrix}

Az adatokat behelyettesítve végül megkapjuk a sebesség számszerű értékét:

\begin{matrix} v = \sqrt[]{\frac{29}{21} g d} = 12, 8 \frac{m}{s} . \end{matrix}

F2. Mivel a szupravezető belsejébe a mágneses tér nem hatolhat be, az indukcióvonalak folytonosságából következően a mágneses indukcióvektornak mindenhol érintőirányúnak kell lennie a cső külső és belső felülete mentén. A feladatunk az, hogy a határfeltételt kielégítő (felületi) árameloszlást megtaláljuk.
Az ilyen, ún. peremérték-problémákat középiskolás szinten a tükrözés módszerével szoktuk megoldani. Ennek lényege, hogy egy zárt tartomány peremén elhelyezkedő áram- vagy töltéseloszlás hatását a tartományon kívül található, megfelelően megválasztott erősségű és helyzetű ,,tüköráramokkal'' vagy ,,tükörtöltésekkel'' helyettesítjük. Ez az eljárás csak néhány speciális geometriájú felület (pl. síkok, gömb vagy henger) esetén működik, de most éppen ilyennel van dolgunk. Próbáljuk hát a szupravezető cső falában folyó áramok hatását egy, a csövön kívül elhelyezkedő, képzeletbeli, áramjárta egyenes vezetővel leírni!
Könnyen látható, hogy a ,,tüköráram'' a cső belsejében lévő vezetékben folyó valódi árammal ellentétes irányú, ellenkező esetben a mágneses indukcióvektor sugárirányú komponense nem tűnhetne el a cső fala mentén. A szimmetria miatt a tüköráram a cső tengelye és a valódi áramvezető által meghatározott síkban helyezkedik el. Jelöljük (általánosan) a valódi vezetőnek, illetve a tüköráramnak a cső tengelyétől mért távolságát rendre

d

-vel és

x

-szel (az ennek megfelelő vektorok pedig legyenek

d

és

x

). A tüköráram egyelőre ismeretlen erősségét jelöljük

n I

-vel (

n > 0

2. ábra

Vizsgáljuk a szupravezető cső szimmetriatengelyre merőleges síkmetszetét, és írjuk fel belül a mágneses indukcióvektort az ábra jelöléseivel a cső tengelyéhez képest

R

vektorral jellemezhető pontban (

| R | = R

)! A valódi áramvezető és a tüköráram által keltett indukciójárulékok vektoros alakban:

\begin{matrix} B_{1} = \frac{μ_{0} I}{2 π} e_{z} \times \frac{r_{1}}{r_{1}^{2}}, B_{2} = - \frac{μ_{0} n I}{2 π} e_{z} \times \frac{r_{2}}{r_{2}^{2}}, \end{matrix}

ahol

r_{1}

és

r_{2}

a vezetékektől a vizsgált pontba mutató vektorok,

e_{z}

pedig a valódi vezetékben folyó árammal azonos irányú egységvektor. Azt szeretnénk elérni, hogy az eredő indukcióvektor (ami

B_{1}

és

B_{2}

vektori összege) érintőirányú legyen, amit matematikailag így fejezhetünk ki:

\begin{matrix} R (B_{1} + B_{2}) = 0 . \end{matrix}

Ebbe behelyettesítve

B_{1}

és

B_{2}

korábbi kifejezését, majd egyszerűsítés után:

\begin{matrix} \frac{R (e_{z} \times r_{1})}{r_{1}^{2}} - \frac{n R (e_{z} \times r_{2})}{r_{2}^{2}} = 0 . \end{matrix}

A vegyes szorzatra vonatkozó

a (b \times c) = b (c \times a)

azonosságot felhasználva:

\begin{matrix} e_{z} {\underset{︸}{[\frac{r_{1} \times R}{r_{1}^{2}} - \frac{n r_{2} \times R}{r_{2}^{2}}]}}_{= 0}^{} = 0 . \end{matrix}

A szögletes zárójelben álló mindkét tag párhuzamos az

e_{z}

vektorral, ezért a skaláris szorzat csak úgy lehet zérus, ha a zárójeles mennyiség eltűnik. Fejezzük ki az

r_{1}

és

r_{2}

vektorokat

x

-szel és

d

-vel!

\begin{matrix} r_{1} = R - x, r_{2} = R - d . \end{matrix}

Ezzel a következő feltételt kapjuk:

\begin{matrix} \frac{(R - x) \times R}{| R - x |^{2}} - \frac{n (R - d) \times R}{| R - d |^{2}} = 0 . \end{matrix}

A zárójeleket felbontva, majd

R \times R = 0

felhasználásával:

\begin{matrix} R \times [\frac{x}{| R - x |^{2}} - \frac{n d}{| R - d |^{2}}] = 0 . \end{matrix}

R

vektor minden értékére ez csak úgy lehetséges, ha a szögletes zárójelben álló vektor nullvektor. Mivel

x

és

d

egyirányú vektorok, ezért ennek feltétele:

\begin{matrix} \frac{x}{| R - x |^{2}} = \frac{n d}{| R - d |^{2}} . \end{matrix}

Szorozzunk be a nevezőkkel, és fejtsük ki az abszolútérték-négyzeteket:

\begin{matrix} x (R^{2} - 2 R d + d^{2}) = n d (R^{2} - 2 R x + x^{2}) . \end{matrix}

Átrendezve:

\begin{matrix} x R^{2} - n d R^{2} + x d^{2} - n d x^{2} = 2 (1 - n) (R d) x . \end{matrix}

Az egyenlet bal oldala nem függ az

R

vektor irányától, míg a jobb oldal igen. Ez az egyenlőség csak úgy állhat fenn

R

tetszőleges iránya esetén, ha

n = 1

, azaz az egyenlet mindkét oldala nulla. Ez azt jelenti, hogy a ,,tükörvezetékben'' folyó áram ugyanakkora nagyságú, de ellentétes irányú, mint a valódi vezetőben folyó áram.
Az

n = 1

helyettesítéssel rövid számolás után végül a következő eredményt kapjuk a tükörvezeték helyzetére:

\begin{matrix} d = \frac{R^{2}}{x}, \end{matrix}

azaz

x = R / 2

esetén

d = 2 R

a)

A cső belsejében a mágneses mezőt a valódi és a ,,tükörvezeték'' által keltett terek szuperpozíciójaként számolhatjuk. Az egyenes áramjárta vezetékre hosszegységenként ható

f

Lorentz-erő kiszámításakor tehát a tükörvezeték által a valódi vezeték helyén keltett mágneses teret kell figyelembe vennünk:

\begin{matrix} f = I B_{2} = I \cdot \frac{μ_{0} I}{2 π (d - x)} = \frac{μ_{0} I^{2}}{3 π R} . \end{matrix}

Az erő taszító jellegű, a vezeték ,,igyekezne'' a szupravezető cső közepén elhelyezkedni.

b)

A feladat síkbelisége miatt a cső belső és külső falán egyaránt tengelyirányú áram folyik. A belső felületen folyó áram vonalmenti sűrűségét az Ampre-féle gerjesztési törvénnyel határozhatjuk meg. Ehhez tekintsük az

A

pont környékén a 3. ábrán látható, téglalap alakú zárt hurkot!

3. ábra

Ha a téglalap fallal párhuzamos oldala

ℓ

hosszúságú, akkor a gerjesztési törvény:

\begin{matrix} ℓ B_{A} = μ_{0} J_{A} ℓ, \end{matrix}

hiszen a szupravezető anyagban a mágneses indukció értéke nulla. Ebből a

J_{A}

vonalmenti áramsűrűség:

\begin{matrix} J_{A} = \frac{1}{μ_{0}} B_{A}, \end{matrix}

és hasonló összefüggés igaz a cső belső falának bármely pontjára. Az

A

pontbeli indukcióvektor nagysága szuperpozícióval könnyen számolható a tüköráram segítségével:

\begin{matrix} B_{A} = \frac{μ_{0} I}{2 π (R + x)} - \frac{μ_{0} I}{2 π (R + d)} = \frac{μ_{0} I}{6 π R} . \end{matrix}

A

pont közelében tehát a cső belső falán a vonalmenti áramsűrűség:

\begin{matrix} J_{A} = \frac{I}{6 π R} . \end{matrix}

B

pontbeli indukcióvektor kiszámítása egy fokkal nehezebb, mert itt

B_{1}

és

B_{2}

nem párhuzamos irányú vektorok. A 3. ábrán látható

α

szög segítségével az eredő indukcióvektor nagysága:

\begin{matrix} B_{B} = B_{1} cos α - B_{2} sin α = \frac{μ_{0} I}{2 π r_{1}} cos α - \frac{μ_{0} I}{2 π r_{2}} sin α . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

r_{1} = R / cos α

r_{2} = R / sin α

\begin{matrix} B_{B} = \frac{μ_{0} I}{2 π} (cos^{2} α - sin^{2} α) . \end{matrix}

A megjelenő szögfüggvényeket a 3. ábra segítségével kifejezhetjük:

\begin{matrix} cos α = \frac{R}{\sqrt[]{R^{2} + x^{2}}} = \frac{2}{\sqrt[]{5}}, sin α = \frac{1}{\sqrt[]{5}} . \end{matrix}

Ebből végül a

B

pontbeli indukció:

\begin{matrix} B_{B} = \frac{3 μ_{0} I}{10 π}, \end{matrix}

valamint a vonalmenti áramsűrűség:

\begin{matrix} J_{B} = \frac{3 I}{10 π} . \end{matrix}

c)

A cső belső felületén folyó árameloszlás önmagában elegendő ahhoz, hogy az indukcióvonalak behatolását a szupravezetőbe megakadályozza. Ennek az áramnak a teljes erőssége éppen

I

, amint az könnyen belátható, ha az Ampre-törvényt a cső falában futó körre alkalmazzuk. Ennek az áramnak (a cső véges mérete miatt) valahol vissza is kell folynia, az pedig csak a cső külső felületén lehetséges. A külső felületen folyó áram eloszlásának olyannak kell lennie, hogy a cső falában az indukció továbbra is zérus maradjon. Ez úgy lehetséges, hogy a külső felületen az árameloszlás egyenletes, vonalmenti áramsűrűsége

I / (2 π R)

F3.

a)

A hatásfok definíciója alapján kifejezhetjük a belső Carnot-gép által felvett és leadott

J_{m} = \frac{Q_{m}}{Δ t}

és

J_{h} = \frac{Q_{h}}{Δ t}

hőteljesítményt az

η

hatásfokkal és a gép által leadott

P = \frac{W}{Δ t}

mechanikai teljesítménnyel:

\begin{matrix} \begin{matrix} η & = \frac{Q_{m} - Q_{h}}{Q_{h}} = \frac{J_{m} - J_{h}}{J_{m}} \\ P & = J_{m} - J_{h} \end{matrix}} \to \begin{matrix} J_{m} & = \frac{P}{η}, \\ J_{h} & = \frac{P (1 - η)}{η} . \end{matrix} \end{matrix}

Fourier hővezetési törvénye a meleg és a hideg oldalon így írható:

\begin{matrix} J_{m} = κ_{m} (T_{m} - t_{m}), J_{h} = κ_{h} (t_{h} - T_{h}) . \end{matrix}

A hőáramokra kapott korábbi formulák, illetve a hővezetési egyenletek felhasználásával kifejezhetjük a belső

t_{m}

és

t_{h}

hőmérsékletet a külső

T_{m}

és

T_{h}

hőmérséklettel, a hatásfokkal, valamint a leadott mechanikai teljesítménnyel:

\begin{matrix} t_{m} & = T_{m} - \frac{J_{m}}{κ_{m}} = T_{m} - \frac{P}{η κ_{m}}, \\ t_{h} & = T_{h} + \frac{J_{h}}{κ_{h}} = T_{h} + \frac{P (1 - η)}{η κ_{h}} . \end{matrix}

A belső Carnot-gép hatásfokát a hőtartályok

t_{m}

és

t_{h}

hőmérsékletének ismeretében felírhatjuk, és így összefüggést kapunk

η

és

P

között:

\begin{matrix} η = 1 - \frac{t_{h}}{t_{m}} = 1 - \frac{T_{h} + \frac{P (1 - η)}{η κ_{h}}}{T_{m} - \frac{P}{η κ_{m}}}, \end{matrix}

ahonnan kifejezhető a keresett

P (η)

függvény:

\begin{matrix} P (η) = \frac{κ_{m} κ_{h}}{κ_{m} + κ_{h}} (η T_{m} - \frac{η}{1 - η} T_{h}) . \end{matrix}

b)

Ahogy növeljük a gépből kivett

P

mechanikai teljesítményt, nő a

J_{m}

és

J_{h}

hőáram is. Ha azonban ezek a hőáramok túl nagyok, akkor naggyá válik a külső és belső hőmérsékletek közötti

T_{m} - t_{m}

illetve

t_{h} - T_{h}

különbség, és a két belső hőmérséklet közel kerül egymáshoz, ami az

η

hatásfok, illetve a

P

teljesítmény csökkenéséhez vezet. Ez alapján látható, hogy van egy optimális

η^{*}

hatásfok, ami mellett a leadott

P

mechanikai teljesítmény maximális. A

P (η)

függvény maximumánál a derivált zérus, tehát

\begin{matrix} P' (η^{*}) = \frac{κ_{m} κ_{h}}{κ_{m} + κ_{h}} [T_{m} - \frac{1}{{(1 - η^{*})}^{2}} T_{h}] = 0, \end{matrix}

ahonnan a keresett maximumhely:

\begin{matrix} η^{*} = 1 - \sqrt[]{\frac{T_{h}}{T_{m}}} . \end{matrix}

Érdekes, hogy az eredmény független a hővezetési tényezőktől, és ,,csupán'' a négyzetgyökjelben tér el a Carnot-gép hatásfokától.

F4. Vezessünk be egy koordináta-rendszert, melynek

x

tengelye a futószalag sebességével azonos irányú,

y

tengelye pedig a labda kezdősebességének irányába mutat (4. ábra). Amikor a labda megérkezik a futószalagra, tömegközéppontjának

x

irányú sebességkomponense zérus,

y

irányú sebessége pedig a kezdeti

v_{0}

érték:

\begin{matrix} v_{x} (t = 0) = 0, v_{y} (t = 0) = v_{0} . \end{matrix}

A labda kezdetben csak az

x

iránnyal párhuzamos tengely körül forog, a szögsebesség-vektor

y

komponense tehát nulla:

\begin{matrix} ω_{y} (t = 0) = 0 . \end{matrix}

A futószalagra érve a labdára az állandó nagyságú

S

csúszási súrlódási erő kezd hatni a futószalag sebességével megegyező irányban. A további mozgás során a súrlódási erő iránya mindig a labda legalsó pontjának a futószalaghoz viszonyított (relatív) sebességével ellentétes lesz.

4. ábra

A csúszási súrlódási erő kezdetben

x

irányban gyorsítja az

m

tömegű labda tömegközéppontját, így annak gyorsulása:

\begin{matrix} a = \frac{S}{m} . \end{matrix}

Mivel az

S

erőnek forgatónyomatéka van a tömegközéppontra nézve, az

R

sugarú labda

β

szöggyorsulással forogni kezd az

y

iránnyal párhuzamos tengely körül a 4. ábrán feltüntetett irányban. A forgómozgás dinamikai egyenlete:

\begin{matrix} S R = \frac{2}{5} m R^{2} β, \end{matrix}

ahol felhasználtuk, hogy a labda tehetetlenségi nyomatéka

2 m R^{2} / 5

. Ebből meghatározható a labda szöggyorsulása:

\begin{matrix} β = \frac{5 S}{2 m R} . \end{matrix}

Látszik, hogy a súrlódási erő csak a sebesség

x

komponensét és a szögsebességvektor

y

komponensét változtatja meg, a tömegközéppont

y

irányú sebességkomponensére és az

x

tengellyel párhuzamos tengely körüli forgómozgásra nincs hatással. Ebből következik, hogy a labda legalsó pontjának futószalaghoz viszonyított relatív sebessége mindvégig

- x

irányú marad. Azaz a labdára ható csúszási súrlódási erőnek nem csak a nagysága, de az iránya is állandó!
A labda szalagra érkezésének

t = 0

időpillanatától számítva meghatározható, hogyan függ a tömegközéppont

v_{x} (t)

sebessége, valamint az

ω_{y} (t)

szögsebesség az időtől:

\begin{matrix} v_{x} (t) = a t, ω_{y} (t) = β t . \end{matrix}

A labda ,,oldalazó'' csúszása közben

v_{x} (t)

és

ω_{y} (t)

egyenletesen növekszik mindaddig, amíg elő nem áll a labda tiszta gördülése. Tiszta gördülésről akkor beszélhetünk, ha a labda futószalaggal érintkező pontjának nyugvó koordináta-rendszerben mért sebessége megegyezik a szalag

V

sebességével. Matematikailag megfogalmazva:

\begin{matrix} v_{x} (τ) + ω_{y} (τ) R = V, \end{matrix}

ahol

τ

a tiszta gördülés beálltának időpillanatát jelöli. A fenti egyenletből, valamint a szöggyorsulásra és a gyorsulásra kapott korábbi eredményekből

τ

kifejezhető:

\begin{matrix} τ = \frac{2 m V}{7 S} . \end{matrix}

A feladat kitűzésében szerepel, hogy a súrlódási együttható (és emiatt

S

is) igen nagy, így

τ

rövid időtartam. Vagyis a tiszta gördülés sokkal hamarabb beáll, mint amennyi idő alatt a labda átér a futószalag túlsó oldalára. A tiszta gördülés kialakulásától kezdve a labda tömegközéppontjának

x

irányú komponense állandó lesz, értéke:

\begin{matrix} v_{x} (τ) = a τ = \frac{S}{m} \frac{2 m V}{7 S} = \frac{2}{7} V . \end{matrix}

A labda tehát az asztalhoz képest

2 V / 7

sebességgel egyenletesen mozog

x

irányban, így mire átér a szalag túloldalára,

\begin{matrix} d = \frac{2 V s}{7 v_{0}} \end{matrix}

utat tesz meg a szalaggal párhuzamosan, tehát ekkora mértékben tolódik el a pályája.

F5.

a)

Számozzuk meg a fémgömbhéjak főbb felületeit a 5. ábra bal oldala szerint! A feladatbeli elrendezés elektrosztatikus szempontból modellezhető az 5. ábra jobb oldalán látható rendszerrel. A

Q_{1 - 4}

töltések rendre az 1-4. felületeken levő töltéseknek feleltethetőek meg.

5. ábra

C

kondenzátor fegyverzeteinek töltése ugyanakkora nagyságú, de ellentétes előjelű:

\begin{matrix} Q_{2} = - Q_{3} . \end{matrix}

C

kondenzátor kapacitása igen nagy, hiszen a 2. és 3. felületek nagyon közel vannak egymáshoz. Ezért, ha véges mennyiségű töltéssel rendelkezik a kondenzátor, a fegyverzetek közti feszültség elhanyagolhatóan kicsi marad, azaz a 2. és 3. felületek lényegében ekvipotenciálisak. A velük fémes kapcsolatban álló 1. és 4. felületek emiatt szintén ekvipotenciálisnak tekinthetők. Így az 5. ábra jobb oldalán látható

C

kondenzátoron kívül, de a gömbhéjakon belül az elektromos térerősség nulla, ami csak úgy lehetséges, ha az 1. és 4. felületek töltése megegyezik:

\begin{matrix} Q_{1} = Q_{4} . \end{matrix}

Tehát a

Q_{1}

és

Q_{4}

töltésekkel rendelkező félgömbök felületei összességében egy egyenletesen töltött gömbfelület megszokott gömbszimmetrikus terét hozza létre a felületeken kívül, míg belül a tér zérus.

Tudjuk továbbá, hogy a feladatban szereplő félgömbhéjra összesen

Q

töltést juttattunk, tehát fennáll:

\begin{matrix} Q_{3} + Q_{4} = Q . \end{matrix}

A fémgömb össztöltése viszont nulla, amelyet a

\begin{matrix} Q_{1} + Q_{2} = 0 \end{matrix}

egyenlet fejez ki. A fenti egyenletrendszert megoldva a következő töltésértékeket kapjuk:

\begin{matrix} Q_{1} & = \frac{Q}{2}, & Q_{2} & = - \frac{Q}{2}, \\ Q_{3} & = \frac{Q}{2}, & Q_{4} & = \frac{Q}{2} . \end{matrix}

Az eddigi eredmények alapján kiszámíthatjuk az 5. ábra bal oldalán látható felületek töltéssűrűségét. A feladatkitűzésben szereplő fémgömb 1. és 2. felületeinek töltéssűrűsége:

\begin{matrix} σ_{1} = \frac{Q_{1}}{2 π R^{2}} = \frac{Q}{4 π R^{2}}, σ_{2} = - σ_{1} = - \frac{Q}{4 π R^{2}} . \end{matrix}

Míg a félgömbhéj külső és belső felületének együttes töltéssűrűsége:

\begin{matrix} σ_{f} = \frac{Q_{3} + Q_{4}}{2 π R^{2}} = \frac{Q}{2 π R^{2}} \end{matrix}

b)

Ahhoz, hogy meghatározzuk, mekkora erővel hat egymásra a gömb és a félgömbhéj, meg kellene határoznunk, mekkora

E_{g}

teret hozna létre a gömbfelületen levő töltéselrendeződés, ha a félgömbhéj nem lenne ott. Ebben az

E_{g}

térben helyekedik el ugyanis a félgömbhéj, amelyre a térrel arányos nagyságú Coulomb-erő hat.
Az

E_{g}

tér meghatározása érdekében vizsgáljuk meg a térerősséget félgömbhéj anyagának belsejében, vagyis a 3. és a 4. felület között! Ismert, hogy fémek belsejében az elektromos térerősség zérus, ez igaz a 3. és 4. felület közötti térrészben is. Itt a térerősséget három összetevő határozza meg az alábbi egyenlet szerint:

\begin{matrix} E_{g} + E_{3} - E_{4} = 0, \end{matrix}

ahol

E_{g}

a fémgömb által keltett, egyelőre ismeretlen térerősség,

E_{3}

a 3. felület által keltett tér, amely a 3. és 4. felületek közt sugárirányban kifelé mutat, továbbá

E_{4}

a 4. felület járuléka, amely sugárirányban befelé mutat, így negatív előjellel kell figyelembe venni.
A fenti egyenletből a kérdéses

E_{g}

térerősség kifejezhető:

\begin{matrix} E_{g} = E_{4} - E_{3} = \frac{σ_{4}}{ε_{0}} - \frac{σ_{3}}{ε_{0}} = 0, \end{matrix}

ahol felhasználtuk azt a Gauss-törvényből következő tényt, hogy az

E_{3}

és

E_{4}

térerősségek a 3. és 4. felület töltéssűrűségeivel arányosak. Mivel azonban

σ_{4} = σ_{3}

, így

E_{g} = 0

. A polarizált fémgömb tehát nem hoz létre elektromos teret a félgömbhéj helyén, így a két test között nem lép fel erő!

F6. Gondolatban osszuk fel a bolygó légkörét koncentrikus, vékony gömbhéjakra! Vizsgáljuk a fénysugarat, ahogy

α_{1}

beesési szög alatt belép az

r_{1}

sugarú,

d r = r_{2} - r_{1}

vastagságú gömbhéjba (6. ábra).

6. ábra

A gömbhéj külső felületén a törésmutató

n (r_{1})

-ről

n (r_{2})

-re változik, így a

β_{1}

törési szög a Snellius-Descartes‐törvénnyel számolható:

\begin{matrix} n (r_{1}) sin α_{1} = n (r_{2}) sin β_{1} . \end{matrix}

β_{1}

szög kifejezhető azzal az

α_{2}

beesési szöggel is, amely alatt a fénysugár az

r_{2}

sugarú gömbhélyhoz ér:

\begin{matrix} β_{1} = α_{2} - d φ, \end{matrix}

ahol

d φ

a sugár 6. ábrán látható kis szögelfordulása. A fenti két egyenlet, valamint a két szög összegének szinuszára vonatkozó azonosság felhasználásával a következőt kapjuk:

\begin{matrix} n (r_{1}) sin α_{1} \approx n (r_{2}) sin α_{2} (1 - d φ cot α_{2}) . \end{matrix}

Az ábráról leolvasható még az

r_{1} d φ cot α_{2} \approx r_{1} - r_{2}

geometriai összefüggés. Ennek segítségével megkapjuk a ,,gömbi Snellius-Descartes‐törvényt'':

\begin{matrix} n (r_{1}) r_{1} sin α_{1} = n (r_{2}) r_{2} sin α_{2} . \end{matrix}

Megjegyzés: Ez az egyenlet abból a tényből is levezethető, hogy közeghatáron a fény hullámszámvektorának felülettel párhuzamos komponense nem változik meg, így a fény (bolygó középpontjára vonatkoztatott) ,,impulzusnyomatéka'' állandó.

a)

A feladatban

n (r) = n_{0} R / r

, azaz a fény beesési szöge állandó marad a közeghatárokon. Ez azt jelenti, hogy a fénysugár pályájának érintője állandó,

90^{\circ} - θ

szöget zár be a sugárral; a fény trajektóriája tehát logaritmikus spirál.

b)

A fény terjedési sebessége a bolygó középpontjától

r

távolságra:

\begin{matrix} v (r) = \frac{c}{n (r)} = \frac{c}{n_{0} R} r, \end{matrix}

így a sebesség radiális komponense

- v (r) sin θ

. A felszín eléréséhez szükséges időt tehát a következő integrál adja meg:

\begin{matrix} t = \int d t = \int_{R + h_{0}}^{R} \frac{d r}{- v (r) sin θ} = \frac{n_{0} R}{c sin θ} \int_{R}^{R + h_{0}} \frac{d r}{r} . \end{matrix}

Az integrálást elvégezve végül a következő eredményt kapjuk:

\begin{matrix} t = \frac{n_{0} R}{c sin θ} ln \frac{R + h_{0}}{R} \approx \frac{n_{0} h_{0}}{c sin θ}, \end{matrix}

ahol az utolsó lépésben feltételeztük, hogy

h_{0} ≪ R

c)

Írjuk fel a

φ

szög

d φ / d t

változási ütemét:

\begin{matrix} \frac{d φ}{d t} = \frac{v (r) cos θ}{r} = \frac{c cos θ}{n_{0} R}, \end{matrix}

amely állandó. A feladat szövege szerint a rádiuszvektor

2 π N

szöggel fordul el a felszín eléréséig (itt

N

egész szám), a felszín eléréséig szükséges

t

időt korábban meghatároztuk, így:

\begin{matrix} \frac{2 π N}{t} = \frac{c cos θ}{n_{0} R} . \end{matrix}

t

-re kapott korábbi eredményt felhasználva

tan θ

kifejezhető:

\begin{matrix} tg θ = \frac{1}{2 π N} ln \frac{R + h_{0}}{R} \approx \frac{1}{2 π N} \frac{h_{0}}{R} . \end{matrix}

Megjegyzés. Természetesen akkor is az indítási pont alatt éri el a lézersugár a bolygó felszínét, ha sugárirányban indítjuk (

θ = 90^{\circ}

). Formálisan megkapjuk ezt a megoldást is az

N = 0

helyettesítéssel.

Sarkadi Tamás, Szász Krisztián, Tasnádi Tamás,
Vankó Péter és Vigh Máté

^{$^{*}$}A feladatok szövege a KöMaL múlt havi számában olvasható.