Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Balga Attila ,  Székely Péter
Füzet:	2020/szeptember, 333 - 336. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Felvételi előkészítő feladatsor, Matematika

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ Adott két függvény: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2x+9}{3};g\left(x\right)=\sqrt[]{x^2+4x+4}\mathrm{.}}\end{array}$ Van-e olyan $x\in \text{R}$, ahol a két függvény helyettesítési értéke megegyezik?  (6 pont) $b)$ Van-e olyan $p$ valós szám, amelyre az alábbi két kifejezés értéke egyenlő: $\begin{array}{c}{\displaystyle A=\text{log}{}_2\left(p+2\right)+\text{log}{}_2\left(p-2\right);B=1+\text{log}{}_2\left(p+10\right)?}\end{array}$ (6 pont)   2. Solymász tanár úr biológia órájára 26 végzős jár, és valamennyien részt vesznek imádott biológia tanáruk humánetológia óráján is. Félévkor a tanár úr (nevelő célzattal) meglehetősen szigorú volt, ezért 21-en nem kaptak ötöst biológiából és 19-en nem kaptak ötöst humánetológiából. Ugyanakkor 8-an kaptak ötöst legalább az egyik tárgyból. $a)$ Hány végzős kapott ötöst mindkét tárgyból?  (4 pont) A biológia próbaérettségit mind a 26 diák megírta. A tanár úr korábbi szigorúsága elérte célját, mert a próbaérettségi már sokkal jobban sikerült. Senki sem kapott elégtelen, vagy elégséges osztályzatot. A közepes, jó és jeles osztályzatok száma ebben a sorrendben egy mértani sorozat három egymást követő eleme lett. A csoport átlaga $\frac{60}{13}$ lett. $b)$ Számoljuk ki a próbaérettségi osztályzatainak szórását. Az eredményt két tizedesjegy pontosággal adjuk meg.  (8 pont)   3. $a)$ Határozzuk meg az $f:\text{R}\to \text{R}$, $f\left(x\right)=x^3-3x^2-24x+2$ függvény lokális maximumhelyét.  (5 pont) $b)$ Mekkora területet zár be a $g:\text{R}\to \text{R}$, $g\left(x\right)=3x^2-6x-24$ függvény grafikonja és az $x$ tengely?  (6 pont) $c)$ Mennyi az $a_n=\frac{11n-5}{3n+8}$ sorozat határértéke?  (3 pont)     4. Peti bá' egy téglalap alapú babaházat készített a lányainak. A téglalap oldalai 60 cm és 80 cm. A babaházra egy levehető ,,sátortetőt'' készített. A tető felső éle 40 cm hosszú, és a babaház téglalap alakú mennyezetének hosszabbik középvonala felett, attól 35 cm távolságra van. A tető oldalélei egyenlő hosszúak.     $a)$ Számítsuk ki az oldalélek hosszát és a vízszintes síkkal bezárt szögüket.  (7 pont) Zsófi a tető, trapéz alakú részére egy téglalap alakú díszt szeretne felragasztani. A téglalap egyik oldala illeszkedik a trapéz alapvonalára, két csúcsa pedig a trapéz száraira. $b)$ Mekkora a legnagyobb területű téglalap alapra illeszkedő éle, amelyet a megadott módon el lehet helyezni a tetőn? A választ négyzetcentiméterben, egész számra kerekítve adjuk meg.  (6 pont)   II. rész     5. A DÖ 900 pólót rendelt E5vös Napra. A pólókat két géppel nyomtatták. A gépeket kezdetben rosszul állították be, ezért az első gép (Horribile dictu!) a rajta nyomtatott 400 póló 2%-ára tévesen, az E5vös helyett az Eötvös feliratot nyomtatta, és a másik gép ugyanezt a hibát követte el a rajta nyomtatott pólók 3,4%-ával. A minőségellenőrzéskor Bocó a 900 alaposan összekevert pólóból véletlenszerűen kiválasztott egyet, és azon hibás volt a felirat. (Ezen persze kellőképpen elkeseredett $\text{...}$) $a)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy a hibás pólót a második gépen nyomtatták?  (5 pont) A DÖ úgy döntött, hogy a hibásan nyomtatott póló árából először 500 Ft árengedményt ad, de a kereslet nagyon minimális volt, ezért az új árat még tovább kellett csökkenteni, annak $p$%-ával. Így a póló 50 Ft-tal drágább lett, mintha először engedték volna le az árát $p$%-kal és utána 500 Ft-tal, viszont 90 Ft-tal olcsóbb lett, mint ha mindkétszer az aktuális ár $p$%-ával csökkentették volna az árát. $b)$ Mennyi volt a póló eredeti ára, és hány százalékos volt a csökkentés?  (11 pont)   6. Fixi kerékpárunkon az első lánctányéron 46 fog található, a hátsó fogaskeréken pedig 18 fog van. (Az első lánctányérhoz rögzítik a pedált, a hátsó fogaskerék pedig a hátsó keréken van.)     1. ábra   Az 1. ábrán a lánc felülnézeti képe látható, a második ábrán pedig az, hogy miként illeszkedik a lánc a fogaskerékre. Két láncszem tengelye 1,27 cm távolságra van egymástól (lásd 2. ábra).     2. ábra   $a)$ Milyen hosszú lánc férne az első lánctányérra, ha teljesen körbetekernénk lánccal?  (3 pont) A két fogaskerék (a pedál és a hátsó tengely) középpontja 41 cm van egymástól (3. ábra) és a lánc teljesen feszes.     3. ábra   $b)$ Milyen hosszú lánc van a kerékpáron? (Válaszunkat centiméterben, két tizedesjegy pontossággal adjuk meg.)  (10 pont) A láncokat gyártó üzemben 160 láncszemből álló láncdarabokat készítenek. A mérések alapján a láncdarabok 2%-ában egy szemmel kevesebb van, mint az előírás. A láncszemek számát egy számítógép ellenőrzi egy futószalagon. A futószalag különböző pontjain véletlenszerűen kiválaszt egy láncdarabot és meghatározza, hány láncszemből áll, de a futószalag folyamatosan mozog, ezért nem lehet kiemelni a hibás láncdarabot. Ennek megfelelően akár az az extrém eset is előfordulhat, hogy ugyanazt a láncdarabot ellenőrzi csak, akár többször is. Egy félórás időintervallumban 5000 láncdarab kering a futószalagon. $c)$ Határozzuk meg a fél óra alatt hibásnak talált láncdarabok várható értékét.   (3 pont)   7. Ábel elkésett a matematika óráról. Amikor tanára kérdőre vonta, a következőképpen mentegetőzött: ,,Tanár úr! Fáj a lábam, ezért nem tudtam lépcsőn feljönni a harmadik emeletre. Lifttel kellett jönnöm, de a liftre ki van írva, hogy 13 fő használhatja, és sokáig tartott, amíg összejött a 13 ember.'' (Ezzel persze kitűnő lehetőséget biztosított matematika tanárának, hogy elmagyarázza a ,,legfeljebb'' és ,,legalább'' szavak matematikai lényegét $\text{...}$) Az E5vös Napokon az Igazgató Úr úgy döntött, hogy a tizenkettedikesek szabadon használhatják a liftet. A végzősök úgy gondolták, hogy ezt a lehetőséget maximálisan kihasználják, ezért minden esetben 13-an szálltak be az üres liftbe. $a)$ Bizonyítsuk be, hogy minden ilyen alkalommal biztosan utazott a liftben legalább három olyan diák, akik osztálytársak voltak. (Az iskolában hat végzős osztály van.)  (3 pont) Az E5vös Napokon a Ki Mit Tud?-ra 12 fős diákzsűri is alakult, amelyet a végzős évfolyamból véletlenszerűen választottak ki. $b)$ Mekkora a valószínűsége annak, hogy minden osztályt pontosan két fő képviselt, ha az osztálylétszámok: 12.A: 32 fő, 12.B: 33 fő, 12.C: 31 fő, 12.D: 30 fő, 12.E: 29 fő, 12.F: 28 fő?  (6 pont) A streetball döntője után a hat résztvevő kezet fogott egymással. Mivel a meccs kissé elfajult, ezért voltak, akik nem fogtak kezet. Flóra megkérdezte a résztvevőket, hogy hány emberrel fogtak kezet, és a következő válaszokat kapta: 5; 4; 3; 3; 2; 2. Flóra ezek után a következőt mondta: ,,Biztos, hogy van közöttetek legalább egy ember, aki nem tud számolni.'' $c)$ Mire alapozta állítását?  (3 pont) Az E5vös Napok végén Főző úr, a technikus visszapakolta a kiadott eszközöket kis kuckójába. Lelkes segítői is akadtak, akik a kuckó elé odapakoltak két létrát, három fekete dobozt, négy projektort és öt vetítővásznat, meglehetősen nagy összevisszaságban. Főző úr, ezeket véletlenszerű sorrendben, egyesével bepakolta a helyére. $d)$ Hányféle módon történhetett ez, ha az azonos típusú eszközöket nem lehet megkülönböztetni egymástól?  (4 pont)   8. Ábrázoljuk derékszögű koordináta-rendszerben az alábbi ponthalmazokat: $a)$ $A:=\left\{P\left(x;y\right)\mid 9x^2-16y^2\ge 0\right\}$.  (5 pont) $b)$ $B:=\left\{Q\left(x;y\right)\mid x^2+y^2\le 25\right\}$.  (3 pont) $c)$ Mekkora az $A\cap B$ halmaz területe?  (8 pont)   9. Egy piramisjáték elindítója az első héten öt embert szervezett be. A szervezés jól folytatódott, ezért a második héttől kezdődően a hetente beszervezettek száma a következő sorozat szerint alakult: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=3\cdot a_{n-1}-8.}\end{array}$ $a)$ Összesen hányan vettek már részt az ötödik héten a játékban?  (3 pont) $b)$ Igazoljuk, hogy a sorozat utolsó számjegyei periodikusan ismétlődő sorozatot alkotnak.  (5 pont) $c)$ Bizonyítsuk be, hogy a sorozat $n$-edik eleme a másodiktól kezdve: $a_n=3^{n-1}+4$.  (8 pont)