Cím: Monoton leképezések fixpontjai II:
Szerző(k):  Bessenyei Mihály ,  Pénzes Evelin 
Füzet: 2020/szeptember, 328 - 333. oldal  PDF  |  MathML 
Témakör(ök): Szakmai cikkek, Különleges függvények

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

0
A fraktálokat szokás leképezéscsaládok invariáns halmazainak tekinteni. Hutchinson nevezetes fraktáltétele is ezt veszi alapul, mivel ez az értelmezés kaput nyit a fixponttételek módszerei előtt. Célunk Hutchinson eredeti megközelítésének egyszerűsített formában történő bemutatása. Az egyszerűsítést a Knaster‐Tarski-féle fixponttétel élesített változata biztosítja.

 
1. Bevezetés

A fraktál mindannyiunk számára jól ismert kifejezés. Túlzás nélkül állíthatjuk, hogy a fraktálok mindenütt jelen vannak [2], hiszen találkozhatunk velük fizikai, kémiai, biológiai folyamatokban, sőt a művészetben vagy a természetben is. Eközben magát a pontos definíciót a titokzatosság homálya övezi, részben azért, mert a matematikai szakirodalomban sincs egységes, mindenki által elfogadott fraktálfogalom. Vannak, akik a törtdimenziós halmazokat tekintik fraktálnak. Maga az elnevezés a latin `fragmentus', azaz ,,töredezett'' szóból ered, és Mandelbrot, a fraktálok atyja szintén ezt a definíciót használta [8].
Egy másik elterjedt értelmezés az önhasonlóság tulajdonságából indul ki. Tekintsük például a jól ismert Cantor-halmazt. Ehhez úgy jutunk, hogy a [0,1] intervallum középső nyílt harmadát eltávolítjuk, majd a keletkező két intervallum középső nyílt harmadát hagyjuk el. Ezt az eljárást ismételjük, minden lépésben a meglévő zárt intervallumok középső nyílt harmadát törölve:
 
 

Végezetül, az egyes lépésekben kapott halmazok közös részét véve, kapjuk a Cantor-halmazt. Megmutatható, hogy e közös rész nem üres, sőt kontinuum számosságú.
Azonnal látható, hogy a Cantor-halmaz önhasonló, hiszen a harmadára zsugorított képe és ennek 2/3-dal vett eltoltja visszaadja az eredeti halmazt. Másképpen fogalmazva, a Cantor-halmaz eleget tesz az alábbi invariancia egyenletnek:
C=13C∪(13C+23).(1)
Természetesen az üres halmaz vagy a valós számok halmaza is teljesíti ezt az invarianciát. Azonban a Cantor-halmaz az egyetlen olyan nem üres megoldás, amely korlátos és zárt. (Egy valós részhalmaz zárt, ha a komplementer minden pontja egy, a pontot tartalmazó nyílt intervallummal együtt tartozik a komplementerhez.)
A Cantor-halmaz önhasonlósági tulajdonságát szem előtt tartva, bevezethetjük az invariancia absztrakt fogalmát. Legyen F={f1,...,fm} az X nem üres halmazt önmagába képző függvények halmaza, s legyen A0⊆X. Azt mondjuk, hogy a H⊆X halmaz F-invariáns, ha kielégíti a H=F(H) egyenletet, ahol az F invariancia operátor az alábbi módon adott:
F(H)=⋃k=1mfk(H):=f1(H)∪...∪fm(H)∪A0.(2)
Itt a H halmaz f:X→X függvény általi képét a szokásos f(H):={f(x)∣x∈H} módon értelmezzük. Nyilvánvaló, hogy a Cantor-halmaz F-invariáns halmaz, ha az F család a korábban látott két zsugorítást tartalmazza, és A0=∅.
Tegyük fel, hogy az alaptér a valós számok halmaza, vagy az euklideszi sík, vagy az euklideszi tér, és tekintsünk ezen egy véges F függvénycsaládot. Azt mondjuk, hogy egy H részhalmaz F-fraktál, ha nem üres, korlátos, zárt, és F-invariáns. Egy alaptérbeli halmaz zártságát továbbra is úgy értelmezzük, hogy a komplementer minden pontja egy, a pontot tartalmazó nyílt intervallummal vagy nyílt körlemezzel vagy nyílt gömbbel együtt tartozik a komplementerhez. A bevezető példához fűzött megjegyzést ezek szerint úgy is fogalmazhatjuk, hogy a Cantor-halmaz az egyetlen fraktál, amely az (1) egyenletet teljesíti.
A fraktálelmélet alaptétele, Hutchinson híres eredménye [5] valójában a fraktálok egyértelmű létezésére vonatkozó egyszerű elegendő feltétel: Kicsinyítések bármely véges F családja meghatároz pontosan egy F-fraktált. Megjegyezzük, hogy Hutchinson tétele ennél jóval általánosabb formában érvényes, de olyan fogalmakra támaszkodik, melyek messze túlmutatnak cikkünk keretein. Azonban még ebből az egyszerűsített változatból is könnyen levezethető a Cantor-halmaz fraktál tulajdonsága. Hutchinson bizonyítása a fixponttételek módszerén alapul. A H=F(H) invariancia egyenlet egyértelmű fraktál megoldásának létezése azzal egyenértékű, hogy az F leképezésnek létezik egyértelmű fixpontja a nem üres, korlátos, zárt halmazok körében. Ehhez számos mély analízisbeli eszköz szükséges, például Banach híres fixponttétele [1]. A kontrakciós elvként közismert eredmény nemcsak a létezés és egyértelműség kérdését válaszolja meg, hanem iterációs eljárást is ad a fraktál tetszőleges pontosságú közelítésére.
Ha a fraktálelmélet alaptételét a megfogalmazás szintjén sem tudjuk hűen tolmácsolni, akkor természetesen a bizonyítás ismertetéséről is le kell mondanunk a szükséges elméleti háttér hiányában. Mégis föltett szándékunk, hogy Hutchinson művészi értékű megközelítéséből legalább egy kis ízelítőt adunk. A merész vállalkozáshoz szintén a P. 329. jelű pontversenyen kívüli probléma, a Knaster‐Tarski-féle fixponttétel [7] nyújt kapaszkodót. A Banach-féle fixponttételt ezzel helyettesítve kiderül, hogy az (2) egyenletnek létezik megoldása. Az egyértelműség helyett csupán egy gyengébb állítást tudunk megmutatni, nevezetesen, hogy a megoldások között van egy legszűkebb megoldás. Végezetül, a Banach-féle iterációt a Kantorovics-félével [6] kicserélve, eljárás nyerhető a legszűkebb megoldás előállítására. Jelen cikk a [3] dolgozat egyszerűsített változata.
 
2. Leképezéscsaládok invariáns halmazai

Ahogy azt korábbi cikkünkben láttuk [4], a Knaster‐Tarski-féle fixponttétel szerint minden monoton leképezésnek létezik fixpontja. Elsőként ennek az állításnak egy élesítését igazoljuk. Fölidézzük, hogy egy leképezés monoton, ha megőrzi a halmazelméleti tartalmazást. A továbbiakban F(X) jelöli az X részhalmazainak családját.
 
Tétel. Bármely monoton leképezésnek létezik legszűkebb fixpontja.
 
Bizonyítás. Tegyük fel, hogy F:F(X)→F(X) egy monoton leképezés. Emlékeztetünk arra, hogy a Knaster‐Tarski fixponttételhez az előző cikkünkben közölt bizonyításban a
H0=⋂{H⊆X∣F(H)⊆H}
halmaz fixpont tulajdonságát igazoltuk. Ha most H tetszőleges fixpont, akkor F(H)⊆H szintén fönnáll. Így H0⊆H a fenti definíció értelmében. Azaz, H0 minden más fixpontnak része, ami pontosan a kívánt állítást adja.  □
 

A továbbiakban a (2) invariancia operátor néhány egyszerű, de hasznos tulajdonságát foglaljuk össze. Nyilvánvaló, hogy A⊆B esetén f(A)⊆f(B) is fönnáll, ha f tetszőleges függvény. Innen láthatjuk, hogy az invariancia operátor monoton. Könnyen ellenőrizhető az is, hogy bármely f függvény esetén
f(A∪B)=f(A)∪f(B).
Ezt fölhasználva kapjuk, hogy az invariancia operátor fölcserélhető a halmazelméleti egyesítés műveletével. Használni fogjuk még az invariancia operátor iteratív hatványait, melyeket rekurzióval értelmezünk: F1(H):=F(H), továbbá Fn+1(H):=F(Fn(H)), ahol H⊆X tetszőleges. A pozitív egész számok halmazára az N jelölést alkalmazzuk.
Fő eredményünk a Hutchinson-féle alaptétel ,,struktúramentes'' megfelelője. A fraktálok geometriai tulajdonságai (korlátosság és zártság) sajnos nem igazolhatók a rendelkezésünkre álló eszközökkel. Cserében az alkalmazott módszerek nem lépik túl a naiv halmazelmélet kereteit, miközben hűen tükrözik Hutchinson fixpontos szemléletű megközelítését.
 
Tétel. Ha F véges függvénycsalád egy nem üres halmazon, akkor létezik legszűkebb F-invariáns halmaz, amely az alábbi alakban állítható elő:
L0=⋃n∈NFn(∅).(3)

 
Bizonyítás. Legyen F={f1,...,fm} adott függvénycsalád az X nem üres halmazon. Mivel az invariancia operátor monoton, ezért létezik legszűkebb H0 fixpontja. A monotonitás és a nyilvánvaló ∅⊆H0 tartalmazás miatt F(∅)⊆F(H0)=H0 következik, hiszen H0 fixpont. Ezt a gondolatmenetet teljes indukcióval kombinálva kapjuk, hogy Fn(∅)⊆H0 minden n∈N esetén teljesül. Így,
⋃n∈NFn(∅)⊆H0,
azaz L0⊆H0 adódik. Most azt igazoljuk, hogy L0 fixpontja az invariancia operátornak. Ezúttal a ∅⊆F(∅) tartalmazásból kiindulva de az előbbi gondolatmenetet használva kapjuk, hogy Fn(∅)⊆Fn+1(∅) ha n∈N. Vagyis, {Fn(∅)∣n∈N} egy bővülő halmazcsalád. Az egyszerűség kedvéért vezessük be az Ln=Fn(∅) jelölést. Az egyesítés függvényhatással való kapcsolatát és az egyesítés felcserélhetőségi tulajdonságát szem előtt tartva,
F(⋃n∈NFn(∅))=⋃k=1mfk(⋃n∈NLn)=⋃k=1m⋃n∈Nfk(Ln)=⋃n∈N⋃k=1mfk(Ln)=⋃n∈NF(Ln)=⋃n∈NF(Fn(∅))=⋃n∈NFn+1(∅)=⋃n∈NFn(∅).
Itt az utolsó lépésben azért lehetséges a kitevő csökkentése, mert bővülő halmazrendszert egyesítünk. Megállapíthatjuk tehát, hogy F(L0)=L0, ami pontosan a kívánt fixpont tulajdonság. Azonban H0 a legszűkebb fixpont, ezért H0⊆L0. Mivel korábban a fordított irányú tartalmazást már beláttuk, ezért összességében H0=L0 adódik.  □
 

Példaként tekintsük a
H=110H∪(110H+910)∪{0}
invariancia egyenletet. A fönti tétel értelmében ennek létezik legszűkebb megoldása, melyet a (3) alakban állíthatunk elő. Hogyan kaphatjuk meg ezt az előállítást? Elsőként teljes indukcióval azt igazoljuk, hogy
Fn+1(∅)={0,x1...xn∣xk∈{0;9},k=1,...,n}
teljesül minden n∈N0 esetén. Azonnal láthatjuk, hogy F(∅)={0}, vagyis az állítás igaz, ha n=0. Tegyük fel, hogy Fn+1(∅) a fenti alakban adott. Ennek minden elemét 10-zel osztva majd 0-val és 9/10-del eltolva kapjuk Fn+2(∅) elemeit. Ha tehát egy 0,x1...xn alakú elemből indulunk ki, akkor ez az eljárás egy 0,0x1...xn és egy 0,9x1...xn elemet eredményez. Vagyis, Fn+2(∅) olyan (n+1) hosszúságú tizedes törteket tartalmaz, melyek 0 vagy 9 számjegyekből állnak. Ezzel az állítást bebizonyítottuk. Ebből azonnal kapjuk, hogy a keresett egyesítési halmaz, vagyis a legszűkebb fixpont
H0={0,x1...xn∣xk∈{0;9},k=1,...,n;n∈N}.
Érdemes megjegyezni, hogy a H0 legszűkebb invariáns halmaz nem üres, és megszámlálhatóan végtelen számosságú.
A Cantor-halmazt definiáló egyenlet nagyfokú hasonlóságot mutat a példabeli invarianciaegyenlettel. Az eredeti formában ennek az üres halmaz a legszűkebb megoldása. Ha azonban (1) jobb oldalát egyesítjük a {0} halmazzal, az üres halmaz már nem megoldás, miközben a most bemutatott módszer ugyanígy alkalmazható. Végeredményképpen a Cantor-halmaz egy valódi, megszámlálhatóan végtelen részhalmazát kapjuk. Mivel ezt a legszűkebb invariáns halmazt triadikus törtek írják le, melyek tárgyalása nem célunk, ezért választottuk inkább a fönti példát.
A fixponttételek elmélete nem csupán a fraktálelméletben jut kulcsszerephez. Számos meglepő alkalmazásával találkozhatunk a klasszikus és modern analízisben, a geometriában, sőt a játékelméletben vagy az algebrában. A téma iránt érdeklődőknek ajánljuk Shapiro könyvét [9].
 
Hivatkozások


[1]S. Banach, Un théorŠme sur les transformations biunivoques, Fund. Math., 6 (1924), 236‐239.
[2]M. Barnsley, Fractals everywhere, Academic Press, Inc., Boston, MA, 1988.
[3]M. Bessenyei and E. Pénzes, Fractals for minimalists, Aequat. Math., 94 (2020), no. 3, 595‐603.
[4]Bessenyei M. és Pénzes E.: Monoton leképezések fixpontjai I., KöMaL, 73 (2020), 141‐146.
[5]J. E. Hutchinson, Fractals and self-similarity, Indiana Univ. Math. J., 30 (1981), 713‐747.
[6]L. Kantorovitch, The method of successive approximations for functional equations, Acta Math., 71 (1939), 63‐97.
[7]B. Knaster and A. Tarski, Un théoreme sur lesfonctions d'ensembles, Ann. Soc. Polon. Math., 6 (1927), 133‐134.
[8]B. Mandelbrot, Les objets fractals, Flammarion, Editeur, Paris, 1975, Forme, hasard et dimension, Nouvelle BibliothŠque Scientifique.
[9]J. H. Shapiro, A fixed-point farrago, Universitext, Springer, 2016.

 Bessenyei Mihály és Pénzes Evelin
 Debrecen
0A cikk a Bolyai János Kutatási Ösztöndíj, az Emberi Erőforrások Minisztériuma ÚNKP-18-2 és az Innovációs és Technológiai Minisztérium ÚNKP-19-4 kódszámú Új Nemzeti Kiválóság Programjának támogatásával készült.