Cím:	A 2020. évi Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny elméleti feladatai
Füzet:	2020/szeptember, 362 - 364. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Nemzetközi Fizika Diákolimpia

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   A 2020. évi Kunfalvi Rezső Olimpiai Válogatóverseny elméleti feladatai${}^{*}$   Az első elméleti forduló feladatai (2020. június 2.):1     F1. Az ábrán látható, homokkal borított talajon egy 2 m széles, 1 m mélységű gödör van, melynek alját szintén homok fedi. A gödör függőleges falai simák és merevek. Egy kis méretű, rugalmas golyót szeretnénk elhajítani a lehetséges legkisebb sebességgel a gödörtől 10 m-re lévő $A$ pontból úgy, hogy a golyó a gödör alsó, hajítás felőli $B$ pontjába érkezzen.     $a)$ Készítsünk vázlatos rajzot a golyó optimális pályájáról! Indokoljuk is a rajzot! $b)$ Mekkora az a legkisebb hajítási sebesség, amellyel a $B$ pontot eltalálhatjuk?   F2. Egy igen hosszú, egyenes áramvezető huzalt átfűzünk egy hosszú, vékony falú, szupravezető anyagból készült, $R$ sugarú csövön. A huzal tengelye párhuzamos a cső tengelyével, a közöttük lévő távolság $R/2$. A huzalban folyó áram erőssége $I$. $a)$ Mekkora az áramvezető huzal egységnyi hosszára ható erő? $b)$ Mekkora a $J=I/\ell$ vonalmenti áramsűrűség a szupravezető cső belső felületén, az ábrán jelölt $A$ és $B$ pontokban? $c)$ Mekkora a vonalmenti áramsűrűség a cső külső felületén? Útmutatás: A szupravezető anyag belsejébe a mágneses tér nem hatolhat be.       F3. A valódi termodinamikai gépek hatásfoka általában jóval az ideális Carnot-hatásfok alatt marad. Ennek egyik fő oka, hogy Carnot-gép esetén feltételezzük, hogy minden termodinamikai folyamat nagyon lassan, reverzibilis módon megy végbe, míg valódi termodinamikai gépeknél a hőfelvételnél, hőleadásnál nagy szerepe van a hővezetésnek, ami irreverzibilis folyamat. Egy valódi termodinamikai gép működésekor szükségszerűen fellépnek belső disszipatív folyamatok is, amik rontják a hatásfokot. A probléma modellezéséhez tekintsük az ábrán látható Carnot-hőerőgépet. A $t_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}$ és $t_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">h</span>}}$ ,,belső'' hőmérsékletek ($t_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">h</span>}}<t_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}$) között egy ,,belső'', reverzibilis Carnot-gép működik, mely hővezetés útján csatlakozik a $T_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}>t_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}$ hőmérsékletű meleg, illetve a $T_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">h</span>}}<t_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">h</span>}}$ hőmérsékletű hideg (,,külső'') hőtartályokhoz. A hőtartályok és a belső Carnot-gép közötti hőáram erőssége (azaz a hőátadás üteme) a hőmérséklet-különbséggel arányos, az arányossági tényezők a meleg és a hideg oldalon rendre ${\kappa }_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}$, illetve ${\kappa }_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">h</span>}}$. A külső hőtartályok hőmérséklete állandónak tekinthető.       $a)$ Adott külső hőmérsékletek mellett hogyan függ a Carnot-gép által szolgáltatott mechanikai teljesítmény a belső gép $\eta$ hatásfokától? $b)$ A belső gép milyen ${\eta }^{*}$ hatásfoka mellett maximális a gép által leadott mechanikai teljesítmény?   A második elméleti forduló feladatai (2020. június 3.):   F4. Egy vízszintes kísérletezőasztal középső sávját egy állandó $V$ sebességgel mozgó, $s$ szélességű (végtelenített) gumiszalag képezi, amely pontosan illeszkedik az asztallap nyugvó felületéhez. A futószalag szélére merőlegesen egy tömör gumi- labdát indítunk tisztán gördítve $v_0$ kezdősebességgel. Azt tapasztaljuk, hogy amikor a labda a futószalag elhagyását követően már újra tisztán gördül, eredeti mozgásirányával párhuzamosan halad.     Mekkora $d$ távolsággal tolódott el a labda pályája a futószalaggal párhuzamos irányban? (A súrlódási együttható a vízszintes felületek és a labda között nagy, így a csúszva gördülő mozgások időtartama $s/v_0$-nál sokkal kisebb.)   F5. Egy vékony, fémből készült, $Q$ töltésű félgömbhéjat egy töltetlen, $R$ sugarú fémgömb közelébe viszünk az ábrán látható módon. A fémgömb sugara egy kicsit kisebb, mint a félgömbhéjé. $a)$ Adjuk meg a gömb és a félgömbhéj felületén kialakuló töltéseloszlást! $b)$ Mekkora a félgömbhéjra ható elektromos erő?       F6. Egy gömb alakú, $R$ sugarú bolygón a légkör törésmutatóját (a felszínhez közel) jó közelítéssel az $\begin{array}{c}{\displaystyle n\left(h\right)=n_0\frac{R}{R+h}\mathrm{,}}\end{array}$ formula adja meg, ahol $h$ a bolygó felszínétől mért magasság, $n_0$ állandó. Egy keskeny lézerfénynyalábot indítunk a felszíntől mért $h_0$ magasságból a vízszinteshez képest $\theta$ irányban a felszín felé. $a)$ Milyen alakú a fénynyaláb pályája? $b)$ Mennyi idő alatt éri el a fénynyaláb a bolygó felszínét? (A vákuumbeli fénysebesség $c$.) $c)$ Határozzuk meg a $\theta$ szöget, ha az a pont, ahol a fény eléri a bolygó felszínét pontosan az indítási pont alatt helyezkedik el! 1A feladatok megoldását a KöMaL októberi számában közöljük. A későbbi versenyekre készülők a feladatok önálló megoldásával ellenőrizhetik tudásukat és esélyeiket. (‐ A Szerk.)