Kezdőlap


Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok
Füzet:	1977/október, 76 - 77. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Mostani számunktól kezdve havonként tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot fogunk ebben a rovatunkban elmondani, amelyek a matematikai Diákolimpiára előkészítőül szolgálnak. A feladatok megoldásait nem kérjük beküldeni, és a megoldásokat sem fogjuk ismertetni. Az érdeklődők a feladatmegoldásokkal kapcsolatos mindennemű kérdéseikkel, forduljanak a szerkesztőséghez. A kérdésekre levélben válaszol a rovatvezető.
1. Legyenek $a$ és $b$ pozitív egész számok. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} 2 \cdot \sqrt[a + b]{a^{2 b} \cdot b^{2 a}} \leq a^{2} + b^{2} . \end{matrix}

2. Legyenek

a, b, c

pozitív számok. Igazoljuk az alábbi egyenlőtlenségeket:

a)

(a + b) (b + c) (c + a) \geq 8 a b c

b)

a b c \geq (a + b - c) (a - b + c) (- a + b + c)

c)

a^{3} + b^{3} + c^{3} \geq a^{2} b + b^{2} c + c^{2} a

3. Tudjuk, hogy

a^{2} + b^{2} + c^{2} = 1

. Mutassuk meg, hogy

\begin{matrix} - 1 / 2 \leq a b + b c + c a \leq 1 / 2. \end{matrix}

4. Bizonyítsuk be, hogy tetszőleges pozitív

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

számokra

\begin{matrix} \frac{a_{1}}{a_{2}} + \frac{a_{2}}{a_{3}} + ... + \frac{a_{n}}{a_{1}} \geq n . \end{matrix}

5. Jelöljük az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

pozitív számok mértani közepét

G_{n}

-nel. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} a_{n} \geq n G_{n} - (n - 1) G_{n - 1} . \end{matrix}

6. Igazoljuk, hogy ha

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

pozitív számok szorzata 1, akkor

a)

(1 + a_{1}) (1 + a_{2}) ... (1 + a_{n}) \geq 2^{n}

b)

(1 + a_{1}) (2 + a_{2}) ... (n + a_{n}) \geq n^{n / 2}

7. Legyenek

a_{i} > 1

valós számok. Igazoljuk, hogy

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{1 + a_{i}} \geq \frac{n}{1 + \sqrt[n]{a_{1} a_{2} ... a_{n}}} . \end{matrix}

8. Az

a_{1} \geq a_{2} \geq ... \geq a_{n} > 0

, valamint

b_{1} \geq b_{2} \geq ... \geq b_{n} > 0

valós számokról tudjuk, hogy

\begin{matrix} a_{1} \geq b_{1}; a_{1} + a_{2} \geq b_{1} + b_{2}; ...; a_{1} + a_{2} + ... + a_{n} \geq b_{1} + b_{2} + ... + b_{n} . \end{matrix}

Mutassuk meg, hogy ekkor

a_{1}^{k} + a_{2}^{k} + ... + a_{n}^{k} \geq b_{1}^{k} + b_{2}^{k} + ... + b_{n}^{k}

minden

k

természetes számra.

9. A

p

és

q

adott pozitív számok, továbbá

p \leq a, b, c \leq q

. Mutassuk meg, hogy ekkor

\begin{matrix} (a + b + c + d) (\frac{1}{a} + \frac{1}{b} + \frac{1}{c} + \frac{1}{d}) \leq 25 + 6 {(\sqrt[]{\frac{p}{q}} - \sqrt[]{\frac{q}{p}})}^{2} . \end{matrix}

10. Mutassuk meg, hogy ha

x_{i} > 0

és

x_{i} y_{i} - z_{i}^{2} > 0 (i = 1,2, ..., n)

, akkor

\begin{matrix} \frac{n^{3}}{(\sum_{i = 1}^{n} x_{i}) (\sum_{i = 1}^{n} y_{i}) - {(\sum_{i = 1}^{n} z_{i})}^{2}} \leq \sum_{i = 1}^{n} \frac{1}{x_{i} y_{i} - z_{i}^{2}} . \end{matrix}

Ajánlott irodalom: Késedi Ferenc: Egyenlőtlenségek,
Skljarszkij, Csencov, Jaglom: Válogatott feladatok és tételek az elemi matematika köréből I. rész Aritmetika és algebra.