A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. AZ ISKOLARÁDIÓ MATEMATIKA SZAKKÖRE
A legközelebbi adásunk 1977. május 23án (hétfőn) a 3. műsorban hangzik el 15.30‐16.00 óráig. Címe: A nagy számok törvénye és következményei. Ezzel az adással egy négy részes sorozat zárul. Az előző adások címe (és időpontja, valamint KÖMAL-beli helye) a következő volt: Válasszuk a valószínűbbet (II. 28.‐54. kötet 1. szám, 26‐29. old.), Fogadjunk (III. 28.‐54. kötet 2. szám, 75‐77. old.). Mikor igazságos egy játék? (IV. 25.‐54. kötet 3. szám, 121‐124. old.)
Markov és Csebisev egyenlőtlensége
A számok tetszőleges összességét számcsoportnak neveztük. A számcsoport várható értékét -vel, szórását -vel jelöltük, jelölte -hoz tartozó elemeinek a számát, pedig összes elemének a számát. Tétel. Legyen tetszőleges számcsoport, csak annyit tegyünk fel, hogy elemei nem negatívak, és legyen tetszőleges pozitív szám, akkor Bizonyítás. Jelöljük -val azt a számcsoportot, amelyet -ből úgy kapunk, hogy elhagyjuk az elemek közül az -nál kisebbeket, és jelöljük e két számcsoport elemeinek az összegét -vel, -val. Mivel feltevésünk szerint elemei nem negatívak, nem negatív a -ből -ba át nem került számok összege is, tehát Ez utóbbi viszont legalább , hiszen -ban nincs -nál kisebb elem. Mivel , ez azt jelenti, hogy Ebből viszont miatt már következik a bizonyítandó, Markovtól származó egyenlőtlenség.
Tétel. Legyen tetszőleges számcsoport, és legyen tetszőleges pozitív szám, akkor | |
Bizonyítás. Alkalmazzuk Markov egyenlőtlenségét az számcsoportra. Ennek az elemeit úgy kapjuk meg elemeiből, hogy mindegyikből levonunk -t, és a különbségeket rendre négyzetre emeljük. Az számcsoportnak nyilván ugyanannyi eleme van, mint -nek, és várható értéke nem más, mint szórásnégyzete: Így Markov egyenlőtlenségéből következik, hogy | | ami épp a bizonyítandó, Csebisevtől származó egyenlőtlenség.
A nagy számok törvénye és következményei
Tétel. Legyenek a , , , , számcsoportok azonosak, és legyen tetszőleges pozitív szám, akkor van olyan , hogy minden mellett | |
Bizonyítás. Jelöljük az számcsoportot -nel. Ezt tehát úgy kapjuk meg, hogy összeadjuk a , , , számcsoportokat, és a kapott számcsoport minden elemét elosztjuk -nel. Előző adásunkban beláttuk, hogy számcsoportok összegének várható értéke és szórásnégyzete a tagok várható értékének, illetve szórásnégyzetének összege. Emiatt
Ha egy számcsoport elemeit elosztjuk -nel, az új számcsoport várható értéke is, szórása is az eredeti -ed része lesz, tehát | | Így Csebisev egyenlőtlensége szerint | | ez pedig kisebb lesz -nél, ha tehát mellett teljesül a tételben szereplő egyenlőtlenség. Ha például a számcsoportból indulunk ki, az számcsoport elemeit (ahol azonos -gyel) úgy is megkaphatjuk, hogy meghatározzuk a polinom együtthatóit. Könnyen látható ugyanis, hagy -ben a szám pontosan annyiszor fordul elő, mint amennyi -ben együtthatója. A mellékelt 1. táblázatban megadjuk néhány és mellett a megfelelő együtthatókat. Hatványozás közben azt tapasztaljuk, hogy adott esetén a nagyobb együtthatók egy bizonyos hatvány körül helyezkednek el, és ez a ,,sűrűsödési hely'' egyenletes sebességgel halad előre ahogy nő. Így van ez, akármilyen más, egészegyütthatós polinomból indulunk is ki, és a sűrűsödési hely vándorlási sebessége csak annak a számcsoportnak a várható értékétől függ, amelyben az szám -szer fordul elő, hiszen tételünk szerint az -edik hatvány sűrűsödési helye éppen . Joggal vetődik fel ezek után a kérdés, mi köze mindennek a véletlen számokhoz? Hát az, hogy ha egy kocka lapjaira a 0, 1, 2, 3, 4, 5 számokat írjuk, és a kockát sokszor feldobjuk, akkor a dobott számok átlaga egyre közelebb lesz számcsoport várható értékéhez, -hez. Vagy ha dobásban megszámoljuk a dobott számok között mondjuk a párosak számát, és a kapott számot elosztjuk -nel, a hányados (a páros számok ,,relatív gyakorisága'') tart a páros)/ hányadoshoz. Szokás ennek alapján tetszőleges számcsoport és a valós számok tetszőleges részhalmaza mellett a hányadost a esemény valószínűségének nevezni, és ezt a hányadost -val jelölni: Könnyen látható, hogy tételünk azt jelenti, hogy a számcsoport által generált véletlen szám elég hosszú realizációjában a relatív gyakoriság közel lesz a valószínűséghez. Örülnénk azonban, ha az érzékeny fülű olvasó hitetlenkedve fogadná mindezt. Hiszen tételünk csak számcsoportokról szól, és nem véletlen számokról. Mi tudjuk, hogyan kell véletlen számokat összeadni. Kérdés, hogy a véletlen számok tudják-e ezt. Nem tudjuk, hogy a számcsoportok általunk adott definíciója megfelel-e a véletlen számok összegezési szabályának. Igen is, meg nem is. Igyekeztünk a definíciónkat úgy kialakítani, hogy közben állandóan a véletlen számokra gondoltunk. Egy dologról azonban nem szabad megfeledkeznünk: mi hallgatólagosan mindig feltettük, hogy a véletlen számot valamilyen szerkezet, berendezés, eljárás állítja elő, ez az apparátus akárhány számot elő tud állítani, és az egyes számok nem befolyásolják egymást. A valószínűségszámításban ezt úgy mondják, hogy az egyes számok függetlenek és egyforma eloszlásúak. Végül is azt kaptuk tehát, hogy annak, hogy a tételünk véletlen számokra is igaz legyen, épp az a feltétele, hogy a véletlen számok úgy viselkedjenek, mint a számcsoportok.
A centrális határeloszlástétel
Tétel. Legyenek a , , , , számcsoportok azonosak, és jelöljük az számcsoport eloszlásfüggvényét -szel. Akkor az sorozat tetszőleges mellett konvergál, és a határértéke az eredeti számcsoport eloszlásától független szám. Ez a tétel Gausstól származik, a eloszlásfüggvényt Gauss vagy normális eloszlásnak nevezik. Tulajdonképpen nem volna lehetetlen ezt a tételt ismereteink alapján bebizonyítani, erre itt lényegében csak hely (és idő) hiány miatt nem kerül sor. A számcsoport mellett az függvény néhány értékét a megfelelő számokkal a mellékelt 1. táblázatban mutatjuk be. Javasoljuk az olvasónak, hogy tetszőlegesen választott számcsoportból kiindulva állítsa elő az eloszlásfüggvényeket, tapasztalni fogja tételünk helyességét. Mi a mellékelt ábrán a számcsoport esetében a szemléletesség kedvéért magának a összegnek mutatjuk be az eloszlásfüggvényét néhány -re.
A kitűzött feladatok megoldása
1. feladat. A mesterségesen előidézett intelligencia romlásának a sebessége egyenes arányban van a növekedés mennyiségével. 2. feladat. A nyolctalálatos szelvény: , 1, 1, 1, 2, 2, 2, 1. (A mellékelt 2. táblázatban megadjuk a szóban forgó változók néhány értékének a valószínűségét.) 3. feladat. A regresszió egyenes egyenlete: . (Általában ahol ). 4. feladat. A mellékelt 3. táblázatban megadjuk a szóban forgó változók eloszlásfüggvényét. 5‐6. feladat. Megoldásukat később közöljük.
1. táblázat
hatványai és a normális eloszlás
2. táblázat
A januári betűtotó változóinak az eloszlása (a lottóösszeg lehetséges értékeit 10-zel osztottuk, a megfelelő valószínűségeket 10-zel szoroztuk)
SzámÉrmeTotóKártyaKockaLottóLottó-Kocka-Tisztaősszegősszegfej00,0000,0030,0130,194---0,000 10,0000,0240,0800,3490,056--0,010 20,0000,0780,2060,2790,0530,000-0,203 30,0010,1560,2860,1300,0510,000-0,309 40,0050,2140,2390,0390,0480,000-0,228 50,0150,2140,1250,0080,0460,0000,0000,128 60,0370,1600,0420,0010,0440,0010,0010,064 70,0740,0920,0090,0000,0420,0010,0020,031 80,1200,0400,0010,0000,0400,0020,0050,015 90,1600,0130,0000,0000,0380,0040,0090,007 100,1760,0030,000-0,0360,0060,0160,003 110,1600,0010,000-0,0340,0090,0260,001 120,1200,0000,000-0,0320,0120,0390,001 130,0740,0000,000-0,0310,0170,0540,000 140,0370,000--0,0290,0230,0690,000 150,015---0,0280,0290,0840,000 160,005---0,0260,0360,0950,000 170,001---0,0250,0430,1000,000 180,000---0,0230,0500,1000,000 190,000---0,0220,0560,0950,000 200,000---0,0210,0610,0840,000 21----0,0200,0650,069- 22----0,0190,0680,054- 23----0,0170,0680,039-
3. táblázat
Kilenc kockán dobott piros lapok számának az eloszlása, ha egy kockán k piros lap van
Legfeljebbk=0k=1k=2k=3k=4k=5k=601,0000,1940,0260,0020,0000,0000,000 11,0000,5430,1430,0200,0010,0000,000 21,0000,8220,3770,0900,0080,0000,000 31,0000,9520,6500,2540,0420,0010,000 41,0000,9910,8550,5000,1450,0090,000 51,0000,9990,9580,7460,3500,0480,000 61,0001,0000,9920,9100,6230,1780,000 71,0001,0000,9990,9800,8570,4570,000 81,0001,0001,0000,9980,9740,8060,000 91,0001,0001,0001,0001,0001,0001,000
Sorozatunk készítői
Sorozatunk négy iskolában készült a következő tanulók és tanárok részvételével. Berzsenyi D. Gimnázium. Tanulók: Cseh Tibor, Horváth Zoltán, Iring Zoltán, Karsai Ferenc, Klebercz Attila, Kormos Mária, Korom Melinda, Kővári Klára, Radácsy Katalin, Szathmári György. Tanárok: Simon Judit és Nemetz Tibor Dózsa Gy. Gimnázium. Tanulók: Bodrog Beáta, Bubcsó Gábor, Galambos Sándor, Gróf Jolán, Karikás Ágnes, Kövesdi Kinga, Zeibig Károly. Tanárok: Tusnády Gáborné és Tusnády Gábor. Móricz Zs. Gimnázium. Tanulók: Bach Judit, Bacsó Piroska, Bajnok Béla, Butyka Beáta, Fazekas Eszter, Győrbiró Bea, Karády Zoltán, Kiss Péter, Klimó Gábor, Kovács István, Molnár Géza, Papp László, Péter Katalin, Solt Gábor, Schindele Miklós, Szentiványi Árpád, Tóth Zoltán, Varga László, Venczel György, Zimonyi Ferenc, Zsáry Anikó. Tanár: Némethy Katalin. Radnóti M. Gimnázium. Tanulók: Ábrahám Erzsébet, Balázs Péter, Balogh Ágnes, Farkas Miklós, Galánfi Klára, Gál Róbert, Ganczer Sándor, Greschik Gyula, Hankó Zsuzsa, Héder Barna, Kapus András, Koncz Károly, Konrád Zoltán, Prazsák Gabriella, Papp János, Ungár Katalin, Váli Ruth, Varga Zsolt, Zimányi Krisztina. Tanárok: Gábos Adél, Bognár Jánosné.
|