Kezdőlap


Cím:	Az Iskolarádió matematika szakköre
Füzet:	1976/december, 214 - 215. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Egy réten állunk. A föld egy régi város romjait rejti. A régészek kutatóárkokat húznak. Ezek helyenként keresztezik az épületek egy‐egy falát, feltárják a város néhány pontját. Most már céltudatosabban jelölhetünk ki újabb kutatóárkokat, hogy tovább vizsgáljuk a mutatkozó összefüggéseket. Fokozatosan kibontakozik a város szerkezete.
Ilyesfajta módszerekkel tanulmányozzuk januári szakkörünkön, hogy a kétismeretlenes másodfokú egyenletek gyökhalmazát a koordinátázott síkon milyen alakzatok szemléltetik. Az adás címe: Milyen vonalak egyenlete másodfokú?

Az adás ideje: 1977. január 31. (hétfő), 3. adó 15,30‐16,00

Előadónk Surányi János egyetemi tanár, és a műsorban szereplő diákok a csurgói Csokonai Gimnázium tanulói. (Most már egyre gyakoribb, hogy a legszorgalmasabb feladatmegoldókkal készítjük a felvételeket.)
Először az

x^{2} + 10 x y + 9 y^{2} - 6 x - 22 y + 8 = 0

egyenlet gyökeinek megfelelő alakzat "feltárásával''foglalkozunk. Ez egy ügyes algebrai átalakítás után igen könnyen sikerül is.
Lényegesen nehezebb lett a dolgunk, amikor Surányi tanár úr változtatott a konstanson. Az új egyenlet:

\begin{matrix} x^{2} + 10 x y + 9 y^{2} - 6 x - 22 y + 7 = 0 \end{matrix}

Ennek vizsgálata tölti ki a szakkör idejének legnagyobb részét. A korábbi átalakításokat most is felhasználhatjuk, de megszűnt az a specialitás, ami az előző esetet végül is olyan egyszerűvé tette.
Hol keressük az egyenletnek eleget tevő számpárokat szemléltető pontokat? Tulajdonképpen most kerülnek elő a "kutatóárkok'': alkalmasan megválasztott egyenesek. Ezekkel határoljuk körül, tapogatjuk le a gyökhalmazt szemléltető alakzatokat. A technikai fogásokat majd megismerhetjük a műsorban, most lássuk inkább, mik lesznek a feladatok.

AZ ADÁSBAN KITŰZÖTT FELADATOK

1. Mik a gyökei az

x^{2} + 10 x y + 26 y^{2} - 6 x - 22 y + 26 = 0

egyenletnek?

2. Mik a gyökei az

x^{2} + 10 x y + 26 y^{2} - 6 x - 22 y + 25 = 0

egyenletnek?

3. Igazoljuk, hogy az

x^{2} + 10 x y + 26 y^{2} - 6 x - 22 y + 7 = 0

egyenletű alakzat ‐ nevezzük

E

-nek ‐ centrálszimmetrikus a (23,

- 4

) pontra,

4. Igazoljuk, hogy minden olyan egyenesen, amely átmegy a (23,

- 4

) ponton, van két pontja az

E

alakzatnak.

5. Lássuk be, hogy az

E

alakzat

x

tengellyel párhuzamos húrjainak a felezőpontjai az

x + 5 y - 3 = 0

egyenletű egyenesen vannak.

6. Lássuk be, hogy az

E

alakzat

x + 5 y - 3 = 0

egyenessel párhuzamos húrjainak a felezőpontjai az

y + 4 = 0

egyenesen vannak.

7. Adjuk meg azt a legszűkebb,

x

és

y

tengellyel párhuzamos oldalú téglalapot, amely tartalmazza az

E

alakzatot.

E feladatok megoldását február 14-ig lehet beküldeni a következő címre:

Az Iskolarádió matematika szakköre

1800 Budapest, Bródy S. u. 5‐7.

Azok között, akik valamelyik feladat helyes megoldását beküldik, könyvjutalmakat sorsolunk ki. Legszorgalmasabb feladatmegoldóinkat meghívjuk szereplőnek későbbi felvételeinkre.

\begin{matrix} * \end{matrix}

Hol kapcsolódnak ezek a vizsgálatok iskolai tananyagunkhoz? A matematikaórákon azt teljes egészében tisztázzuk, hogy milyen az elsőfokú kétismeretlenes polinom gyökhalmazát szemléltető alakzat, de a másodfokú kétismeretlenes polinomok közül már csak bizonyos típusokkal foglalkozunk. Több esetben beválik a teljes négyzetté alakítás. Nos, szakkörünkön ezt a teljes négyzetté alakítás módszerét fogjuk következetesen alkalmazni az általános körülmények között is, és azt nézzük meg, mennyire teszik áttekinthetővé az egyenlet megoldásait az ilyen átalakítások. Kiderül, hogy ezekkel a módszerekkel bármelyik kétismeretlenes másodfokú polinomhoz tartozó alakzat leglényegesebb tulajdonságait feltárhatjuk.