Cím:	A szófogadó legyek, avagy néhán szó a spirálisokról
Szerző(k):	Csirmaz László
Füzet:	1976/december, 213 - 214. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A szófogadó legyek,   avagy néhány szó a spirálisokról   Hat legyet egy szabályos hatszög csúcsaiba teszünk, és "meghagyjuk'' nekik, hogy egyforma, állandó sebességgel haladjanak a jobb oldali szomszédjuk felé. Mennyi idő múlva találkoznak? Hátsó borítónkon a legyek útjának egy részét rajzoltuk fel.     Látjuk, hogy a hatszög középpontját járják körbe, ahhoz egyre közelebb kerülnek és végül a középpontban találkoznak. A találkozásig kétszer akkora utat kell megtenniük, mint amekkora a hatszög egy oldala. Az útvonaluk úgynevezett logaritmikus spirális. Egy kutató az Északi‐sarkról elindul, és egyenesen halad Dél felé. Milyen útvonalon halad? Természetesen egyenesen; ám ez csak akkor igaz, ha a Földdel együtt forogva figyeljük a gyalogost. Ha viszont egy, az Északi‐sark fölött lebegő űrhajóból nézzük, és az űrhajó mozdulatlanul áll, azaz nem forog a Földdel együtt, akkor a pályát olyannak látjuk, amilyet az 1. ábra mutat.     1. ábra   Ugyanilyen pályán mozog az a kisegér, amelyik egy forgó korong közepétől annak a széléig szalad. Az útvonal neve archimédeszi spirális. Ezeknek a spirálisoknak természetesen egyenletük is van, mint ahogyan van egyenlete a körnek, egyenesnek, ellipszisnek is. A szokásos derékszögű koordináta‐rendszer nem a legalkalmasabb a spirálisok egyenletének felírására, ezért bevezetünk egy másik koordináta‐rendszert, az ún. polárkoordináta‐rendszert (poláris=sarki) a következőképpen: az irányított síkban egy $O$ kezdőpontú félegyenest választunk, amelynek irányát kezdőiránynak nevezzük. Egy $P$ pontot most is két adat határoz meg: az $O$ ponttól való távolsága (ezt általában $r$-rel jelöljük) és az $OP$ félegyenesnek a kezdőiránnyal bezárt irányított szöge (amit $\phi$-vel jelölünk; 2. ábra).     2. ábra   Például az $O$ középpontú, egységsugarú kör egyenlete ebben a koordináta‐rendszerben $r=1$; $s=1/\text{cos}\phi$ egyenletű alakzat pedig egy "függőleges'' egyenes. A polárkoordináták bevezetésével a spirálisok egyenletei igen egyszerűen alakulnak. Az archimedeszi spirális egyenlete: $r=a\phi$, itt $a$ tetszőleges állandót jelöl. Az archimedeszi spirális a legegyszerűbb spirálisok egyike. A logaritmikus spirálisnak (a legyek útvonalának) egyenlete $r=a\cdot e^{b\phi }$ ($a$, $b$ állandók, $e=2\mathrm{,}71\text{...}$) a természetes logaritmus alapszáma). A hátsó borítón található spirálisok egyenlete ‐ amennyiben a hatszög oldalát választjuk egységnyinek ‐ $r=e^{\phi /\sqrt[]{3}}$ alakú lesz. Ez a spirális elnevezését is egyenlete után kapta. Érdekes tulajdonsága, hogy minden pontjában az érintő és a pontot az $O$-val összekötő egyenes ugyanakkora szöget zár be; ez az egyetlen ilyen tulajdonságú síkgörbe. Másik érdekessége, hogy egy rögzített pontjából befelé haladva a görbe végtelen sokszor kerüli meg az $O$ pontot, de ívhossza véges! Mégpedig, ha a pont távolsága $O$-tól $r$, akkor az ívhossz: $r/\text{cos}\phi$. Ha $n$ darab szófogadó legyet egy szabályos $n$-szög csúcsaiba teszünk, majd elindítjuk őket, a találkozásukig