A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A koronavírus világjárvánnyá szélesedése bizonyára felkeltette a KöMaL olvasóinak érdeklődését a járványmodellek iránt. Ez az írás nekik szól: a legelterjedtebb (ún. SIR-féle) járványmodellt mutatjuk be. Bonyolultsága miatt mégis le kell mondanunk a koronavírus terjedésének valódi modellezéséről, tehát csak bevezetésre számítson az Olvasó. Megnehezíti dolgunkat, hogy dinamikus folyamatról van szó, ahol minden pillanatban a már fertőzöttek egy része megfertőzi a még nem fertőzöttek (röviden: megfertőzhetők) bizonyos részét, miközben a fertőzöttek másik része meggyógyul vagy meghal. A szakirodalmat követve, ebben a leírásban a könnyebb érthetőség érdekében több végletes egyszerűsítő feltevést teszünk: a népesség létszáma időben állandó; a fertőzésben senki sem hal meg; ha valaki kigyógyul a fertőzésből, az már nem fertőződik meg és nem fertőz újra; a fertőzési valószínűség független a népesség egyéb (nemi, életkori, területi, egészségi állapot- stb.) jellemzőitől; a gyógyulási valószínűség független az egészségügyi ellátástól. Három típust különböztetünk meg: a megfertőzhetők (susceptibles, S), (népességi) részarányuk ; a fertőzöttek (infectious, I), részarányuk ; végül a gyógyultak (recovered, R), de ide tartoznak az eleve immunisak is: részarányuk , innen a modell közkeletű elnevezése: SIR-modell. Az ilyen típusú modelleket egyébként rekeszmodelleknek nevezik. Egyenleteinkben kulcsszerepet kap a fertőzési és a gyógyulási ráta. Ezek függvényében igazoljuk, hogy a megfertőzhetők részarányának kicsi kezdőértékeire elhal a járvány, és nagy kezdőértékeire fellángol. Azt is szemléltetni tudjuk, hogyan laposítja el a járvány időbeli lefutását, ha a fertőzési rátát elkülönítéssel vagy a megfertőzhetők részarányának kezdőértékét oltással csökkentjük. A technikai egyszerűség kedvéért és a szokással ellentétben, nem folytonos, hanem diszkrét időben írjuk föl a népességi részarányok dinamikáját, egységnyinek rögzítve az időszak hosszát, pl. nap, hét, az időszakok indexe. A jobb érthetőség kedvéért az időrendi sorrendet felcserélve adjuk meg a három egyenletet. Föltesszük, hogy az új fertőzések részaránya egyaránt arányos a megfertőzhetők és a fertőzöttek részarányával, de az újonnan gyógyultak részaránya csak a fertőzöttek részarányával arányos. Visszatérve a ,,rekeszek tartalmára'': A megfertőzhetők részarányának csökkenése egyenesen arányos a megfertőzhetők részarányának és a fertőzöttek részarányának szorzatával:
ahol a fertőzési ráta. A gyógyultak részarányának növekedése egyenesen arányos a fertőzöttek részarányával: ahol a gyógyulási ráta. Valójában az az eset az érdekes, amikor a gyógyulási ráta kisebb a fertőzési rátánál, és az időegység megfelelő megválasztásakor a fertőzési ráta legfeljebb 1: . Mivel mindenki vagy megfertőzhető, vagy fertőzött, vagy gyógyult, ezért a három részarány összege 1: azaz az összeg időbeli változása 0: | | Ebbe behelyettesítve (1)-et és (2)-t következik: A fertőzöttek részarányának változása: Figyeljük meg, hogy beszorzás után (3) jobb oldalán két tag különbsége szerepel: a kisebbítendő az új fertőzések részaránya, a kivonandó pedig az újonnan gyógyultaké. Bevezetjük a megfertőzhetők részarányának kritikus értékét, amelynél a (3) egyenlet jobb oldala 0, azaz a fertőzöttek részaránya változatlan (maximális, mert kisebb értékre növekszik, nagyobbra csökken): Becsempészve (3)-ba -t, jobban látszik szerepe a fertőzöttek részarányának alakulásában: Mivel nem hat sem -re, sem -re, ezért a (2) egyenlettel ráérünk utólag törődni; a modell magva (1) és (4), vagy alkalmasabb alakban: és Az (5)‐(6) rekurziót elsőrendű nemlineáris differenciaegyenlet-rendszernek nevezzük: elsőrendű, mert a jövő csak a jelentől függ; nemlineáris, mert két változó szorzata is szerepel mindkét egyenlet jobb oldalán. A rekurzió megoldása (pályája) a kezdeti részaránypárostól függ: , ahol (nagyon kicsi pozitív szám, a fertőzés hirtelen jelenik meg), és helyet hagyva az esetleg pozitív -nak, . 1. segédtétel. Az (5)‐(6) rendszer minden pályájára teljesül: Bizonyítás. Indukcióval bizonyítunk: feltevés szerint (7) teljesül -ra, és belátjuk, hogyha (7) teljesül -re, akkor teljesül -re. Amíg , addig (2) értelmében . Mivel , ezért Szavakkal: (1)-ből és (3)-ból következik, hogy amíg van fertőzött, addig a megfertőzhetők részaránya monoton csökken, a gyógyultaké viszont monoton nő. Most már kimondható az
1. tétel. Ha a megfertőzhetők részarányának kezdőértéke legfeljebb a kritikus érték: , akkor a fertőzöttek részaránya monoton tart a -hoz. Ha a megfertőzhetők részarányának kezdőértéke nagyobb, mint a kritikus érték: , akkor a fertőzöttek részaránya egészen addig növekszik, amíg a megfertőzhetők részaránya nem csökken a kritikus érték alá, aztán pedig a végtelenben -hoz tart.
Bizonyítás. Ha , akkor (). Két alesetet különböztetünk meg. Ha , akkor (6)-ot felírva időszakra, és figyelembe véve, hogy , adódik | | (8i) | azaz gyorsan tart 0-hoz. Ha , akkor az első lépést külön kell kezelni. , és (5) szerint , majd (8i) szerint | | (8ii) |
esetén, amíg a megfertőzöttek részaránya nagyon kicsi: , addig (5) miatt (csak lassan csökken), tehát részarány (6) és miatt közelítőleg egy -hányadosú mértani sorozat szerint nő. Belátjuk, hogy előbb-utóbb a kritikus érték alá süllyed, s szerint ezután végleg csökkenésre vált. Indirekt bizonyítunk. Tegyük föl, hogy minden -re. Az alulról korlátos csökkenő sorozat, tehát van határértéke, amelyre áll. (6) szerint , azaz (5) szerint , azaz , s ez ellentmond -nak. További vizsgálatot igényelne, hogy hosszú távon milyen esetben szűnik meg a megfertőzhetőség (és válik teljessé a gyógyultság), számpéldáinkban azonban az idők végezetéig maradnak megfertőzhetők. Rátérünk a numerikus szemléltetésre. Önkényesen választjuk, hogy . Első futásunkban és , valamint a megfertőzhetők részarányának nagy kezdőértéket adunk: . Egyszerű programmal elkészíthetjük az 1. ábrát. Legérdekesebb eredmény: a 10. időszakban éri el a fertőzöttség a maximumát, a lakosság 27,7%-a fertőzött. A 20. időszakra a fertőzöttség gyakorlatilag eltűnik, de további számítások szerint a megfertőzhetőség megmarad 5%-nál.
1. ábra. Erős fertőzés, sok megfertőzhető A második futásban feltesszük, hogy elkülönítéssel sikerült az erős fertőzési rátát gyengíteni: . Az előző programot használva kapjuk a 2. ábrát. A legérdekesebb eredmény: a fertőzöttség jóval később, a 22. időszak körül éri el a maximumát, s a lakosságnak csupán 4,5%-a fertőzött, de a megfertőzhetők részaránya lassabban csökken, és megáll 45%-nál.
2. ábra. Gyengén fertőző, sok megfertőzhető A harmadik futásnál feltesszük, hogy oltással sikerült a megfertőzhetők nagy kezdő-részarányát jelentősen csökkenteni, de a kritikus érték fölött maradva: . A fertőzési ráta újra nagy: . A 3. ábrán látható, hogy a maximális fertőzöttség véletlenül ismét 4,4%, de már a 16. időszakban elérjük, és alacsonyabb lesz a megfertőzhetők részarányának határértéke: 19%.
3. ábra. Erősen fertőző, kevés megfertőzhető Eddig kizártuk a esetet. A teljesség kedvéért most röviden megvizsgáljuk, mi történik ekkor. Formálisan , tehát az 1. tétel pontja értelmében minden kezdőállapotra teljesül az feltétel, azaz a járvány elhal. Összefoglalásként, ne várjunk csodákat egy modelltől. Ez a modell csak a legegyszerűbb összefüggéseket képes megvilágítani, például, hogy létezik a megfertőzhetők részarányának egy kritikus értéke. Ha a kritikus érték alattról vagy fölöttről indítjuk a rendszert, az nemcsak kvantitatíve, de kvalitatíve is másképp viselkedik. Modellünk azonban képtelen kezelni a koronavírus-járványnak azt a központi kérdését, hogy az elkülönítés a fertőzési folyamat lassításával megnöveli a gyógyulás valószínűségét (lesz elég lélegeztetőgép). Ennek részletezése azonban túlmutat a tanulmányon. |