Cím: Térbe kilépő bizonyítások VII.
Szerző(k):  Kós Géza 
Füzet: 2020/április, 194 - 201. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
 A körre vonatkozó polaritás

Ebben a cikksorozatban olyan bizonyításokat mutatunk be, amikor a geometriai alakzatokat ,,térbe kilépve'', három- vagy akár még magasabb dimenziós objektumok vetületeként vagy metszeteként állítjuk elő.
A polaritások olyan kölcsönösen egyértelmű megfeleltetések, amelyek a projektív sík pontjait a projektív sík egyeneseivel párosítják össze úgy, hogy bármely e egyenesre és P pontra igaz, hogy az e akkor és csak akkor megy át P-n, ha az e-nek megfelelő E pont illeszkedik a P-hez rendelt p egyenesre. A P ponthoz rendelt p egyenes a P polárisa, és a p egyeneshez rendelt P pont a p pólusa. Praktikus dolog az egymásnak megfeleltetett objektumokat ugyanazzal a betűvel jelölni, a pontokat nagy-, az egyeneseket kisbetűvel.1
Most a polaritás legismertebb, középiskolás versenyfeladatokban is gyakran előforduló speciális esetével, a körre vonatkozó polaritással fogunk foglalkozni.
 
Két lehetséges definíció

 

 

1. ábra
 

Legyen k egy rögzített kör, ez lesz a polaritás alapköre; a középpontja O, sugara ϱ. A k-ra vonatkozó polaritást fogjuk definiálni.
Két lehetséges definíciót is szeretnék mutatni. Az első egy intuitív mód, ahogy az ember először maga fedezné fel a polaritás alaptulajdonságait, cserébe több technikai részletkérdést később kell végiggondolnunk. A második egy technikailag egyszerűbb, kompaktabb definíció, cserébe a geometriai tulajdonságokat kell külön ellenőrizni. Mindkét definíció lépéseit követhetjük az 1. ábrán.
 

1. definíció
1a.Tetszőleges, O-tól különböző P pont k-ra vonatkozó inverze legyen P'. A P pont polárisa a P'-n átmenő, OP-re merőleges p egyenes.
1b.A P, Q pontok konjugáltak, ha rajta vannak egymás polárisán.
1c.Ha a p egyenes nem megy át az O ponton, és O merőleges vetülete p-re a P' pont, akkor p pólusa a P' k-ra vonatkozó inverze.
1d.A p, q egyenesek konjugáltak, ha átmennek egymás pólusán.

 

2. definíció
2a.A P és Q pontok konjugáltak, ha OP→⋅OQ→=ϱ2.
2b.A P pont polárisa a P-vel konjugált pontok halmaza, avagy az OP→⋅OX→=ϱ2 egyenletű egyenes.
2c.A p egyenes pólusa az az egyértelmű P pont, amely p összes pontjával konjugált.
2d.A p, q egyenesek konjugáltak, ha átmennek egymás pólusán.

 

Tetszés szerint, tekinthetjük az 1a‐1d. tulajdonságokat definíciónak és a 2a‐2d. tulajdonságokat következményeknek, vagy fordítva. A polaritás néhány további alaptulajdonsága:
3.A P pont polárisa akkor és csak akkor a p egyenes, ha p pólusa P.
4.A P pont akkor és csak akkor van rajta a Q pont polárisán, ha Q rajta van P polárisán (1. ábra).
5a.Ha a P és Q pontok polárisa p, illetve q, akkor az r=PQ egyenes pólusa p és q metszéspontja, R (2a. ábra).
5b.Ha a p és q egyenesek pólusa P, illetve Q, akkor az R metszéspontjuk polárisa az r=PQ egyenes (2a. ábra).
6a.Ha P az alapkörön van, akkor a polárisa a körhöz P-ben húzott érintő (2b. ábra).
6b.Ha p érinti az alapkört, akkor a pólusa az érintési pont (2b. ábra).
7.Ha a P pont kívül van, és a P-ből k-hoz húzott érintők PE és PF, akkor P polárisa az EF egyenes (2c. ábra).
8a.Bármely pont akkor és csak akkor konjugált önmagával, ha az alapkörnek pontja (2b. ábra).
8b.Bármely egyenes akkor és csak akkor konjugált önmagával, ha érinti az alapkört (2b. ábra).

 

 

2a. ábra
 

 

 

2b. ábra
 

 

 

2c. ábra
 

Az Olvasóra bízzuk annak végiggondolását, hogy a kétféle definíció ugyanazt a megfeleltetést írja le, és a fenti tulajdonságok is teljesülnek.
 
Kiterjesztés a projektív síkra

Ha a síkot kiegészítjük a szokásos végtelen távoli pontokkal és az azokat tartalmazó ideális egyenessel, akkor definiálhatjuk az O pont polárisát és az O-n átmenő egyenesek pólusait is. Ha P egy ideális pont, akkor P polárisa az O-n átmenő, az OP irányra merőleges egyenes. Ez szemléletesen megfelel annak, hogy ha a P pontot valamelyik irányban végtelen messzire elmozgatjuk, akkor a polárisa is párhuzamosan mozog az O pontra illeszkedő helyzetig. A 7. tulajdonság is érvényes marad; a határhelyzetben a P-ből húzott érintők párhuzamosak az OP iránnyal (3. ábra).

 

3. ábra
 

Végül az O pont polárisa az ideális egyenes; ezt is szemléltethetjük úgy, hogy a P pontot az O-ba húzzuk, miközben P polárisa egyre távolabbra vándorol.
 
Térbe kilépve egységessé tehetjük a sokféle definíciót. Vegyünk fel egy V pontot a térben, amelyre az OV szakasz merőleges k síkjára, és a hossza ϱ. Tekintsünk egy tetszőleges, O-tól különböző P pontot a síkban, a k-ra vonatkozó inverze legyen P', a polárisa pedig p; legyen továbbá P tükörképe az O pontra P1, és legyen Π a V-re és p-re illeszkedő sík (4. ábra).
 

 
4. ábra
 

Mivel OP1⋅OP'=OP⋅OP'=ϱ2=OV2, az OVP1 háromszög hasonló az OP'V háromszöghöz, emiatt P'VP1=90∘. A p egyenes merőleges OP-re és OV-re, ezért merőleges az OVP síkra és az abban fekvő VP1 egyenesre is. A Π síkban most már két egyenesről, p-ről és VP'-ről is tudjuk, hogy merőleges VP1-re, tehát a Π sík merőleges a VP1 egyenesre.
Ez az észrevétel egy térbeli eljárást ad a P pont polárisának szerkesztésére: tükrözzük P-t O-ra, így megkapjuk a P1 pontot. A V-ponton át, VP1-re merőlegesen vegyük fel a Π síkot; a Π kimetszi az alapsíkból a p egyenest. Azt is láthatjuk, hogy bármely Q pont akkor és csak akkor konjugált P-vel, ha P1VQ∢=90∘.
Ha P valamelyik ideális pont, akkor P1=P, az OP irány párhuzamos az alapsíkkal, és Π kimetszi az O-n átmenő, OP-re merőleges egyenest. Ha pedig P=O, akkor Π párhuzamos k síkjával, a két sík metszete valóban az alapsík ideális egyenese. Tehát a fenti szerkesztés egységesen működik a projektív sík bármely pontjára.
 
Dualitás

Ha van egy projektív geometriai állítás, tétel, amelyben pontok, egyenesek és (legfeljebb) egy kör szerepel, az ábrára alkalmazhatjuk a körre vonatkozó polaritást: minden pontot kicserélünk a polárisára, és minden egyenest kicserélünk a pólusára. Ilyen módon a projektív geometriai tételeket párokba állíthatjuk; mindegyik tételnek van egy párja, duálisa.
Próbáljuk ki ezt az első részben látott Brianchon-tétellel:
 

Brianchon tétele: Ha az a, b, c, d, e, f egyenesek érintik a k kört, metszéspontjaik a∩b=G, b∩c=H, c∩d=I, d∩e=J, e∩f=L és f∩a=M, akkor a p=GJ, q=HL és r=IM egyenesek egy ponton (T) mennek át (5a. ábra).
 

 

5a. ábra
 

 

 

5b. ábra
 

A polaritást alkalmazva kapjuk a Pascal-tételt:
 

Pascal2 tétele: Ha az A, B, C, D, E, F pontok egy körön vannak, az összekötő egyeneseik AB=g, BC=h, CD=i, DE=j, EF=ℓ és FA=m, akkor ezek metszéspontjai, a g∩j=P, h∩ℓ=Q és i∩m=R pontok egy egyenesen (t) vannak (5b. ábra).
 

A Brianchon-tétel és a Pascal-tétel egymás duálisa.
 
Konjugált pontpárok egy térbeli jellemzése

Legyen G az O középpontú, az alapkörre illeszkedő gömb, és vegyünk fel két pontot, P-t és Q-t a síkban, a körön kívül; a P-ből k-hoz húzott érintők végpontjai legyenek E és F. A 7. tulajdonság szerint a p=EF egyenes a P pont polárisa. A PO egyenesre a p mentén állítsunk egy merőleges síkot; ez a G-t egy e körben metszi; az e merőleges a PE és PF szakaszokra.
Ha Q rajta van a p egyenesen, vagyis P és Q konjugáltak, akkor a Q pont is az e kör síkjában van, a körön kívül. Húzzuk meg Q-ból az e egyik érintőjét; az érintési pontot jelöljük T-vel. Vegyük észre, hogy a PT és a QT szakasz is érintője G-nek, ezért a PQT sík érinti a gömböt. Továbbá a PT szakasz a PE elforgatottja, szintén merőleges e-re és a körhöz húzott QT érintőre, tehát a PT és QT szakaszok merőlegesek (6. ábra).
 

 
6. ábra
 

Végig lehet gondolni, hogy ezek a lépések megfordíthatók: ha egy, a P és Q pontokon keresztül fektetett sík a T pontban érinti a gömböt úgy, hogy PT és QT merőlegesek, akkor Q a p egyenesre esik, vagyis P és Q konjugáltak.
Melléktermékként a 4. tulajdonságra is egy új bizonyítást adtunk, legalábbis külső pontok esetén.
 
Autopoláris háromszögek

Azokat a háromszögeket, amelyekben mindegyik csúcs a vele szemközti oldal pólusa, autopoláris háromszögnek hívjuk, de van, aki a görög‐angol autopolar név betű szerinti átírását szereti. Bármely két konjugált P, Q pont kiegészíthető autopoláris háromszöggé, a harmadik, R csúcs a PQ egyenes pólusa, amely P-vel és Q-val is konjugált. Például a P ponttal Q és R is konjugált, ezért P polárisa csak a QR egyenes lehet.
Az autopoláris háromszögeknek egy nagyon fontos előfordulása, versenyfeladatok megoldásában is gyakran találkozhatunk vele, amikor egy húrnégyszög szemközti oldalpárjainak és átlóinak metszéspontját vesszük:
 

Tétel. (a) Ha A, B, C és D négy különböző pont a k körön, AB és CD metszéspontja P, BC és AD metszéspontja Q, továbbá AC és BD metszéspontja R, akkor a PQR háromszög k-ra nézve autopoláris.
(b) A PQR háromszög magasságpontja a k középpontja (7. ábra).
 

A tétel (b) része triviálisan következik az (a) állításból: ha PQR autopoláris háromszög, akkor például a QR egyenes a P pont polárisa, ami az 1a. tulajdonság miatt merőleges az OP egyenesre, tehát a PQR háromszögben OP a QR oldalhoz tartozó magasságvonal. Ugyanez a másik két oldalra is elmondható, tehát O a három magasságvonal metszéspontja.
 

Az (a) részt a térbe kilépve fogjuk igazolni. Az A, B, C, D pontok szerepe szimmetrikus; feltehetjük, hogy ABCD egy konvex húrnégyszög, így P és Q a körön kívül, R pedig a körön belül helyezkedik el.

 

7. ábra
 

 
A P-ből és Q-ból a körhöz húzott érintők legyenek PE, PF, QG és QH, és legyen G az O középpontú, k-ra illeszkedő gömb. Az AC és BD átlókra illeszkedő, az alapsíkra merőleges síkok metsszék G-t az a és b körvonalak mentén, és ezek egyik metszéspontja legyen T. Mivel az ACT és a BDT sík is merőleges a k síkjára, a T pont merőleges vetülete a síkra az R pont (8. ábra).
 

 
8. ábra
 

A P középpontú, PE sugarú inverzió a gömböt önmagára képezi, felcseréli egymással A-t B-vel, valamint C-t D-vel, ezért az alapsíkra merőleges a és b köröket is egymásra képezi. A PT egyenesen T a két kör egyetlen ‐ közös ‐ pontja, tehát az inverziónak ‐ E és F mellett ‐ T is fixpontja, tehát PT érinti G-t. Az ilyen pontok az alapsíkra merőleges, EF átmérőjű e körön vannak, tehát az EFT sík is merőleges k síkjára, így tartalmazza a TR szakaszt és vele együtt az R pontot. Ebből azt is látjuk, hogy az EF egyenes átmegy az R ponton. De az EF egyenes a P pont polárisa, tehát P és R konjugáltak. Ugyanígy láthatjuk, hogy Q és R konjugáltak.
Az előbbi, P középpontú inverzió önmagára képezi a PT egyenest és felcseréli egymással az a és b köröket; az inverzió szögtartása miatt a PT egyenes ugyanakkora szöget zár be a két körrel, illetve a T pontban húzott érintőikkel. Mindhárom egyenes egy síkban, a T-ben a gömbhöz fektetett érintősíkban van; tehát PT a két kör közötti egyik szög felezője. Hasonlóan, a QT egyenes a két kör közötti másik, kiegészítő szög felezője. A két szögfelező, vagyis PT és QT merőlegesek, tehát P és Q konjugáltak. Ezzel beláttuk, hogy a P,Q,R pontok páronként konjugáltak, vagyis a PQR háromszög valóban autopoláris.
 
Feladatok


1.Mi a Desargues-tétel duálisa?
2.Mi a Papposz-tétel duálisa?
3.Írjuk és rajzoljuk fel az autopoláris háromszögekről szóló tétel duálisát.
4.Feladatok szöveg nélkül:
 
 
 

 
 
 

5.Igazoljuk, hogy tetszőleges P és Q pontok akkor és csak akkor konjugáltak a k körre nézve, ha a PQ átmérőjű kör merőlegesen metszi k-t.
6.Vetítsük a k kör síkját középpontosan egy másik, vele nem párhuzamos síkra úgy, hogy a k kör vetülete is kör legyen. Mutassuk meg, hogy a vetítés megtartja a polaritást, azaz bármely pont vetületének polárisa az új síkban a poláris vetülete, és egyenes vetületének pólusa a pólus vetülete.

 
Ajánlott irodalom


[1]Sz. C. Havalampijev: Pólus és poláris körben, KöMaL 37/1 (1987. január), 9‐15.
http://db.komal.hu/KomalHU/showpdf.phtml?tabla=Cikk&id=198702
[2]Kiss György: A körre vonatkozó polaritás, KöMaL 48/8‐9 (1998. november), 450‐455.
http://db.komal.hu/scan/1998/11/MAT9808.PS
[3]Hajós György: Bevezetés a geometriába, 46. fejezet. Nemzeti Tankönyvkiadó, Budapest, 1999.
1A cikksorozat a Rényi Intézet és a Sztaki támogatásával készült.

2Blaise Pascal (1623‐1662) francia matematikus és filozófus