Kezdőlap


Cím:	Két szög sinusának összege és külömbsége
Füzet:	1898/szeptember, 8 - 9. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Két szög összegének és külömbségének sinusát, valamint két szög sinusának összegét és külömbségét könnyen számíthatjuk ki a Ptolemäus- féle tételekkel.
I. Legyen $A C = 2 r = 1$ , úgy

\begin{matrix} C B = sin α, A B = cos α, D C sin β, A D = cos β, \end{matrix}

\begin{matrix} D B = 2 r sin (α + β) = sin (α + β) \end{matrix}

Ptolemäus első tétele alapján:

\begin{matrix} A C \cdot D B = C B \cdot A D + A B \cdot C D . \end{matrix}

A fentebbi értékeket helyettesítve:

\begin{matrix} sin (α + β) = sin α cos β + cos α sin β . \end{matrix}

II. Legyen

A D = 2 r = 1

, úgy

\begin{matrix} A B = cos α, C B = 2 r sin (α - β) = sin (α - β) \end{matrix}

\begin{matrix} A C = cos β, D C = sin β, D B = sin α . \end{matrix}

A második ábrára Ptolemäus tételét alkalmazva:

\begin{matrix} D B \cdot A C = A D \cdot C B + A B \cdot D C \end{matrix}

a függvényeket helyettesítve:

\begin{matrix} sin α cos β = sin (α - β) + cos α sin β \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} sin (α - β) = sin α cos β - cos α sin β . \end{matrix}

III. Ptolemäus második tétele szerint (l. első ábra):

\begin{matrix} \frac{B D}{A C} = \frac{A B \cdot B C + A D \cdot C D}{A D \cdot A B + D C \cdot C B} \end{matrix}

I)-ből a függvényeket helyettesítve:

\begin{matrix} sin (α + β) = \frac{sin α cos α + sin β cos β}{cos α cos β + sin α sin β} \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} 2 sin (α + β) = \frac{sin 2 α + sin 2 β}{cos (α - β)}, \end{matrix}

miből

\begin{matrix} sin 2 α + sin 2 β = 2 sin (α + β) cos (α - β) \end{matrix}

vagy ha

\begin{matrix} 2 α = φ, 2 β = ψ, \end{matrix}

úgy

\begin{matrix} sin φ + sin ψ = 2 sin \frac{φ + ψ}{2} cos \frac{φ - ψ}{2} \end{matrix}

IV. Ptolemäus második tételét a második ábrára alkalmazva:

\begin{matrix} \frac{D B}{A C} = \frac{A B \cdot C B + A D \cdot D C}{A B \cdot A D + D C \cdot C B} \end{matrix}

(II)-ből a függvényeket helyettesítve:

\begin{matrix} \frac{sin α}{cos β} = \frac{cos α sin (α - β) + sin β}{cos α + sin β sin (α - β)} . \end{matrix}

A törtek nevezőit eltávolítva:

\begin{matrix} sin α cos α - sin β cos β = sin (α - β) [cos α cos β - sin α sin β] \end{matrix}

vagy

\begin{matrix} sin 2 α - sin 2 β = 2 sin (α - β) cos (α + β) \end{matrix}

s így

\begin{matrix} sin φ - sin ψ = 2 cos \frac{φ + ψ}{2} sin \frac{φ - ψ}{2} . \end{matrix}

(Bulletin Scientifique.)