A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Állandó távolságú görbepárok Ebben a cikksorozatban olyan bizonyításokat mutatunk be, amikor a geometriai alakzatokat ,,térbe kilépve'', három- vagy akár még magasabb dimenziós objektumok vetületeként vagy metszeteként állítjuk elő.
Vasúti sínek és beírt körök
A Newcastle-i központi vasútállomás sínei egy 1910-es képeslapon A vasúti sínpárokat jól ismerjük: két olyan görbéből állnak, amelyek távolsága egy előre rögzített állandó, a sínpár nyomtávja. Úgy is mondhatjuk, hogy a vasútvonal bármelyik pontján a két sín közé átmérőjű kört lehet írni.
1. ábra Ahol két sínpár keresztezi egymást, ott a kereszteződésben egy közelítőleg rombusz alakú terület jön létre, ezért az ilyen helyeket, az osztott pályás autóutak kereszteződéseihez hasonlóan, gyémánt-kereszteződésnek (angolul: diamond-crossing) is hívják. A kereszteződésben a két sínpár közé írt körseregeknek egy közös elemét fedezhetjük fel: a ,,rombuszba'' beírt kört, amely mind a négy síngörbét érinti (1. ábra). Látni fogjuk, hogy ebből a gondolatból milyen sokféle feladatot lehet gyártani; az előző részben látott olimpiai feladatjavaslatnak is van ilyen hangulatú megoldása. Ehhez most kivételesen nem három dimenzióba, hanem egy nem-euklideszi geometriai modellbe, a Poincaré-féle félsíkmodellbe fogunk átlépni, és ott keresünk állandó távolságú görbepárokat és ilyenek kereszteződéseit.
A Poincaré-féle félsíkmodell A félsíkmodell inverzióval kapható a Poincaré-féle körmodellből; szintén a hiperbolikus sík egy modellje, ha tetszik, egy képe az euklideszi síkon belül. A ,,pontok'' egy félsík belső pontjai. A modellt mindig úgy fogom lerajzolni, hogy a határa egy vízszintes egyenes, és az egyenes fölötti félsík lesz maga a modell. Az ,,egyenesek'' a félsík határára merőleges félkörök és félegyenesek. A félegyeneseket tekinthetjük a félkör határhelyzetének; ha a síkot kiegészítjük egy végtelen távoli ponttal, amely az összes egyenes közös végpontja (vagyis a modellt az inverzív síkon helyezzük el), ez az ideális pont lesz a félegyenesnek látszó ,,egyenesek'' másik vége. Máris látjuk, hogy a különféle geometriai alakzatok és mennyiségek a modellen belül nem ugyanazok, mint aminek kívülről látszanak. A hiperbolikus ,,sík'' félsíknak látszik, az ,,egyenesek'' pedig félkörnek vagy félegyenesnek. Azért, hogy a félreérthetőséget elkerüljük, a modellbeli dolgokat a későbbiekben is idézőjelbe fogom tenni, és helyenként a ,,hiperbolikus'' jelzőt is használni fogom. A kívülről látható dolgok nem lesznek idézőjelben, és időnként a ,,látszólagos'' jelzővel is hangsúlyozni fogom, hogy csak látszatról van szó. Két ,,pont'' ,,távolságát'' ugyanazzal a képlettel definiáljuk, mint a körmodellben: ha és két pont a határegyenesre merőleges félkörön (2.a ábra), akkor a ,,távolságuk'' | | () | ahol egy rögzített pozitív szám, a hiperbolikus geometria paramétere.
2. a ábra Ha és az végpontú, a határra merőleges félegyenesen van (2.b ábra), akkor a félegyenes másik vége az ideális pont, és ; tehát a ,,távolság'' | | () |
2. b ábra A képletekben a logaritmus előjele attól függ, hogy a négy pont sorrendje , , , (a logaritmus értéke negatív) vagy pedig , , , (pozitív); ahol lehet, megpróbáljuk a pontokat úgy elhelyezni, hogy ne legyen szükség az abszolútérték-jelre. Érdemes ellenőrizni, hogy ez a távolság-képlet szimmetrikus, vagyis , és additív is: ha , , ebben a sorrendben három pont ugyanazon az ,,egyenesen'', akkor .
Végül definiáljuk a szögeket: két ,,egyenes'' ,,szöge'' a félsíkmodellben is éppen akkora, mint amekkorának látszik.
A félsíkmodellben a ,,körök'' a félsík belsejében fekvő körvonalak, ezt most ellenőrizni fogjuk. Vizsgáljunk meg egy tetszőleges kört a félsíkban, amely szimmetrikus a határra merőleges félegyenesre; az kezdőpontját jelöljük -val, és a -val vett metszéspontjai legyenek és . A kör látszólagos középpontja az szakasz felezőpontja, de a kör ,,középpontja'' nem ez, hanem az szakasznak az a pontja, amelyre ; az (1b) definíciót beírva , vagyis . Rajzoljunk a ponton keresztül egy tetszőleges újabb ,,egyenest'', vagyis félkört, amelynek végpontjai és , metszéspontjai a körrel és a 3. ábra szerint.
3. ábra Azt szeretnénk ellenőrizni, hogy merőlegesen metszi -t, és az , , , pontok ugyanakkora ,,távolságban'' vannak a ponttól, azaz . Azt már biztosítottuk, hogy teljesüljön. Először megmutatjuk, hogy a és a egyenes átmegy az , míg a és a egyenes átmegy az ponton. A Thalész-tétel miatt a háromszög derékszögű; a magasságtétel szerint . A pont definíciója szerint , tehát , vagy átrendezve . Ezért az és derékszögű háromszögek hasonlók, és egy körüli, -os szögű forgatva nyújtással vihetők át egymásba. A -os forgatás miatt az átfogóik, a és a egyenesek merőlegesek. A Thalész-tétel megfordítása miatt a és a egyenesek metszéspontja a és körön is rajta van, vagyis ez a metszéspont éppen az pont. Ugyanígy láthatjuk, hogy a és egyenesek metszéspontja . A háromszögben , és a magasságok, a magasságpont. Jelölje a szakasz felezőpontját, amely egyben az kör középpontja is. Az , , , , pontok a háromszög Feuerbach-körén vannak; mivel , az szakasz a Feuerbach-körnek átmérője; ezért . Más szóval, a kör és sugarai merőlegesek az kör , illetve sugaraira; a és az kör tényleg merőlegesen metszi egymást. A ellenőrzéséhez azt használjuk fel, hogy a háromszög hasonló a , a pedig hasonló a háromszöghöz:
A , és , pontok szerepének felcserélésével ugyanígy igazolható, hogy .
Az , távolság-definíciók következménye, hogy a körívnek vagy éppen szakasznak látszó ,,szakaszok'' hiperbolikus hossza csupán a modell határától mért távolságok arányától függ; ha a félsíkmodellt felnagyítjuk, vagy lekicsinyítjük, ugyanezt a modellt kapjuk vissza. A 4. ábrán újra lerajzoltam az előző részben már látott csempézést, de most a félsíkmodellben: a csempék olyan egybevágó szabályos ötszögek, amelyeknek mindegyik szöge derékszög, és a beírt körük is ,,ugyanakkora'', csak a határhoz közelebbi köröket arányosan kisebbnek kell rajzolnunk.
4. ábra
Állandó távolságú görbepárok a félsíkmodellben Ahogy ígértem, vonatsíneket fogunk keresni a félsíkmodellben.
Koncentrikus körök Az euklideszi geometriában megszokott párhuzamos egyenespárok itt nem léteznek; a legkézenfekvőbb példa állandó távolságú görbepárra két ,,koncentrikus'' ,,kör''. A ,,koncentrikust'' természetesen úgy értjük, hogy a két ,,kör'' hiperbolikus ,,középpontja'' ugyanaz. Az 5. ábrán a és a kör közös ,,középpontja'' a pont, és a mindkettőt érintő körök ,,ugyanakkorák''.
5. ábra Tekintsünk egy tetszőleges, -n átmenő ,,egyenest'', amely a modellben egy középpontú félkörnek látszik. Az ,,egyenes'' mindkét kört merőlegesen metszi, ezért az pontot a metszéspontokkal összekötő szakaszok érintik a köröket. Ezek a szakaszok az félkörnek sugarai, tehát egyenlő hosszúak; emiatt az pont hatványa a két körvonalra ugyanakkora. Ebből láthatjuk, hogy a ,,koncentrikus'' körök hatványvonala a félsíkmodell határegyenese.
Ha egy ,,egyenes'' két végét egy (a félkörtől különböző) körívvel összekötjük, egy nagyon érdekes görbét kapunk a hiperbolikus geometriánkban. Ennek a görbének minden pontja ugyanakkora ,,távolságban'' van az -től. Ezért szokták a görbét ,,távolsággörbének'' is nevezni; mi az elterjedtebb ,,hiperciklus'' nevet fogjuk használni. Ha ugyanazzal a két végponttal nem egy, hanem két hiperciklust rajzolunk, akkor az -től mért ,,távolságokat'' egyszerűen összeadhatjuk vagy kivonhatjuk (attól függően, hogy az -nek ugyanazon vagy pedig ellentétes oldalán vannak), ezért a két hiperciklus ,,távolsága'' is állandó. A 6.a és a 6.b ábrán közös végpontú hiperciklusokat és ,,egyeneseket'' rajzoltam: a 6.b ábrán az egyik közös végpont az ideális pont. Vegyük észre, hogy a 6.a ábrán a hiperciklusoknak megfelelő körívek hatványvonala ezúttal is a félsíkmodell határa.
6. a ábra
6. b ábra A szakirodalom az egyeneseket, vagyis az egyenesektől nulla távolságban haladó görbéket nem nevezi ,,hiperciklusnak''. Mi viszont csupa olyan állítást fogunk megfogalmazni, amelyek hiperciklusokra és egyenesekre is érvényesek, ezért mindenhol azt kellene írnunk, hogy ,,hiperciklus vagy egyenes''. (Pl. ,,Két, közös végpontú hiperciklus vagy egyenes távolsága állandó''.) Helyette inkább a ,,hiperciklus'' fogalmába speciális esetként az egyeneseket is bele fogjuk érteni.
Most ellenőrizzük, hogy két, azonos végpontú hiperciklus (vagy ,,egyenes'') ,,távolsága'' tényleg állandó, és a közéjük írható körök ,,ugyanakkorák''. Legyen és két hiperciklus, amelyek közös végpontjai és . Az szakasz felezőmerőlegese legyen , jelölje metszéspontját -val, -vel és az egyenessel rendre , , illetve . Az -ra egy tetszőleges pontjában állítsunk egy merőleges ,,egyenest'', ennek végpontjai legyenek és , metszéspontja -vel , és az félkör középpontja legyen . Azt fogjuk igazolni, hogy és is merőlegesen metszik egymást, létezik egy kör, amely az és pontokban érinti az , illetve a görbét, és (7. ábra).
7. ábra Az pontnak az körívre vonatkozó hatványából kapjuk, hogy , így az félkör sugara érinti -t. Tehát az ,,egyenes'' a hiperciklust is merőlegesen metszi. Az a kör, amely az és pontokban érinti az és szakaszokat, érinti az és görbéket is. Szükségünk lesz arra, hogy a pontok, illetve a pontok is egy egyenesre esnek. Legyen az egyenes és a körív -beli érintőjének metszéspontja; mivel a felezőpontja, a egyenes párhuzamos az egyenessel. Az és a háromszög is egyenlő szárú, így ; ez mutatja, hogy a és az szakasz egymás meghosszabbítása. Ugyanígy igazolhatjuk, hogy , és egy egyenesen van. A és a derékszögű háromszögek, továbbá a és a derékszögű háromszögek is hasonlók, ezért
Ez mutatja, hogy bármelyik pontban ,,ugyanakkora'' kört lehet a két hiperciklus közé írni.
A horociklusok (más néven paraciklusok) olyan, a félsíkmodellben körvonalnak vagy egyenesnek látszó görbék, amelyeknek egyetlen pontjuk van a modell határán; más szóval, a határegyenest érintő körvonalak (8.a ábra), és a határegyenessel párhuzamos egyenesek (8.b ábra). A 8.a ábrán megfigyelhetjük, hogy a közös végpontú horociklusoknak megfelelő körvonalak hatványvonala a közös érintő, vagyis ismét csak a félsíkmodell határegyenese.
8. a ábra
8. b ábra A közös végpontú horocikluspárokra is igaz, hogy a ,,távolságuk'' állandó, avagy a közéjük írt körök ,,ugyanakkorák''. Ennek igazolása a hiperciklusokra elmondott gondolatmenet leegyszerűsítésével történhet: a különbség annyi, hogy az , , pontok egybeesnek (9. ábra). Ennek részletes végiggondolását az Olvasóra hagyjuk.
9. ábra A sokféle, körvonalnak látszó görbét egy közös rajzon mutatja a 10. ábra:
10. ábra
A kimerítő előkészületek után nézzünk példákat arra, hogy sínpárok kereszteződéseiből hogyan lehet feladatokat készíteni.
Ali Khezeli megoldása az olimpiai feladatjavaslatra Az előző részben látott olimpiai feladat javaslatra (11.a ábra) az iráni csapat egyik megfigyelője, Ali Khezeli mutatta nekem a következő megoldást.
11. a ábra Tekintsük a 11.a ábrát egy félsíkmodellbeli rajznak. Az és hiperciklusok ,,távolsága'' ugyanakkora, mint a és a hiperciklusok ,,távolsága'': a közös ,,távolság'' a tartományba írt kör ,,átmérője''. Ugyanígy, az és hiperciklusok ,,távolsága'' ugyanakkora, mint a és a hiperciklusok ,,távolsága'', továbbá az és hiperciklusok ,,távolsága'' is ugyanakkora, mint a és a hiperciklusok ,,távolsága''. Tehát az és hiperciklusok ,,távolsága'' ugyanakkora, mint a és a hiperciklusok ,,távolsága'', ezért az tartományba is kör írható. A megoldás általánosabban is működik, például a 11.b ábrán látható esetben.
11. b ábra
Hiperciklusok egy kör középpontján keresztül Eddig a különböző görbepárok távolságát a közéjük írt körök átmérőivel mértük meg. Megtehetjük azonban azt is, hogy egy körhöz csak egy érintő hiperciklust rajzolunk, a másik hiperciklus a kör középpontján megy át. Legyen hegyesszögű háromszög, a magasságai , és , az magasság és a félkör metszéspontja . Húzzunk a és a pontból érintőket az körhöz a háromszög belsejében, az érintő félegyenesek legyenek és (12. ábra).
12. ábra Ezeket a köröket és a pontot már ismerjük a 3. ábráról: az és a hiperbolikus ,,egyenes'' is merőlegesen metszi az kört, ezért a kör ,,középpontja''. A és a hiperciklus ,,távolsága'', valamint a és a hiperciklus ,,távolsága'' is az kör ,,sugara''. Ezért a két hipercikluspár közé közös érintő kört lehet írni.
Ha ugyanazokkal a végpontokkal nem két, hanem három hiperciklust rajzolunk, a közöttük mért ,,távolságokat'' összeadhatjuk. A 13.a ábrán az és hiperciklusok ,,távolsága'' a közéjük írt kör ,,átmérője'', míg az és ,,távolsága'' a ,,átmérője''; az és közötti ,,távolság'' a kettő összege.
13. a ábra Ugyanezt az összeget kapjuk a és közötti ,,távolságra'' (csak fordított sorrendben), tehát az négyszögbe is kört lehet írni. Ugyanez elmondható a 13.b ábrán is.
13. b ábra
Érintőnégyszögek egy jellemzése A félegyenesnek látszó hiperciklusok ,,távolsága'' könnyen felírható szögekkel. Legyen és két hiperciklus, amelyek egyik végpontja , a másik végpont az ideális pont, és metsszük el ezeket egy középpontú félkörrel a 14.a ábra szerint.
14. a ábra Az ábrán feltüntetett szögekkel, feltéve, hogy , az egyenlő szárú háromszögből azt kapjuk, hogy , ezért , és hasonlóan . Tehát az és a hiperciklus közötti ,,távolság'' | |
14. b ábra Most tekintsünk két félegyenes-párt, az és hiperciklusokat a 14.b ábra szerint. A közös érintő kör akkor és csak akkor létezik, ha az és ,,távolsága'' megegyezik és ,,távolságával'', vagyis A feltétel akkor is érvényes marad, ha az és a félegyenest az egyenes másik oldalára rajzoljuk (15a. ábra).
15. a ábra Az érintőnégyszögeknek ezt a tulajdonságát érdemes külön is kimondani és megtanulni: Lemma. Legyen az konvex négyszögben , , és . Az négyszög akkor és csak akkor érintőnégyszög, ha
A Lemma bizonyítását kezdjük a ,,csak akkor'' iránnyal; tegyük fel, hogy érintőnégyszög, a beírt köre , az érintési pontok , , és a 15.b ábra szerint. Az általánosság csorbulása nélkül feltehetjük, hogy .
15. b ábra Tükrözzük az átlóra a , , pontokat és a körnek az háromszögbe eső ívét; a tükörképeket jelölje rendre , , , illetve . Az pontból a -hoz és -höz húzott érintők egyenlők, ezért az kör középpontja . Ha az egyenesnek a -vel azonos oldalát a félsíkmodellnek tekintjük, akkor a és hiperciklusok ,,távolsága'' Ugyanezt az helyett a ponttal is elmondhatjuk, és a és hiperciklusok ,,távolságára'' így azt kapjuk, hogy A kétféle képlet összehasonlításából A megfordításhoz most tegyük fel, hogy nem érintőnégyszög. Vegyük fel az félegyenesen azt a pontot, amelyre érintőnégyszög, és legyen . Az előbbiek szerint | |
1. Feladatok szöveg nélkül:
KöMaL A. 621., 2014/9
IZhO 2014/4; Nairi Sedrakyan feladata
2. Az konvex érintőnégyszögbe írt kör középpontja . Az és a félegyenes az pontban, az és a félegyenes a pontban metszi egymást. Legyen az a , fókuszú ellipszis, amely átmegy a és pontokon, és legyen az a , fókuszú hiperbolaág, amely átmegy az és pontokon. Az és metszéspontjait jelölje és . Mutassuk meg, hogy a , és pontok egy egyenesen vannak. (KöMaL A. 630., 2014. december)
3. Adott az tetraéder mindegyik élén egy belső pont, az él -n túli meghosszabbításán pedig egy pont (). Tegyük fel, hogy az és síkok által határolt hat lapú testbe, továbbá az és síkok által határolt testbe is egy-egy gömböt lehet írni. Bizonyítsuk be, hogy ekkor az és síkok által határolt testbe is gömböt lehet írni. (KöMaL A. 547., 2011. november)
A cikksorozat a Rényi Intézet és a Sztaki támogatásával készült. |
|