Kezdőlap


Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok
Füzet:	1979/május, 217 - 218. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Ebben a rovatban havonta tíz-tíz olyan érdekes ‐ könnyebb vagy nehezebb ‐ feladatot mondunk el, amelyek előkészítőül szolgálnak a Matematikai Diákolimpiára. Olvasóink ne küldjék be megoldásaikat, mert a megoldásokat nem ismertetjük. Esetleges kérdéseikkel forduljanak a szerkesztőséghez, ezekre írásban válaszolunk.

1. Egy kör

M A, M B, M C

húrjai mint átmérők fölé köröket írunk. Bizonyítsuk be, hogy e körök második metszéspontjai egy egyenesen vannak.

2. Egy háromszög köré írt kör középpontja

O

, sugara

r

. Párhuzamosokat húzunk

O

-n keresztül az oldalakkal, ezek a további két oldalt rendre az

A_{1} A_{2}

B_{1} B_{2}

C_{1} C_{2}

pontokban metszik. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} A_{1} O \cdot O A_{2} + B_{1} O \cdot O B_{2} + C_{1} O \cdot O C_{2} = r^{2} . \end{matrix}

3. Adott a térben három kitérő egyenes. Határozzuk meg a legkisebb kerületű olyan háromszöget, amelynek csúcsai rendre a megadott egyeneseken vannak.

4. Egy síkban adva van

100

pont, semelyik három nem esik egy egyenesbe. A pontok által meghatározott szakaszok mellé

+ 1

-et vagy

- 1

-et írunk. Egy háromszög, melynek csúcsai az adott pontok közül valók, negatív, ha ha az oldalaihoz írt számok szorzata

- 1

. Bizonyítsuk be, hogy a negatív háromszögek száma páros.

5. Fel lehet-e darabolni egy négyzetet csupa konkáv négyszögre?

6. Egy konvex sokszög olyan, hogy nem helyezhető el benne

1

területű háromszög. Bizonyítsuk be, hogy ekkor a sokszög lefedhető egy

4

területű háromszöggel!

7. a) Egy egyenesen adott

p

-nél több szakasz. Tudjuk, hogy bármely

p

szakasz között van

q

olyan, melyeknek van közös pontjuk. Mutassuk meg, hogy ekkor kijelölhető az egyenesen

p - q + 1

pont úgy, hogy a szakaszok mindegyike e pontok közül legalább egyet tartalmazzon.
b) Egy körön adott

p

-nél több körív. Tudjuk, hogy bármely

p

körív között van

q

olyan, melyeknek van közös pontjuk. Mutassuk meg, hogy ekkor kijelölhető a körön

p - q + 2

pont úgy, hogy az ívek mindegyike e pontok közül legalább egyet tartalmazzon.

8. Milyen

n \times m

-es sakktáblák fedhetők le

4 \times 1

-es dominókkal?

9. Az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

pozitív számok összegét jelöljük

s

-sel. Mutassuk meg, hogy

\begin{matrix} {(a_{1} + \frac{1}{a_{1}})}^{2} + ... + {(a_{n} + \frac{1}{a_{n}})}^{2} \geq n {(\frac{n}{s} + \frac{s}{n})}^{2} . \end{matrix}

10. Legyen

n > 2

pozitív egész, és tekintsük mindazokat a

0 < p < q \leq n

egészeket, amelyekre

(p, q) = 1

és

p + q > n

. Az összes ilyen párra adjuk össze az

1 / p q

törteket. Mennyi lesz az összeg?