Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Balga Attila (Budapest)
Füzet:	2020/január, 10 - 13. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: $a)$ $\text{cos}2x+3\cdot \text{cos}x-1=0$,  (7 pont) $b)$ $\sqrt[]{6-x}-\sqrt[]{5-2x}=1$.  (6 pont)   2. A nem is olyan távoli jövőben a fizika fakultációsok online szimulációban vizsgálhatják töltött részecskék viselkedését mágneses mezőben, ahol a részecskék helyzetét derékszögű koordináta-rendszer segítségével írják le. Két fizika fakultációs diák, Hácé és Kácé fontos kísérletet tervez: egy háromszög csúcsaiba $(A\left(-2;1\right)$; $B\left(10;6\right)$; $C\left(4;9\right))$ Kácé három detektort helyez. Hácé ekkor egy töltött részecskét juttat a háromszög súlypontjába. A töltött részecske tömege peti-ben (peti: tömegegység a szimulációban) a háromszög területének és a $BAC\sphericalangle$ cosinusának szorzata. Határozzuk meg a háromszög súlypontjának koordinátáit és a részecske tömegének pontos értékét.  (12 pont)   3. Pébé tanár úr, a $C$ osztály osztályfőnöke lelkesen érkezett a reggeli órára. ‐ Képzeljétek, megálmodtam a matematika emelt szintű érettségi átlagunkat! ‐ És mennyi volt, tanár úr? ‐ Azt sajnos elfelejtettem, de emlékszem, hogy a $D$-sek átlaga szabályos közelítéssel 84,3, az $E$-seké 85,1, a három osztály átlaga pedig 87,9 volt. Tudjuk, hogy a $D$-ből 11-en, az $E$-ből 14-en, tőlünk pedig 24-en írnak emelt szintű érettségit. Ebből már ki lehet számolni az osztályátlagot. $a)$ Mennyi a $C$-sek osztályátlaga egy tizedesjegyre kerekítve, ha minden diák érettségi eredménye csak egész százalék lehet?  (8 pont) A Szalagavató nyitótáncában a $C$-sek 20%-a, a $D$-sek 25%-a vesz részt. Az egyik szünetben 4 fő $C$ osztályos és 2 fő $D$ osztályos tanuló vásárolt pizzát a büfében. $b)$ Mennyi annak a valószínűsége, hogy közülük pontosan ketten táncolnak a nyitótáncban?  (6 pont)   4. Adottak az $f:\text{R}\to \text{R}$, $f\left(x\right)=x^3-8$ és a $g:\text{R}\to \text{R}$, $g\left(x\right)=4-2x$ függvények. $a)$ Adjuk meg a $g\circ f$ függvény $x=2$ abszcisszájú pontjába húzott érintő egyenletét.  (7 pont) $b)$ Adjuk meg a $\underset{x\to 2}{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\frac{f}{g}$ határértéket.  (5 pont)   II. rész     5. Két birkózó egyesület közös bajnokságra készül. A felkészülés során előírás a napi 8 óra alvás. A korábbi felkészülések során kiderült, hogy a felkészülés hatékonyságát jelentősen befolyásolja a regenerálódásra fordított idő. A szakemberek megállapították, hogy a hatékonyságot az $E\left(t\right)=t^3\cdot \left(3\mathrm{,}2-t\right)$ függvénnyel lehet leírni, ahol $t$ a regenerálódásra fordított idő. $a)$ Mennyi időt fordítsanak a regenerálódásra, hogy a felkészülés a lehető leghatékonyabb legyen?  (8 pont) A bajnokságot kieséses rendszerben folytatják le, a párokat minden egyes mérkőzés előtt véletlenszerűen sorsolják. Az első pár sorsolásakor $\frac{7}{40}$ a valószínűsége annak, hogy mindkét versenyző az $A$ egyesület tagja. Két mérkőzés után, ahol egy résztvevőt az $A$, három résztvevőt pedig a $B$ egyesületből sorsoltak ki, ugyanakkora valószínűséggel sorsolják mindkét versenyzőt az $A$ egyesületből, mint a $B$ egyesületből. $b)$ Hányan indultak a bajnokságon az egyes egyesületekből?  (8 pont)   6. Egy paralelogramma alakú füves terület oldalai 50 m és 34 m, az oldalak végpontjait összekötő átló 56 m hosszú. Az átló egy pontjába egy önműködő locsoló berendezést helyezünk, amely a terület bármely pontjából eléri bármely másik pontját, és ha a távolságot beállítottuk, akkor egy körön belül mindent lelocsol. $a)$ Legalább mekkora területet kell kézzel locsolni, ha a locsoló berendezés a terület határán túl nem locsolhat?  (10 pont) A füves területen egy kör alakú virágágyást alakítanak ki. A virágágyást két egyenes gyalogút szeli át, amelyek egy a körön kívüli $P$ pontban metszik egymást. A virágágyást az egyik gyalogút az $A$ és $B$, a másik gyalogút a $C$ és $D$ pontokban metszi. Tudjuk, hogy $PA=3$ m, $AB=5$ m, valamint $PD=PC+10$ m. $b)$ Mekkora a $PD$ távolság?  (6 pont)   7. $a)$ Bizonyítsuk be, hogy a szomszédos páratlan számok reciprokainak különbsége egyenlő a számok szorzata reciprokának kétszeresével.  (4 pont) Adott az $\frac{1}{1\cdot 4}+\frac{1}{4\cdot 7}+\frac{1}{7\cdot 10}+\text{...}$ végtelen sor. $b)$ Bizonyítsuk be, hogy az $n$-edik részletösszeg: $\begin{array}{c}{\displaystyle S_n=\frac{n}{3n+1}\mathrm{.}}\end{array}$  (8 pont) $c)$ Adjuk meg a $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\left(S_n\right)$ határértéket.  (4 pont)     8. Az ábrán egy nemzetközi fogász kongresszus emblémája látható.     Az alakzatot az alábbi függvények grafikonjai határolják: $\begin{array}{c}{\displaystyle f:\text{R}\to \text{R}\mathrm{,}x\mapsto \frac{1}{4}{x}^4-2x^2+2\text{és}g:\text{R}\to \text{R}\mathrm{,}x\mapsto \frac{1}{36}{x}^2+4.}\end{array}$ $a)$ Határozzuk meg a függvények grafikonjainak metszéspontjait.  (2 pont) $b)$ Mekkora az embléma területe, ha a koordináta-rendszer 1 egysége a valóságban 1 cm-nek felel meg? A konferencián egy asztalhoz került hat fogorvos, akik örömmel állapították meg, hogy valamennyien részt vesznek egy programban, amelyben hasznos kezelési eljárásokat osztanak meg egymással. Ennek keretében a hat fogorvos is kapcsolatban áll egymással, mindegyik mindegyikkel. A kapcsolattartás két hálózaton keresztül folyik, de két fogorvos egymás között mindig ugyanazon a hálózaton kommunikál.  (8 pont) $c)$ Bizonyítsuk be, hogy az asztalnál helyet foglaló hat fogorvos között van három olyan, aki egymás közt ugyanazon a hálózaton kommunikál.  (6 pont)   9. Egy függönytartó rúd kúpban végződik. Rögzítő elemként egy $R$ sugarú gömböt kúposan átfúrunk úgy, hogy pontosan illeszkedjen a rúd végére, majd az így kapott testet ráhúzzuk úgy, hogy a kúp tengelye átmenjen a gömb középpontján. A rögzítőelem magassága 7 cm, a felső alapköre $r_1=3$ cm, az alsó alapköre $r_2=4$ cm sugarú. $a)$ Határozzuk meg a rögzítőelem felszínét és térfogatát.  (10 pont) Az áruházban a függönytartó rudakat négyféle színben (arany, ezüst, fehér, fekete), a rögzítőelemet háromféle színben (arany, zöld és piros), a függönyöket ötféle színben (arany, ezüst, fehér, zöld, piros) árulják. $b)$ Hányféle kombinációt lehet összeállítani, ha az az előírás, hogy legalább az egyik elem aranyszínű legyen és a rúd két végén lévő rögzítőelem azonos színű?   (6 pont)