Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Koncz Levente (Budapest)
Füzet:	2019/december, 523 - 525. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ Hány olyan négyjegyű pozitív egész szám van, amelyben a számjegyek összege legfeljebb $4?$  (7 pont) $b)$ Hány olyan lesz ezek között a számok között, amely osztható $60$-nal?   (5 pont)   2. $a)$ Egy osztályban egy matematika dolgozatnál a $6$ kékszemű tanuló átlaga pontosan $3$, a többi, nem kékszemű tanuló átlaga pontosan $4$ lett. A $21$ fiú átlaga pontosan $3\mathrm{,}5$, a lányok átlaga pontosan $4\mathrm{,}5$ lett. Határozzuk meg a dolgozat átlagát a teljes osztályban.  (5 pont) $b)$ Az iskolai túraszakosztály a hétvégi kirándulásra különbuszt rendelt. A buszköltséget a résztvevők között egyenlő arányban osztják szét. A kitűzött jelentkezési határidő egy hétfői napon járt le. Mivel maradt még szabad hely a buszban, ezért kedden még két jelentkezést elfogadtak, így az egy résztvevőre jutó buszköltség 175 Ft-tal csökkent. Szerdán aztán még három jelentkezést elfogadtak, így az egy résztvevőre jutó buszköltség további 225 Ft-tal csökkent. Így már megtelt a megrendelt autóbusz. Hány jelentkezést fogadtak el összesen a kirándulásra, és mennyibe került a megrendelt különbusz?  (8 pont)   3. $a)$ Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle 4^x+2<9\cdot 2^{x-1}\mathrm{.}}\end{array}$ (6 pont) $b)$ Oldjuk meg az alábbi egyenletet a valós számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|\frac{3}{2}-\text{sin}x-2\text{cos}{}^{2}x\right|=\frac{1}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ (7 pont)   4. $a)$ Az $\begin{array}{c}{\displaystyle f:\text{R}\to \text{R}\mathrm{,}f\left(x\right)=ax+b}\end{array}$ és a $\begin{array}{c}{\displaystyle g:\text{R}\to \text{R}\mathrm{,}g\left(x\right)={\left(x-c\right)}^2+d}\end{array}$ függvények grafikonjai az $M_1\left(-1;10\right)$ és az $M_2\left(4;-5\right)$ pontokban metszik egymást. Határozzuk meg az $a$, $b$, $c$ és $d$ értékét.  (7 pont) $b)$ Határozzuk meg az $\begin{array}{c}{\displaystyle f:\text{R}\to \text{R}\mathrm{,}f\left(x\right)=3x+7}\end{array}$ és a $\begin{array}{c}{\displaystyle g:\text{R}\to \text{R}\mathrm{,}g\left(x\right)={\left(x+3\right)}^2-6}\end{array}$ függvények által közrezárt síkidom területét.  (6 pont)   II. rész     5. Egy felmérésben azt vizsgálták, az autósok hogyan viszonyulnak a téli gumiabroncsok használatához. A felmérésben $1800$ autóst kérdeztek meg. Azok, akik használnak téli gumiabroncsokat, $1320$-szal többen voltak, mint akik nem. Azok között, akik nem használnak téli gumiabroncsot, $40\%$-kal kevesebben voltak azok, akik ezt nem is tartják fontosnak, mint azok, akik ugyan fontosnak tartják, de anyagi okokból lemondanak róla. $a)$ Ábrázoljuk a felmérés eredményét kördiagramon.  (6 pont) Egyes személyautókban az autó által megtett távolságot az autó műszerei úgy számítják ki, hogy a gumiabroncs ismert kerületét és a kerék által megtett fordulatok számát összeszorozzák. Vera észrevette, hogy néhány év használat után az autó műszerei már pontatlanul mutatták a megtett távolságot: amíg az út melletti kilométerkövek tanúsága szerint pontosan 100 km-t tett meg, addig a műszerfal 101,2 km megtett utat jelzett. Ennek az volt az oka, hogy az autó gumiabroncsai a néhány év használat alatt kicsit elkoptak, így a kerületük csökkent. A katalógusok szerint a Vera autóján használt gumiabroncsok gyártáskori átmérője 632 mm volt. A műszerek ‐ a kopást figyelmen kívül hagyva ‐ mindvégig ebből az adatból határozták meg az autó által megtett távolságot. $b)$ Hány millimétert kopott eddig Vera autója gumiabroncsának felülete?   (5 pont) A rendőrség közúti ellenőrzés-sorozaton vizsgálja az autók gumiabroncsát. Egy nyári gumiabroncs úgynevezett profilmélysége gyártáskor kb. 8 mm. Az érvényes jogszabályok szerint nem lehet közlekedni olyan gumiabronccsal, melynek a kopása olyan mértékű, hogy profilmélysége 1,6 mm alá csökken. Felmérések alapján feltételezhető, hogy minden tizenötödik autón a gumiabroncsok kopása ezt az értéket meghaladja. (Ezt úgy tekinthetjük, hogy minden egyes autó esetén $1/15$ annak a valószínűsége, hogy a kopás 1,6 mm alá csökkent.) $c)$ Egy járőrpáros egy napi szolgálat alatt $80$ autó gumiabroncsainak kopását ellenőrzi. Határozzuk meg annak valószínűségét, hogy legalább $5$ olyan autót találnak az ellenőrzés során, melynél a gumiabroncsok kopása meghaladja a jogszabályban előírt határértéket.  (5 pont)   6. A valós számokon értelmezett $f\left(x\right)=2x^3+3x^2+bx+c$ függvénynek lokális maximuma van $x=-2$-nél. $a)$ Igazoljuk, hogy ekkor $b=-12$.  (5 pont) $b)$ Határozzuk meg $c$ lehetséges értékeit, ha tudjuk, hogy az $f$-nek három különböző zérushelye van.  (7 pont) $c)$ Határozzuk meg az $f$ zérushelyeit abban az esetben, ha $c=0$.  (4 pont)   7. A kanaszta nevű kártyajátékot két csomag francia kártyával játsszák. Egy csomag francia kártyában 55 lap található: négy szín (pikk, káró, kőr,   treff) mindegyikében 13-13 lap (2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, Bubi, Dáma, Király, Ász) van. Ezeken a lapokon kívül mindegyik csomagban van három Joker is. A pikk és treff színű lapok feketék, a káró és kőr színű lapok pirosak. A játék elején az egyik játékos kettéválasztja a jól megkevert kártyacsomagot, és a csomag egyik felében az alsó három lapot megnézheti: ez az úgynevezett emelés. Ha a három lap között van ,,szerencsés'' lap, akkor ezeket a szerencsés lapokat a játékos megkapja. Szerencsés lapnak számít a hat darab Joker, a nyolc darab 2-es (amit a kanasztában szintén Jokernek használnak) és a négy darab piros 3-as. $a)$ Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy az emelést végző játékos nulla, egy, kettő, illetve három szerencsés lapot kap.  (5 pont) $b)$ Határozzuk meg annak a valószínűségét, hogy a kezdő játékosnak kiosztott első négy lap között mind a négy szín előfordul.  (4 pont) Egy szerencsejátékban 4 Király és 4 Ász közül visszatevés nélkül húz lapokat a játékos a játékos, egészen addig, amíg az első Ászt kihúzza. Ha az első Ász kihúzása előtt $k$ darab Királyt húzott ki, akkor a játékos nyereménye $100k^2$ forint. $c)$ Határozzuk meg ebben a játékban a nyeremény várható értékét.  (7 pont)   8. Az $ABC$ egyenlőszárú háromszög alapja $AB$, beírt körének középpontja $O_1$, a beírt kör sugara 9 cm. A háromszögben olyan kört írunk, mely érinti a beírt kört és a háromszög két szárát. Ennek a körnek a középpontja $O_2$, sugara pedig 4 cm. $a)$ Határozzuk meg az egyik száron keletkező, a két kör érintési pontjai által meghatározott szakasz hosszát.  (5 pont) $b)$ Igazoljuk, hogy $O_{2}C=10\mathrm{,}4\text{cm}$.  (4 pont) $c)$ Határozzuk meg a háromszög területét.  (7 pont)   9. Egy nyolcpontú összefüggő, egyszerű gráf csúcsai $A$, $B$, $C$, $D$, $E$, $F$, $G$ és $H$. Az $A$, $B$, $C$ és $D$ csúcsok fokszámai (ebben a sorrendben) egy növekvő számtani sorozat egymást követő tagjai. Ehhez hasonlóan az $E$, $F$, $G$ és $H$ csúcsok fokszámai (ebben a sorrendben) egy másik növekvő számtani sorozat egymást követő tagjai. A nyolc csúcs fokszámai között két egyenlő van, a többi fokszám mind különböző, továbbá $A$ fokszáma kisebb $E$ fokszámánál. $a)$ Rajzoljuk fel ezt a gráfot.  (6 pont) Egy szabályos nyolcszög két szomszédos csúcsa a derékszögű koordináta-rendszerben $A\left(0;0\right)$ és $B\left(10;0\right)$. A nyolcszög az I. és a II. síknegyedben helyezkedik el. $b)$ Írjuk fel a szabályos nyolcszög beírható körének egyenletét.  (4 pont) $c)$ Igazoljuk, hogy a $P\left(17;17\right)$ pont a nyolcszögnek belső, beírható körének viszont külső pontja.  (6 pont)