A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.
4. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló számpárt, amire | |
Matolcsi Dávid megoldása. Legyen | | -ben a 2 kitevője . A -ban a 2 kitevője Tehát, ha , akkor . Nyilván , és | | Így, ha , akkor Az gyök vonása szigorúan monoton növekvő függvény, így Itt -re | | Ezek alapján , tehát . Vagyis -re nem teljesülhet az egyenlőség, azaz . Az -re , ekkor jó megoldás; -re pedig , így is jó megoldás. Az -ra , erről könnyen ellenőrizhető, hogy nem írható fel alakban. Az -re , ez sem írható föl alakban. Ha , akkor osztható -nel, tehát osztható -gyel. Így, ha , akkor . Ekkor viszont , ezért miatt , azaz , így osztható -nel, ami osztható 127-tel. Ha viszont osztható -tel, akkor , így szerint . Ez azonban lehetetlen, mert már beláttuk, hogy . Tehát csak két megoldása van a feladatban szereplő egyenlőségnek: és , illetve és .
5. Bath Bankja érméket bocsát ki, melyeknek egyik oldalán , másik oldalán betű látható. Harrynek ilyen érméje van, amelyek előtte balról jobbra, egy sorban vannak elrendezve. Harry ismételten végrehajtja a következő műveletet: ha pontosan olyan érme van, amin van felül, akkor megfordítja a balról -adik érmét; máskülönben minden érmén van felül, és ekkor Harry megáll. Például esetén a sorozatból indulva a lépések sorozata, ami három lépés után megáll. Bizonyítsuk be, hogy bármi legyen is a kiindulási sorozat, Harry véges sok lépés után megáll. Minden kiindulási sorozatra jelölje azt a lépésszámot, ahány lépés után Harry megáll. Például és . Határozzuk meg átlagos értékét, amint végigfut a lehetséges kiinduló sorozaton.
Nagy Nándor megoldása. Tekintsük azt a mutatót, amely mindig éppen a -adik érmére mutat. Mivel minden fordítás során értéke pontosan eggyel változik meg, ezért a fordítás után a mutató és esetén rendre balra, illetve jobbra lép egyet. Hogyha a mutatótól jobbra már nincsen érme, akkor pontosan lépésen belül fejeződik be az eljárás, hiszen ekkor az első érme mind oldalával van felül. Minden más helyzetben véges sok lépésben megdönti saját korábbi rekordját. Ennek igazolásához haladjunk végig a rekordokon. Abban az esetben, ha a mutató helyén van, akkor egyből jobbra lép, értéke 1-gyel nő, azaz megdöntötte a rekordot. Egyébként pedig egészen addig lép balra, amíg oldalú érmékre mutat, de lesz tőle balra oldalú is, hiszen az eltérő esetet már megvizsgáltuk. Ennél az érménél megfordul a mutató mozgása, és az imént -re fordított elemeken is jobbra fog lépni a mutató, vagyis ismét megdönti a rekordját. Tehát véges sok lépés alatt elő fog fordulni, hogy az első érme oldalával van felül, hiszen a rekord legfeljebb lehet. Létezik bijekció az érméből álló összes állapot és az érméből álló -ra végződő összes állapot között, amelyre az egyes állapotok irányított gráfja izomorf lesz: A bijekcióhoz fordítsunk minden érmét a túloldalára, ezután az egész sorozatot tükrözzük (eleje és vége helyet cserél) és a sorozat végére tegyünk még egy érmét. Az esethez tartozó állapotok:
Az esethez tartozó irányított gráf Ha az I. esetben darab érme volt, akkor a II. esetben lesz, így a mutató pozíciója az I. esetben a ., míg a II.-ban az . helyen van. Mivel az érméket megfordítottuk, tükröztük és a végére tettünk még egy () érmét, így az I. esetbeli . érme a II. esetben éppen az ., és a másik oldala van felül. Tehát a mutató éppen az ellenkező irányba mozog a II. esetben, mint az I. esetben, és a II. esetbeli új állapot éppen az I. esetbeli új állapot bijekció szerinti megfeleltetése. Az szerinti teljes indukcióval igazoljuk, hogy várható értéke . Kiinduló lépésként tekintsük az esetet, ahol valóban a lépésszám várható értéke. Az indukciós lépés során -ről -re lépünk, és két esetet különböztetünk meg:
‐ | Ha a sorozat utolsó érméje (az esetek fele), akkor a mutató pontosan ugyanúgy viselkedik, mint érme esetén. |
‐ | Különben pedig idáig (az utolsó érméig) el kell jutnia egyszer a mutatónak, ami csakis akkor lehet, ha már az összes érme oldalát mutatja. Minden egyes ilyen lépéssorozatnak a bijekció miatt megfeleltethető egy lépéssorozat az előző esetből, vagyis a mutató a végig állapotig várható értékben lépést fog tenni. Persze még el kell érni a végig állapotot, ami további lépést igényel. |
Mivel a két eset egyformán valószínű, így az várható értéke a két szám átlaga: | | tehát működik az indukciós lépés.
6. A hegyesszögű háromszög, amiben , beírt körének a középpontja . Az háromszög beírt köre a , , oldalakat rendre a , , pontokban érinti. A -ből -re bocsátott merőleges egyenes és az kör második metszéspontja . Az egyenes és az kör második metszésponta . A és a háromszögek körülírt köreinek második metszéspontja . Bizonyítsuk be, hogy a és egyenesek az -ra -ban állított merőleges egyenesen metszik egymást.
Haiman Milán megoldása. Legyen az csúcshoz tartozó külső szögfelező metszéspontja -vel. Megmutatjuk, hogy , és áthaladnak egy -től különböző ponton. E pont lesz majd , ahonnan következik, hogy , és az állításnak megfelelően valóban kollineárisak. A egyenes és a , körök -től különböző közös pontjának megmutatásához alkalmazzunk a beírt körre vonatkozó inverziót. Így a , , , , pontok helyben maradnak. Az , , , pontok inverz képét jelölje rendre , , , . Innen már elég megmutatni, hogy , és egy -től különböző pontban találkoznak. Ez azzal ekvivalens, hogy a három kör koaxiális, ami pedig ekvivalens azzal, hogy a középpontjaik kollineárisak. A három középpont kollineáris elhelyezkedését komplex számok segítségével bizonyítjuk, ahol a beírt kört tekintjük egységkörnek. Legyenek , , , , , , , , az , , , , , , , , pontoknak megfelelő komplex számok. Az érintők metszéspontjára vonatkozó összefüggés miatt Ebből . Mivel , . Így . Ekkor mivel rajta van a húr egyenesén, . Ebből értékére a | | kifejezés adódik. Következő lépésként számítsuk ki a kör középpontját. Legyen a középpont . A körülírt körre vonatkozó összefüggés alapján | |
Először a számlálóban álló determinánst számítjuk ki. Tudjuk, hogy , mivel és rajta vannak az egységkörön. Másrészt , mivel a szakasz felezőpontja. Ezért . A számlálója így
A nevezője pedig
Így értéke
Ugyanígy a kör középpontja . Ezután számítsuk ki a kör középpontját. Vegyük észre, hogy a beírt kör pontjából húzott átmérőre -ból állított merőleges talppontja. Ezért
Vegyük észre továbbá, hogy A körülírt körre vonatkozó formulát -re alkalmazva kapjuk, hogy | |
Azt kell megmutatnunk, hogy , és kollineárisak. Alkalmazzunk arányú nagyítást, akkor ekvivalens módon azt kell belátnunk, hogy , és kollineárisak. Kiszámítva | | értékét,
Figyelembe véve, hogy | | adódik, hogy | | Vagyis középpontja a és középpontjai által meghatározott szakasz felezőpontja. A három középpont tehát kollineáris, az állítást beláttuk.
Az első nap feladatainak megoldását az októberi számban közöltük. |
|