Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Fridrik Richárd
Füzet:	2019/szeptember, 335 - 338. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Dani kerékpárversenyre készül. Először hegynek felfelé, utána vízszintes terepen, majd lejtőn lefelé hajtja a biciklit, ezután visszafelé ugyanezen az útvonalon hajt végig. Lejtőn lefelé $60\frac{\text{km}}{\text{h}}$, vízszintes terepen $40\frac{\text{km}}{\text{h}}$, míg hegynek felfelé $20\frac{\text{km}}{\text{h}}$ állandó sebességgel képes haladni. Az odafele utat 1,75 óra alatt, míg a visszafele utat 2,25 óra alatt tette meg. Milyen hosszúak az egyes útszakaszok, ha oda-vissza összesen 130 km-t biciklizett? (Közben sehol sem állt meg, a visszafordulás időveszteség nélkül zajlódik le.)   (13 pont)   2. Tekintsük a következő állításokat. $A$: Meg tudunk úgy adni végtelen sok prímet, hogy bármely kettő összege ne legyen prím. $B$: Ha az $a_n^2$ sorozat konvergens, akkor $a_n$ is konvergens. $C$: Ha öt különböző természetes szám összege osztható öttel, akkor öttel osztva különböző maradékot adnak. $a)$ Döntsük el, hogy igazak vagy hamisak az állítások. Válaszainkat indokoljuk.   (8 pont) $b)$ Fogalmazzuk meg a $C$ állítás megfordítását. Döntsük el, hogy igaz vagy hamis az állítás megfordítása. Válaszunkat indokoljuk.  (4 pont)   3. $a)$ Döntsük el, hogy az implikáció asszociatív művelet-e, azaz tetszőleges $A$; $B$; $C$ kijelentések esetén fennáll-e, hogy $\left(A\to B\right)\to C=A\to \left(B\to C\right)$.  (4 pont) $b)$ Határozzuk meg azon $P\left(x;y\right)$ pontok halmazát a derékszögű koordinátarendszerben, amelyek koordinátáira igaz, hogy ${PA}^2+{PB}^2=22$, ahol $A\left(1;2\right)$ és $B\left(3;0\right)$.   (8 pont)   4. Legyen $A$ a $2^x+2^{1-x}\le 3$ egyenlőtlenség megoldáshalmaza, $B$ pedig az alábbi két függvény értékkészletének közös része: $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\frac{2}{3}\cdot \text{sin}\left(2019\pi x\right)\text{és}g\left(x\right)={4x}^2-4x+\frac{3}{2}\mathrm{.}}\end{array}$ $a)$ Határozzuk meg az $A$ halmazt.  (5 pont) $b)$ Határozzuk meg a megadott függvények értékkészletét és a $B$ halmazt.   (7 pont) $c)$ Hány eleme van az $\left(A\setminus B\right)\cap \text{Z}$ halmaznak, ahol $\text{Z}$ az egész számok halmazát jelöli?  (2 pont)     II. rész     5. $a)$ Egyik este Anna, Bea, Csilla, Dóra és Emese elmentek vacsorázni a közeli pizzázóba. Mindannyian másféle pizzát rendeltek. A pincér még új, így a rendelt ételeket véletlenszerűen osztotta ki a lányoknak (de azokat hozta ki, amiket rendeltek). Jelölje $X$ azt a valószínűségi változót, amely azt adja meg, hogy hányan kapták a saját rendelésüket. Határozzuk meg $X$ várható értékét.  (8 pont) $b)$ Oldjuk meg az alábbi egyenletet a pozitív egész számok halmazán: $\begin{array}{c}{\displaystyle 2^n-1=m^2\mathrm{.}}\end{array}$ (8 pont)   6. $a)$ Egy derékszögű háromszög beírt és köré írt körének sugarát jelölje $r$ és $R$. Mekkorák a háromszög oldalai, ha tudjuk, hogy $r+R=31$ és $rR=150$?  (8 pont) $b)$ Egy szabályos ötszög mindegyik oldalát kiszínezzük három adott szín valamelyikével. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha két színezést nem tekintünk különbözőnek, ha forgatással egymásba vihetők?  (8 pont)   7. $a)$ A lappföldi Mikulásnak két rénszarvasa van: Vágta és Éppenhogycsak. Ha valamelyik nap Vágta egyedül $x$ sebességgel ($x>1)$ húzná a szánt, akkor Éppenhogycsakot melléfogva az még $1/x$ sebességet tud hozzáadni. A Mikulás már öreg, emiatt ijedős. Minél gyorsabban megy a szán, annál többször fogja vissza az állatokat. A precíz mérések szerint, ha Vágta $x$ sebességgel húzná a szánt, akkor ez éppen $\text{ln}x$ sebességcsökkenést eredményez. Egyszer egy ellenőrzésnél azzal vádolják meg a Mikulást, hogy lassan hajtott. Lappföldön a lassúhajtás határa $7/4$. Meg tudja-e védeni magát a Mikulás? (Használjuk fel, hogy $\left(\text{ln}x\right)\text{'}=\frac{1}{x}$.)  (9 pont) $b)$ A sakk egy érdekes változata az ún. Fischer random sakk, melyet Robert Fischer amerikai világbajnok hozott létre 1996-ban. A lényegi eltérés a tisztek (király (K), vezér (V), 2 bástya (B), 2 huszár (H), 2 futó (F)) elhelyezkedésében rejlik. Az alapállás szabályai: $•$ A király a bástyák között foglal helyet. $•$ A futók ellentétes színű mezőn állnak. A felsorolt tiszteket az alábbi $1\times 8$-as táblázatba kell elhelyezni (az ábrán egy helyes kitöltés látható):     Az azonos minőségű tisztek között (pl. két huszár stb.) csak a futóknál van megkötés arra, hogy szükségszerűen különböző színen kell állniuk. Mutassuk meg, hogy 960 megengedett alapállás lehetséges a Fischer random sakkban.  (7 pont)   8. $a)$ Egy tizenkét elemű, egész számokból álló mintából ismerünk hét értéket: 4; 4; 4; 5; 7; 9; 13. Tudjuk, hogy a minta egyetlen módusza 5 és a minta átlagának szórás sugarú környezete három tizedesjegyre kerekítve $\left]\overline{x}-\sigma ;\overline{x}+\sigma \right[=\left]3\mathrm{,}292;8\mathrm{,}708\right[$. Határozzuk meg a minta hiányzó öt elemét.  (8 pont) $b)$ Egyenlő szárú háromszög szára 13 cm, alapja 24 cm. Számítsuk ki a háromszög súlypontjának a háromszög köré írható kör középpontjától való távolságát.   (8 pont)   9. $a)$ Bence nemrég tanulta az iskolában a szinusztételt és a koszinusztételt. Sajnos rosszul emlékezett rájuk és azokat az alábbi módon jegyezte meg (a jelölések a szokásosak): $\begin{array}{c}{\displaystyle c^2=a^2+b^2+2ab\cdot \text{sin}\gamma \text{és}\frac{a}{b}=\frac{\text{cos}\alpha }{\text{cos}\beta }\mathrm{.}}\end{array}$ Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyre igazak a Bence által megtanult összefüggések?  (7 pont) $b)$ Határozzuk meg az $a$; $b$; $c$ egész paraméterek értékét úgy, hogy az $f\left(x\right)=a{x}^2+bx+c$ egyenletű parabola az alábbi feltételek mindegyikét teljesítse. 1. $f\text{'}\left(3\right)=-11$. 2. $\underset{-1}{\overset{1}{\int }}f\left(x\right)\text{d}x=\frac{2}{3}$. 3. Csúcspontja illeszkedik az $y=\frac{1}{2}x+1$ egyenletű egyenesre.  (9 pont)