A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész
1. Dani kerékpárversenyre készül. Először hegynek felfelé, utána vízszintes terepen, majd lejtőn lefelé hajtja a biciklit, ezután visszafelé ugyanezen az útvonalon hajt végig. Lejtőn lefelé , vízszintes terepen , míg hegynek felfelé állandó sebességgel képes haladni. Az odafele utat 1,75 óra alatt, míg a visszafele utat 2,25 óra alatt tette meg. Milyen hosszúak az egyes útszakaszok, ha oda-vissza összesen 130 km-t biciklizett? (Közben sehol sem állt meg, a visszafordulás időveszteség nélkül zajlódik le.) (13 pont)
2. Tekintsük a következő állításokat. : Meg tudunk úgy adni végtelen sok prímet, hogy bármely kettő összege ne legyen prím. : Ha az sorozat konvergens, akkor is konvergens. : Ha öt különböző természetes szám összege osztható öttel, akkor öttel osztva különböző maradékot adnak. Döntsük el, hogy igazak vagy hamisak az állítások. Válaszainkat indokoljuk. (8 pont) Fogalmazzuk meg a állítás megfordítását. Döntsük el, hogy igaz vagy hamis az állítás megfordítása. Válaszunkat indokoljuk. (4 pont)
3. Döntsük el, hogy az implikáció asszociatív művelet-e, azaz tetszőleges ; ; kijelentések esetén fennáll-e, hogy . (4 pont) Határozzuk meg azon pontok halmazát a derékszögű koordinátarendszerben, amelyek koordinátáira igaz, hogy , ahol és . (8 pont)
4. Legyen a egyenlőtlenség megoldáshalmaza, pedig az alábbi két függvény értékkészletének közös része: | |
Határozzuk meg az halmazt. (5 pont) Határozzuk meg a megadott függvények értékkészletét és a halmazt. (7 pont) Hány eleme van az halmaznak, ahol az egész számok halmazát jelöli? (2 pont)
5. Egyik este Anna, Bea, Csilla, Dóra és Emese elmentek vacsorázni a közeli pizzázóba. Mindannyian másféle pizzát rendeltek. A pincér még új, így a rendelt ételeket véletlenszerűen osztotta ki a lányoknak (de azokat hozta ki, amiket rendeltek). Jelölje azt a valószínűségi változót, amely azt adja meg, hogy hányan kapták a saját rendelésüket. Határozzuk meg várható értékét. (8 pont) Oldjuk meg az alábbi egyenletet a pozitív egész számok halmazán:
6. Egy derékszögű háromszög beírt és köré írt körének sugarát jelölje és . Mekkorák a háromszög oldalai, ha tudjuk, hogy és ? (8 pont) Egy szabályos ötszög mindegyik oldalát kiszínezzük három adott szín valamelyikével. Hányféleképpen tehetjük ezt meg, ha két színezést nem tekintünk különbözőnek, ha forgatással egymásba vihetők? (8 pont)
7. A lappföldi Mikulásnak két rénszarvasa van: Vágta és Éppenhogycsak. Ha valamelyik nap Vágta egyedül sebességgel ( húzná a szánt, akkor Éppenhogycsakot melléfogva az még sebességet tud hozzáadni. A Mikulás már öreg, emiatt ijedős. Minél gyorsabban megy a szán, annál többször fogja vissza az állatokat. A precíz mérések szerint, ha Vágta sebességgel húzná a szánt, akkor ez éppen sebességcsökkenést eredményez. Egyszer egy ellenőrzésnél azzal vádolják meg a Mikulást, hogy lassan hajtott. Lappföldön a lassúhajtás határa . Meg tudja-e védeni magát a Mikulás? (Használjuk fel, hogy .) (9 pont) A sakk egy érdekes változata az ún. Fischer random sakk, melyet Robert Fischer amerikai világbajnok hozott létre 1996-ban. A lényegi eltérés a tisztek (király (K), vezér (V), 2 bástya (B), 2 huszár (H), 2 futó (F)) elhelyezkedésében rejlik. Az alapállás szabályai:
| A király a bástyák között foglal helyet. |
| A futók ellentétes színű mezőn állnak. |
A felsorolt tiszteket az alábbi -as táblázatba kell elhelyezni (az ábrán egy helyes kitöltés látható):
Az azonos minőségű tisztek között (pl. két huszár stb.) csak a futóknál van megkötés arra, hogy szükségszerűen különböző színen kell állniuk. Mutassuk meg, hogy 960 megengedett alapállás lehetséges a Fischer random sakkban. (7 pont)
8. Egy tizenkét elemű, egész számokból álló mintából ismerünk hét értéket: 4; 4; 4; 5; 7; 9; 13. Tudjuk, hogy a minta egyetlen módusza 5 és a minta átlagának szórás sugarú környezete három tizedesjegyre kerekítve . Határozzuk meg a minta hiányzó öt elemét. (8 pont) Egyenlő szárú háromszög szára 13 cm, alapja 24 cm. Számítsuk ki a háromszög súlypontjának a háromszög köré írható kör középpontjától való távolságát. (8 pont)
9. Bence nemrég tanulta az iskolában a szinusztételt és a koszinusztételt. Sajnos rosszul emlékezett rájuk és azokat az alábbi módon jegyezte meg (a jelölések a szokásosak): | | Mekkorák annak a háromszögnek a szögei, amelyre igazak a Bence által megtanult összefüggések? (7 pont) Határozzuk meg az ; ; egész paraméterek értékét úgy, hogy az egyenletű parabola az alábbi feltételek mindegyikét teljesítse. 1. . 2. . 3. Csúcspontja illeszkedik az egyenletű egyenesre. (9 pont) |
|