Kezdőlap


Cím:	Olimpiai előkészítő feladatok
Szerző(k):	Láng Hugó
Füzet:	1979/április, 170. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Legyenek egy háromszög oldalai $a \leq b \leq c$ . Határozzuk meg az $\frac{{(a + b + c)}^{2}}{b \cdot c}$ lehető legjobb alsó és felső korlátját. Milyen háromszög esetén veszi fel a kifejezés ezeket az értékeket?

2. Az

a_{1}, a_{2}, ..., a_{2^{n}}

számsorozat minden elemének abszolút értéke

1

. Képezzük ezekből az

a_{1} \cdot a_{2}, a_{2} \cdot a_{3}, ..., a_{2^{n}} \cdot a_{1}

sorozatot, majd ebből ugyanilyen módon újabbat. Mutassuk meg, hogy legfeljebb

2^{n}

lépésben olyan sorozathoz jutunk, melynek minden eleme

1

3. Adott

n

darab

1

abszolút értékű szám:

a_{1}, a_{2}, ..., a_{n}

. Bizonyítsuk be, hogy

\begin{matrix} 2 sin [\frac{π}{4} (a_{1} + \frac{a_{1} a_{2}}{2} + \frac{a_{1} a_{2} a_{3}}{2^{2}} + \frac{a_{1} a_{2} ... a_{n}}{2^{n - 1}})] = a_{1} \sqrt[]{2 + a_{2} \sqrt[]{2 + ... + a_{n} \sqrt[]{2}}} . \end{matrix}

4. Mutassuk meg, hogy bármilyen

n \geq 4

egész számra

n!

és

(n + 1)!

között mindig van legalább egy olyan egész szám, amely

n^{3}

-nal osztható!

5. Az

a_{1}, a_{2} ...

számsorozatot a következő rekurzív formulával definiáljuk:

\begin{matrix} a_{1} = A, a_{2} = B, a_{n} = \frac{a_{n - 1}^{2} + C}{a_{n - 2}} (n > 2) . \end{matrix}

Bizonyítsuk be, hogy ha

A, B

és

\frac{A^{2} + B^{2} + C}{A \cdot B}

egész számok, akkor a sorozat minden tagja egész szám!

6. Mutassuk meg, hogy a

9 k x^{2} (x - 1) + t (9 x - 1) = 0

egyenlet gyökei (

k \neq 0, k

és

t

valós számok) nem lehetnek egymástól különböző pozitív valós számok!

7. Adott a térben

2 n