Kezdőlap


Cím:	Mérőlapok felvételire IV.
Szerző(k):	Gyapjas Ferenc
Füzet:	1979/április, 156. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

1. Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert:

\begin{matrix} x^{4} + x^{2} y^{2} + y^{4} = 481, \\ x^{2} + x y + y^{2} = 37. \end{matrix}

(13 pont)

2. Egy egyenes folyópart mentén egy téglalap alakú területet kerítünk be három oldalról. (A téglalap egyik oldala a folyópart, s ez kerítetlen marad.) Maximálisan mekkora terület keríthető be, ha

n

számú

1

méteres kerítéselem áll rendelkezésünkre?
(15 pont)

3. Bizonyítsuk be, hogy nincs olyan

x

valós szám, amelyre

\begin{matrix} sin x \cdot sin 2 x \cdot sin 3 x = 1. \end{matrix}

(14 pont)

4. Az

F_{0} = 0, F_{1} = 1, F_{i + 1} = F_{i} + F_{i - 1} (i = 1, 2, 3, ...)

rekurzív definícióval megadott sorozatot Fibonacci-sorozatnak nevezik. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív

n

szám egyértelműen előállítható

\begin{matrix} n = F_{i_{1}} + F_{i_{2}} + ... F_{i_{k}} \end{matrix}

alakban, ahol

i_{1} > i_{2} + 1, i_{2} > i_{3} + 1, ... i_{k - 1} > i_{k} + 1, i_{k} > 1.

(18 pont)