Cím: Az érettségi vizsgálatok tételei.
Füzet: 1897/szeptember, 12 - 15. oldal  PDF  |  MathML 

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

E rovatban ezentúl a hazai középiskolák érettségi vizsgálatain kitűzött feladatok közül csakis az érdekesebbeket közöljük. Hogy pedig e rovatot változatosabbá tegyük, az osztrák és külföldi középiskolák érettségi tételei közül is közöljük a tanulságosabbakat.*

Osztrák értesítőkből (1).

Egy derékszögű egyenközlap alapjának területe 48cm2, oldalfelülete 768cm2, egyik átlója 26 cm. Mekkorák az élek és mekkora a köbtartalom?
 
398. Egy háromszögből adva van két szög: α=43∘36'10'', β=11∘25'8'', továbbá az a és b oldalaknak a harmadik oldalra való vetületeinek külömbsége: p-q=d=78. Mekkora a háromszög területe?
 
399. Egy r sugarú félgömb alapja fölé egyenes kúpot emelünk, melynek magassága 2r. Számítsuk ki a két testtel közös testrész köbtartalmát.
 
400. Ha egy ellipsis két érintőjének A metszési pontját az egyik gyújtóponttal G-vel összekötjük, úgy az AG egyenes felezi a KGH szöget, ha K és H pontokban érintik az érintők az ellipsist. Bizonyítsuk be e tételt, ha az ellipsis egyenlete 9x2+25y2=225, az érintési pontok coordinátái: x1=3,y1>0 és x2=-4,y2>0.
 
Bécs. Akadémiai főgymn. 1896.
 

401. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
y+5x+xy+5=507
x+2xy+y=9
 

Három gömb kívülről érinti egymást. Egy negyedik gömb egyik főköre a három érintési ponton megy át. Mekkora e gömb sugara ρ és mekkora szög alatt látszanak a gömbök a negyedik gömb középpontjából? A gömbök sugarai: r1=226,7,r2=144,6,r3=185,5.
 

Egy szabályos nyolczszög egyik oldala körül forog; mekkora a keletkező forgási test köbtartalma, ha a nyolczszög mindegyik oldala a?
 

Állítsuk fel azon pontok mértani helyeinek egyenletét, melyek két adott ponttól egyenlő távolságban vannak. Az adott pontok coordinátái: x1=2,y1=4;x2=4,y2=6. Igzaoljuk a megfejtést szerkesztés által.
 
Bécs. Teréziánum. 1896.
 

Mennyi pénzünk lesz a 10. év végén, ha az első év elején 200 frtot és minden következő év elején 30 frttal többet fizetünk be? p=4.
 
402. Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
cotx+tany=2
sinx⋅cosy=14.
 

Egy körczikkből ‐ melynek szöge 120∘ és területe 462dm2 ‐ kúpot készítünk. Mekkora azon gömb köbtartalma, mely a kúp palástját egy 2 dm sugarú körben érinti?
 

Számítsuk ki azon négyszög oldalait és szögeit, melynek oldalai az x281+y263=1 egyenletű ellipsist és az x2+y2=64 egyenletű kört érintik?
 
Bécs. Ferencz-József főgymn. 1896.
 

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
4logx+3logy=43
4logx⋅3logy=432.

 
403. Adva van egy körczikk kerülete u; mekkorának kell a sugárnak lennie, hogy a körczikk területe a lehető legnagyobb legyen és mekkora ezen legnagyobb terület? (A feladat megoldandó 1. általánosan és 2. ha u=8m.)
 

Két kör centrálisa c; a külső közös érintők α, a belsők β szög alatt metszik egymást. Mekkorák a körök sugarai? (Általánosan és ha c=714,α=36∘8',β=104∘12' .)
 

ABCD derékszögű négyszöben AB=a,CB=b. AB tengelye egy parabolának, melynek csúcsa A-ban van s mely C ponton megy át; BA tengelye egy másik parabolának, mely D ponton megy át s melynek csúcsa B-ben van. Mekkora a két parabola és az AB egyenes által határolt terület?
 
Bécs. XII. ker. állami főgymn. 1896.
 

Egy mértani haladvány első öt tagjának összege 242, a második és negyedik tag összege 60; melyik e haladvány?
 
404. Egy háromszög egyik középvonala k=5 dm; e középvonal az oldalakkal φ=47∘16' és ϕ=25∘38'-nyi szögeket zár be; mekkora a háromszög területe?
 

Egy r=3 dm sugarú kör kerületéből az átmérővel egyenlő hosszú ívet vágunk le. Ha ezen ív két végpontját a kör középpontjával összekötjük, két körczikket kapunk, melyeknek egyike alapja, másika pedig palástja egy egyenes kúpnak. Mekkora a kúp köbtartalma?
 

16x2+25y2=400 egyenletű ellipsis M pontjában, melynek coordinátái x=4,y>0, érintőt rajzolunk, mely a csúcspontokban rajzolt érintőket N és P pontokban metszi. Keressük az NP mint átmérő fölé rajzolt körnek egyenletét; mely pontokban metszi e kör az abscissa tengelyt?
 
Bécs. II. ker. áll. főreáliskola. 1896.
 

Oldjuk meg a következő egyenletrendszert:
3x2-8xy+2y2=-53
x2-4xy+7y2=57.
 

Egy ellipsis fél nagy tengelye 14 cm, lineáris excentricitása 2 cm. Mekkorák azon vezető sugarak, melyek egy 14∘15'-nyi szöget zárnak be?
 

Egy ρ=5,34813 m sugarú gömb köré egyenes csonka kúpot írunk. Mekkora e csonkakúp köbtartalma, ha a fedőlap területe fele az alap területének?
 

Keressük azon kör egyenletét, melynek középpontja az ordinata tengelyen fekszik, melynek sugara r=5 s mely a 3x-4y-17=0 egyenletű egyenest érinti.
 
Bécs. III. ker. állami főreáliskola. 1896.
 

Egy gömbi czikk tengelymetszetének középponti szöge 123∘51'20''; palástfölülete 13,5387m2. Mekkora a gömbi czikk köbtartalma és összes fölülete?
 
Bécs. III. ker. áll. főgymn. 1896.
 

Keressük azon kör egyenletét, mely a positív abscissa tengelyt és a 4y+3x-13=0 egyenletű egyenest érinti és az x1=1,y1=5 ponton megy át.
 
405. Mekkora azon gömbi czikk középponti szöge, melynek palástfölülete egyenlő a gömbi fölületével.
 
Bécs. I. ker. állami főreáliskola 1896.
 

Keressük azon legkisebb számot, mely 17-tel osztva maradékul 1-et, 19-czel osztva maradékul 3-at és 23-mal osztva maradékul 5-öt ad.
 

Keressük a következő körök hatványközéppontját (lásd K.M.L.IV. évfolyam 135. l.).
(x-3)2+(y-1)2=49
(x+2)2+(y-4)2=9
(x-6)2+(y-8)2=25.

 
Bécs. VI. ker. állami főgymn. 1896.

 
406. Adva van egy ellipsis egyenlete: 16x2+25y2=400 és egy kör egyenlete: x2+y2=20. Határozzuk meg a két görbe közös érintőinek egyenletét, és számítsuk ki a szögeket, melyekben egymást a görbék metszik.
 
Bécs. VIII. ker. állami főgymn. 1896.
 

Egy torony keresztje a=299 m-nyi távolságban α szög alatt látszik; e szög megkétszereződik, ha b=150 m-rel közeledünk a toronyhoz. Mily magas a torony?
 

Adva vannak A(0,0) és B(b,0) pontok. Határozzuk meg azon M pont mértani helyét, melyre nézve AM:BM=m:n.
 
Bécs. VI. ker. községi főreáliskola. 1896.
*Csakis a számokkal megjelölt feladatok megoldásait kérjük beküldeni.