Cím:	A 60. Nemzetközi Matematikai Dákolimpia feladatai
Füzet:	2019/szeptember, 324 - 325. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Első nap   1. feladat. Jelölje $\text{Z}$ az egész számok halmazát. Határozzuk meg az összes olyan $f:\text{Z}\to \text{Z}$ függvényt, amelyre minden egész $a$, $b$ esetén teljesül $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(2a\right)+2f\left(b\right)=f\left(f\left(a+b\right)\right)\mathrm{.}}\end{array}$   2. feladat. Az $ABC$ háromszögben $A_1$ a $BC$ oldalon, $B_1$ pedig az $AC$ oldalon fekszik. Legyenek $P$ és $Q$ rendre az $A{A}_1$ és $B{B}_1$ szakaszok olyan pontjai, amelyekre $PQ$ párhuzamos $AB$-vel. Legyen $P_1$ a $P{B}_1$ egyenes egy olyan pontja, amire $B_1$ a $P{P}_1$ szakasz belsejében fekszik, és $P{P}_{1}C\sphericalangle =BAC\sphericalangle$. Hasonlóan legyen $Q_1$ a $Q{A}_1$ egyenes egy olyan pontja, amire $A_1$ a $Q{Q}_1$ szakasz belsejében fekszik, és $C{Q}_{1}Q\sphericalangle =CBA\sphericalangle$. Bizonyítsuk be, hogy a $P$, $Q$, $P_1$, $Q_1$ pontok egy körön fekszenek.   3. feladat. Egy szociális hálózatnak $2019$ tagja van, közülük némely párok barátai egymásnak. Ha $A$ barátja $B$-nek, akkor $B$ is barátja $A$-nak. A következő típusú esemény előfordulhat többször egymás után, egy időben mindig csak egy ilyen esemény történik:   Ha $A$, $B$, $C$ olyanok, hogy $A$ barátja $B$-nek is és $C$-nek is, de $B$ nem barátja $C$-nek, akkor barátságot változtathatnak úgy, hogy $B$ és $C$ most már barátai egymásnak, $A$ és $B$, valamint $A$ és $C$ barátsága viszont megszűnik. Az összes többi barátság változatlan marad.   Kezdetben 1010 olyan tag van, amelyek mindegyikének pontosan 1009 barátja van, és 1009 olyan tag, amelyek mindegyikének pontosan 1010 barátja van. Bizonyítsuk be, hogy létezik a fenti típusú eseményeknek egy olyan sorozata, amelyek végén minden tagnak legfeljebb egy másik tag a barátja.   Második nap   4. feladat. Határozzuk meg az összes olyan, pozitív egészekből álló $\left(k\mathrm{,}n\right)$ számpárt, amire $\begin{array}{c}{\displaystyle k!=\left(2^n-1\right)\left(2^n-2\right)\left(2^n-4\right)\cdots \left(2^n-2^{n-1}\right)\mathrm{.}}\end{array}$   5. feladat. Bath Bankja érméket bocsát ki, melyeknek egyik oldalán $H$, másik oldalán $T$ betű látható. Harrynek $n$ ilyen érméje van, amelyek előtte balról jobbra, egy sorban vannak elrendezve. Harry ismételten végrehajtja a következő műveletet: ha pontosan $k>0$ olyan érme van, amin $H$ van felül, akkor megfordítja a balról $k$-adik érmét; máskülönben minden érmén $T$ van felül, és ekkor Harry megáll. Például $n=3$ esetén a $THT$ sorozatból indulva $THT\to HHT\to HTT\to TTT$ a lépések sorozata, ami három lépés után megáll. $\left(a\right)$ Bizonyítsuk be, hogy bármi legyen is a kiindulási sorozat, Harry véges sok lépés után megáll. $\left(b\right)$ Minden $C$ kiindulási sorozatra jelölje $L\left(C\right)$ azt a lépésszámot, ahány lépés után Harry megáll. Például $L\left(THT\right)=3$ és $L\left(TTT\right)=0$. Határozzuk meg $L\left(C\right)$ átlagos értékét, amint $C$ végigfut a $2^n$ lehetséges kiinduló sorozaton.   6. feladat. A hegyesszögű $ABC$ háromszög, amiben $AB\ne AC$, beírt körének a középpontja $I$. Az $ABC$ háromszög $\omega$ beírt köre a $BC$, $CA$, $AB$ oldalakat rendre a $D$, $E$, $F$ pontokban érinti. A $D$-ből $EF$-re bocsátott merőleges egyenes és az $\omega$ kör második metszéspontja $R$. Az $AR$ egyenes és az $\omega$ kör második metszésponta $P$. A $PCE$ és a $PBF$ háromszögek körülírt köreinek második metszéspontja $Q$. Bizonyítsuk be, hogy a $DI$ és $PQ$ egyenesek az $AI$-ra $A$-ban állított merőleges egyenesen metszik egymást.