Cím: Kapacitások összetett rendszerekben
Szerző(k):  Woynarovich Ferenc 
Füzet: 2019/október, 425 - 433. oldal  PDF file
Témakör(ök): Szakmai cikkek, Egyéb áramkörök

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

 
Kapacitások összetett rendszerekben
 


 
Bevezetés

Idézzünk fel két ismert példát! Az első a síkkondenzátor, melynek a kapacitása (ha a fegyverzetek felülete A, a távolságuk d, és ez elég kicsiny)
C=ε0Ad.(1)
Ez a mennyiség az egyik fegyverzetről a másikra átvitt Q töltés és a töltésátvitel hatására kialakuló U feszültség közötti összefüggést adja meg:
Q=CU.(2)

Másik példánk egy, a térben mindentől távol lévő, önmagában álló, R sugarú vezető gömb, amely esetében
C=4πε0R,(3)
és ez a gömbre (valahonnan) felvitt töltés és a végtelenhez (mint nullához) viszonyított feszültség közötti arányossági tényező.
A kétféle kapacitásfogalom nagyon hasonló, amennyiben egy feszültség (illetve potenciál) és az annak létrehozásához szükséges töltés között teremt kapcsolatot, de azt is látjuk, hogy nem teljesen azonos, hisz az egyikben csak egy vezető test, míg a másikban az elektromos megosztás útján kapcsolatban lévő két test együttes tulajdonságáról van szó. Az alábbiakban a kapacitás fogalmának egy általánosabb tárgyalását adjuk, amelyben mindkét kapacitásértelmezés természetes módon jelenik meg.
 
Töltések és potenciálok

Az egyszerűség kedvéért egy olyan esetet vizsgálunk, amelyben csak két
(F1-gyel és F2-vel jelölt) fémtest (ún. fegyverzet) helyezkedik el a térben, de a megfontolásaink általánosíthatók akárhány fegyverzetre. Arra vagyunk kíváncsiak, milyen összefüggés van az egyes testekre felvitt töltés és a rajtuk kialakuló potenciál között. Először azt gondoljuk meg, mi történik, ha csak az F1 fémre viszünk fel töltést! Tudjuk, hogy a statikus esetben a töltések úgy oszlanak el a fémek felületén, hogy azok ekvipotenciális felületek legyenek, másképp mondva: úgy, hogy a töltésekből kiinduló elektromos tér erővonalai a fémek felületéről merőlegesen induljanak ki, illetve merőlegesen érkezzenek oda. Az F1-re felvitt töltések és az F2-n a megosztás miatt szétvált töltések sűrűsége tehát olyan, hogy az elektroszatikus tér eleget tegyen ennek a merőlegességi feltételnek.
Nyilván igaz, hogy ha az F1 fegyverzetre mondjuk x-szer nagyobb töltést viszünk fel, mint korábban, a kialakuló töltéssűrűségek az előzőhöz hasonlóak, de mindenhol x-szer nagyobbak lesznek. Ennek eredményeként az elektromos térerősség és a potenciál is mindenhol, így a fémek felületén is x-szer akkora lesz, mint az előző esetben. Eszerint a töltés és a végtelenhez viszonyított feszültségek, vagyis a potenciálok között egyenes arányosság áll fenn:
U1(1)=a11Q1,U2(1)=a21Q1.(4)

 
Megjegyzés. A fenti képlettel kapcsolatban látnunk kell, hogy az a21 nem lehet nulla, hisz az F1-en levő töltések tere csak a végtelenben tűnik el, így biztos, hogy az F1-es test terében elhelyezkedő F2 fegyverzet potenciálja U2(1)0. Az a21 együttható konkrét értéke mindkét fegyverzet adataitól függ. Hasonlóan az a11 arányossági tényező sem csak az 1-es test méretétől, alakjától stb, hanem az F2 adataitól és pozíciójától is függ, hiszen a megosztás miatt annak is van tere, ami hozzájárul U1(1)-hez.

 

Teljesen hasonló gondolatmenettel oda jutunk, hogy ha csak az F2 fegyverzetre teszünk töltést, akkor a kialakuló potenciálok
U1(2)=a12Q2,U2(2)=a22Q2.(5)
Itt a12 és a22 (éppúgy, mint a21 és a11) a két fegyverzet együttesére jellemző mennyiségek.
Végül, ha mindkét fegyverzetre viszünk töltést, akkor a fémek felületén kialakuló töltéssűrűség az első és a második esetnek megfelelő sűrűségek összege kell legyen, mert ez biztosítja azt, hogy az elektromos tér a fémek felületére merőleges. Következésképp az eredő elektromos tér a két esetnek megfelelő tér összege lesz, és ez igaz az egyes testeken kialakuló potenciálokra is (szuperpozíció elve):
U1=a11Q1+a12Q2,U2=a21Q1+a22Q2.(6)
Ez a két összefüggés invertálható:
Q1=c11U1+c12U2,Q2=c21U1+c22U2.(7)
Ebben a két kifejezésben a cij(i,j=1,2) elemek kapacitások (az ún. kapacitásmátrix elemei), amelyek értéke a két testre és azok egymáshoz viszonyított pozíciójára, tehát magára az elrendezésre jellemző.
Ezekkel érdemes kifejezni az aij elemeket:
a11=c22c11c22-c12c21,a12=-c12c11c22-c12c21,a21=-c21c11c22-c12c21,a22=c11c11c22-c12c21.(8)

 
Az energia

További megfontolásainkban fontos szerepe lesz annak, hogy mennyi az elektrosztatikus energiája egy ilyen töltött rendszernek. Ez az energia azonos azzal a munkával, amennyit végeznünk kell ahhoz, hogy a fegyverzetekre töltéseket vigyünk. Ennek kiszámításához tegyük fel, hogy a két fegyverzetet úgy töltjük fel a kívánt potenciálra, hogy a folyamat során a töltések aránya (és ezzel együtt a potenciálok aránya is) mindig ugyanannyi legyen! Ilyenkor mindkét fegyverzet aktuális potenciálja arányos a rá addig felvitt töltéssel, ezért a munka a töltések és az átlagfeszültségek (a végső feszültségek 12 része) szorzataként kapható meg:
W=12Q1U1+12Q2U2.(9)
Ennyi munkát kell végeznünk a fegyverzetek feltöltése során, tehát ennyi lesz a rendszer elektrosztatikus energiája. A töltéseket a feszültségekkel, vagy a feszültségeket a töltésekkel kifejezve
W=12[c11U12+(c12+c21)U1U2+c22U22],(10)
illetve
W=12c22Q12-(c12+c21)Q1Q2+c11Q22c11c22-c12c21.(11)

A rendszer energiája természetesen nem függ attól, hogy hogyan, pl. milyen sorrendben töltjük fel a fegyverzeteket. Erre alapozva belátható,hogy
c12=c21.(12)
(Ennek bizonyítása az F1 függelékben található meg.)
 
Részkapacitások

A cij kapacitások helyett igen praktikus bevezetni az úgynevezett részkapacitásokat a következő módon:
C1=c11+c12,C2=c22+c12,Ck=-c12=-c21.(13)
Ezekkel minden fontos mennyiséget ki tudunk fejezni:
Q1=C1U1+Ck(U1-U2),Q2=C2U2+Ck(U2-U1),(14)
illetve
U1=C2Q1+Ck(Q1+Q2)C1C2+Ck(C1+C2),U2=C1Q2+Ck(Q1+Q2)C1C2+Ck(C1+C2),(15)
és végül az energia
W=12C2Q12+C1Q22+Ck(Q1+Q2)2C1C2+Ck(C1+C2).(16)

A részkapacitások igen jól szemléltethetők az F2 függelékben megadott kép segítségével. Fontos megjegyeznünk, hogy bár a jelölés ezt sugallhatná, de nem igaz, hogy a C1 vagy a C2 csak az F1 vagy F2 fegyverzet tulajdonsága lenne: ezek a mennyiségek is a teljes elrendezést jellemzik.
 
A nagy távolság esete

A térben elhelyezett, töltött fémtestek feszültség- és energiaviszonyainak fent bemutatott, kapacitásokra alapozott leírása akkor könnyíti meg a munkánkat, ha a fegyverzetek távolsága azonos nagyságrendű vagy jóval kisebb, mint a testek mérete. Ellenkező esetben, tehát amikor a testek méreténél a távolságuk jóval nagyobb, a megosztás hatása elhanyagolható. Az egyes fegyverzetek saját kapacitását (azt, ami akkor lenne, ha a test magában állna) ekkor is figyelembe kell venni, de a köztük lévő kölcsönhatás szempontjából a töltések jó közelítéssel egy-egy pontba koncentráltnak tekinthetők.
 
A síkkondenzátor

A számunkra igazán izgalmas esetek közül először azt nézzük meg, hogyan illeszkedik ebbe a képbe egy valóságos (nem ideális) síkkondenzátor. Tegyük fel, hogy a két fegyverzet egyforma, és mondjuk az F1 fegyverzetet feltöltjük úgy, hogy potenciálja U legyen, miközben vigyázunk arra, hogy az F2 fegyverzet potenciálja nulla maradjon. A tapasztalat az, hogy praktikusan ugyanannyi, csak ellenkező előjelű töltés kerül mindkét fegyverzetre, (14) szerint tehát
Q1+Q2=C1U0,(18)
ahonnan a (14) első egyenletéből adódó UQ1Ck0 összefüggés miatt egyenesen következik, hogy
C1(=C2)Ck.(19)

A Ck tényező a kondenzátor kapacitása (amit szabatosan főkapacitásnak neveznek, de ezt az elnevezést szinte senki nem használja), C1 és C2 pedig a szórt kapacitások.
A síkkondenzátor kapacitását, ami tehát Ck, az (1) képlet adja meg. Eszerint ha rögzített nagyságú töltés mellett csökkentjük a d távolságot, akkor növekszik Ck, csökken a fegyverzetek közötti feszültség, és a kondenzátorban tárolt energia is. Határesetben, amikor a fegyverzetek összeérnek, a töltések kiegyenlítik egymást, de mivel ez gyakorlatilag nulla feszültség mellett történik, nincs energiaveszteség. (Természetesen nem sérül az energiamegmaradás tétele: a kondenzátor kezdeti elektrosztatikus energiája a lemezek közelítése során a fékezőerők elleni munkát fedezi.)
 
Töltött gömbök viselkedése

Másik példának tekintsünk két egymáshoz közel, de minden mástól távol lévő gömböt! (A két sugár legyen R1 és R2, a középpontok távolsága D, a felületek legkisebb távolsága pedig d!) A probléma az elektrosztatika mint tudományterület kialakulása óta foglalkoztatja a kutatókat, jelentős részben ki is van dolgozva, de máig tartogat érdekességeket. Ennek legfőbb oka, hogy az általános megoldás nem adható meg zárt alakban, a kapacitások, a töltéseloszlások stb. csak végtelen sorok formájában kaphatók meg, és bármely részlet kiszámítása nem egyszerű feladat. Itt most a rendszer olyan tulajdonságait vizsgáljuk csak, amelyek nem igényelnek különleges matematikai felkészültséget.
A két gömb kapacitása, ha külön-külön egyedül állnának, 4πε0R1 és 4πε0R2 lenne, de valójában C1 és C2 ennél kisebb, és d csökkenésével monoton csökkenő függvény. (Figyelem: Nem igaz az az elterjedt nézet, hogy C1 és C2 aránya a két sugár arányával megegyezne!) A d=0 határesetben mindkettő véges, nem nulla értéket vesz fel, amelyek összege adja a két érintkező gömb együttes kapacitását. Ezzel szemben miközben d0, a Ck kapacitás végtelenhez tart. Ennek az az oka, hogy az egymással szemben lévő felületek egyre közelebb kerülnek egymáshoz, és így a megosztás hatása egyre jobban érvényesülhet. Mivel nem síkok, hanem görbült felületek közelítenek egymáshoz, Ck divergenciája (végtelenhez tartása) lassabb, mint a síkkondenzátor esetében. Értékét az irodalom szerint a
Ck4πε0R1R2R1+R2{12(ln2R1R2(R1+R2)d)+γ}(20)
összefüggés adja meg, amelyben γ egy ismert nagyságú numerikus konstans.
Ck fenti értéke annál pontosabb, minél kisebb a d távolság. A Ck kapacitás végtelenhez tartásának ‐ hasonlóan a síkkondenzátor esetéhez ‐ érdekes következményei vannak. Elsőként vegyük észre: ha a (15) képletek nevezőjében a végtelen naggyá váló Ck(C1+C2) tag mellett a véges értékhez tartó C1C2 tagot elhagyjuk, megállapíthatjuk, hogy
U1U2Q1+Q2C1+C2,(21)
miközben a kettő különbsége
ΔU=U1-U21CkC2Q1-C1Q2C1+C2(22)
szerint tűnik el.
 
Megjegyzés. Ha a két gömböt töltetlen állapotban összeérintjük, és így viszünk fel a rendszerre Q=Q1'+Q2' töltést, akkor az a kialakuló egyensúlyban úgy fog eloszlani a két gömb között, hogy Q1'/C1=Q2'/C2, azaz C1Q2'-C2Q1'=0 legyen, tehát az érintkező gömbök esetében ez tekintendő a stabil töltéseloszlásnak.

 

Tanulságos megvizsgálnunk az energiát is. A (16) kifejezés azonos átalakításokkal az alábbi alakra hozható:
W=12(Q1+Q2)2C1+C2+12C1+C2Ck(C1+C2)+C1C2(C1Q2-C2Q1)2(C1+C2)2.(23)

Rögzített össztöltés mellett W akkor minimális, ha C2Q1-C1Q2=0. Ebből következik, hogy minden olyan töltéseloszlás, amelyre ez nem igaz, instabil azokra a mechanizmusokra nézve, amelyek képesek töltést szállítani a két gömb felülete között. Ilyen mechanizmus lehet pl. a két felület között kialakuló (az F3 függelékben leírt) nagy térerősség miatt átugró szikra, de az is, hogy az érintkezési pontban az ellentétes töltések semlegesítik egymást. Látni kell azonban, hogy a C2Q1=C1Q2 állapot kialakulása során az elektrosztatikus energia nagyon keveset, ideális esetben elhanyagolható mértékben csökken: a folyamat során az energia változása ΔQΔU nagyságrendű, ami annál kisebb, minél kisebb távolság mellett zajlik le a töltéskiegyenlítődés.
Végezetül megjegyezzük, hogy az energia távolságtól való függése következtetni enged a töltött gömbök között fellépő erőkre. Egy ilyen, kicsi d mellett érvényes elemzést mutatunk be az F3 Függelékben.
 
 
Függelék

 
F1. A kapacitásmátrix szimmetriája

Ennek megmutatásához azt használjuk ki, hogy a rendszer energiája nem függhet attól, hogyan (milyen sorrendben) töltjük fel a fegyverzeteket, csak attól függhet, hogy mekkora rajtuk a feszültség (vagy a töltés). Tegyük fel, hogy először az F1 fegyverzetet töltjük fel U1 potenciálúra úgy, hogy az F2 potenciálját nullán tartjuk (F2-t földeljük). Ebben a folyamatban F1-re c11U1 töltést kell vinnünk, az F2-re pedig c21U1 töltés kerül. Ezután megszüntetjük F2 földelését, és feltöltjük úgy, hogy potenciálja U2 legyen, és közben ügyelünk arra, hogy az F1 potenciálja ne változzon. Ehhez, miközben az F2-re a már ott lévőhöz még c22U2 töltést adunk, az F1-re további c12U2 töltést kell vinnünk. A potenciál‐töltés viszonyokat az 1. ábrán szemléltetjük.
 

 
1. ábra
 

(A két fegyverzetre vonatkozó grafikonon a töltéstengelyeken a skála különböző: úgy állítottuk be őket, hogy az összetartozó töltésértékek egymás fölé kerüljenek.) A folyamat során végzett munkát, tehát a töltött rendszer energiáját a sötétebben jelölt részek összterülete adja meg:
W=12c11U12+c12U1U2+12c22U22.
Nyilvánvaló, hogy a testek feltöltését másképp is, pl. a fordított sorrendben is elvégezhetjük. Ekkor
W=12c11U12+c21U1U2+12c22U22
adódik. Mivel az energia nem függhet attól, hogy hogyan töltöttük fel a rendszert, a két érték megegyezik, tehát
c12=c21.

 
F2. A részkapacitások helyettesítőképe

A részkapacitások használata egy igen szemléletes (a mérnöki gyakorlatból kölcsönzött) helyettesítőkép bevezetését teszi lehetővé.
A 2. ábrán jelölt kapacitások ideális kondenzátorok, a sarkok a két fegyverzetet (F1, F2), a földelés pedig a nulla potenciálú helyet, esetünkben a végtelent jelenti. Az egyes töltések értéke
Q1=Q1-Q12,Q2=Q2-Q21,Q12=Ck(C2Q1-C1Q2)C1C2+Ck(C1+C2)=-Q21.


 

2. ábra
 

Természetesen mindennek akkor van értelme, ha az itt szereplő, eddig csak formálisan kezelt C1, C2 és Ck kapacitások pozitívok. Ennek teljesülését viszont könnyű belátni, elég végiggondolni, milyen előjelű töltések kerülnek az egyes fegyverzetekre, ha az egyiket földeljük, a másikat pedig valamilyen feszültségre feltöltjük. Ezt az elemzést az Olvasóra bízzuk.
 
F3. Azonos töltésű gömbök is vonzhatják egymást

Mielőtt ezt az igen meglepő jelenséget tárgyalnánk, érdemes visszatérnünk a feszültségekhez! Fontos észrevétel, hogy bár a (22)-vel adott ΔU feszültség nagyon kicsiny, határesetben el is tűnik, a két gömb között kialakuló elektromos térerősség mégis annál nagyobb, minél kisebb a gömbök távolsága. A térerősség átlagos értéke a legközelebbi pontok között az EΔU/d kifejezéssel becsülhető, és ez, ha C2Q1C1Q2, akkor végtelenhez tart. (Ez a logaritmusfüggvény azon tulajdonságának köszönhető, hogy az ln(1/d) végtelenhez tart, a dln(1/d) kifejezés viszont nullához közelít, ha d0.) Ez fizikailag úgy értelmezhető, hogy a C2Q1=C1Q2 esetet kivéve, nagyon kicsiny d távolság mellett az elektromos megosztás miatt akkor is ellentétes előjelű töltések ülnek a felületek legközelebbi pontjai környékén, ha Q1 és Q2 előjele azonos. Sőt, mi több, az ellentétes töltéseknek megfelelő töltéssűrűség a távolság csökkenésével egyre kisebb felületre koncentrálódik.
Az alábbiakban megmutatjuk, hogy a két gömb között (a Q1/C1=Q2/C2 kiegyenlített esetet kivéve) mindig vonzás alakul ki, ha a gömbök elég közel kerülnek egymáshoz. Ez közismert, ha a két töltés ellentétes előjelű, vagy az egyikük nulla, de meglepő, ha a töltések azonos előjelűek! A jelenség oka az, hogy ‐ ahogy már említettük ‐ a gömbök egymáshoz közeli oldalán a megosztás miatt ellentétes, a távoli oldalakon azonos előjelű töltések ülnek, és a nagyon kicsiny távolság miatt az előbbiek vonzása érvényesül. Matematikailag ez abból következik, hogy míg C1 és C2 jó közelítéssel d lineáris függvénye szerint közeledik a d=0 esetén felvett C1(0) és C2(0) értékekhez, addig Ck a (20) képlet szerint végtelenhez tart.
Az energia (23) kifejezéséből indulunk ki. Ez a CkC1,C2 esetnek megfelelő közelítésben tovább egyszerűsödik:
W=12(Q1+Q2)2C1+C2+12Ck(C1Q2-C2Q1)2(C1+C2)2.
(Ez a kifejezés is annál pontosabb, minél nagyobb a Ck kapacitás, azaz minél közelebb van a két gömb egymáshoz.) A második tag viselkedését a Ck végtelenhez tartása határozza meg, ezért itt C1 és C2 helyett vehetjük a C1(0) és C2(0) értékeket. Az első tagban használjuk a
C1+C2C1(0)+C2(0)+ΔC
közelítést, ahol ΔC egy d-vel arányos szám. Mind a számlálót, mind a nevezőt megszorozva a C1(0)+C2(0)-ΔC kifejezéssel, és a (ΔC)2-es tagot már elhanyagolva végül is a
W-W(0)-ΔC2(Q1+Q2C1(0)+C2(0))2+12Ck(Q1C2(0)-Q2C1(0)C1(0)+C2(0))2
kifejezést kapjuk, ahol a W(0) az energia d=0-nál vett értéke.
Tekintsük először a Q1C2(0)=Q2C1(0) kiegyensúlyozott esetet! Ilyenkor a fenti energiakifejezésnek csak az első tagja nem nulla, és nagyon szemléletes, hogy a gömbök azonos előjelű töltése miatt taszítást kell leírnia. Ennek megfelelően ez a tag d növekedésével csökken, azaz ΔC egy d-vel arányos pozitív mennyiség. A második tag a Q1C2(0)Q2C1(0) kiegyenlítetlen helyzetben mindig pozitív, és a távolság növekedésével nő, tehát egy vonzóerőnek felel meg. A kérdés, hogy hogyan viselkedik az összegük. Mivel a logaritmus függvény olyan, hogy dln(1/d)0, ha d0, a két tag hányadosában szereplő ΔCCk nullához tart, ahogy d csökken. Ebből következik, hogy minél kisebb a d távolság, annál nagyobb lesz a második tag az elsőhöz képest, tehát a gömbök viselkedését, ha azok elég közel kerülnek egymáshoz, ez a tag fogja meghatározni. Így elég kis távolság esetén a vonzás érvényesül!
Ennek fényében gondoljuk végig, mi történik, ha két azonos előjellel, mondjuk pozitívan, de nem kiegyenlítetten töltött gömböt egymáshoz közelítünk! Legyen pl. Q2/C2(0)>Q1/C1(0). Elég nagy távolság esetén mindkét felületen a töltéssűrűség mindenhol pozitív, és a gömbök taszítják egymást. A távolságot csökkentve a töltések a külső pólusok felé tolódnak, elég kis távolságnál az F1 belső felületén a töltéssűrűség negatívvá válik, még kisebb távolságnál pedig a különböző töltések közötti vonzás válik dominánssá. Amikor a két gömb összeér, megtörténik a töltéskiegyenlítődés, aminek során a szemben lévő ellentétes töltések eltűnnek, a felületi töltéssűrűség újra mindenhol pozitívvá válik, és a gömbök újra taszítják egymást.
 
Woynarovich Ferenc