Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Varga Péter
Füzet:	2019/április, 201 - 205. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ A 2, 0, 1, 9 számjegyekből az összes lehetséges módon háromjegyű természetes számokat képeztünk. Számítsuk ki annak a valószínűségét, hogy a képzett számok közül egyet véletlenszerűen kiválasztva, annak számjegyei különbözők.   (3 pont)   $b)$ Oldjuk meg a $[\frac{\pi }{2};\pi ]$ halmazon a $\text{sin}\left(x+2019\pi \right)=-\frac{1}{2}$ egyenletet.  (8 pont)     2. A Regéci Vár egy 1300 körül épült vár, ahol II. Rákóczi Ferenc fejedelem a gyermekkorát töltötte. Az 1. ábrán ennek a várnak a XIV. századi állapota látható, a 2. ábrán pedig egy vázlatos képet láthatunk annak tornyáról.   1. ábra   2. ábra A torony az $ABCDEFGH$ téglatestből és az $EFGHJK$ tetőből áll. A tornyot alkotó téglatest külső méretei: $AB=16$ m, $BC=8$ m és $CG=16$ m. $a)$ Mekkora az oldalfalak térfogata, ha a fal vastagsága 2 m és az összes faltérfogatot az ablakok, ajtók és lőrések 5%-kal csökkentik?  (4 pont)   Tudjuk, hogy az $EFGHJK$ tető magassága 5 méter, és az $EJH$ és $FKG$ egyenlő szárú háromszögek síkjai ${50}^{\circ }$-os szöget zárnak be az $EFGH$ síkkal. $b)$ Mekkora a $JK$ szakasz hossza?  (5 pont)   A vár 2018-as rekonstrukciója során gimnazisták több napon keresztül segítették a régészek munkáját. A diákok 60%-a ásásban, 30%-a feltárásban, és 45%-a talicskázásban segített. Egyféle munkát 29-en végeztek, pontosan kétféle munkafolyamatban a tanulók $\frac{1}{5}$ része, mindháromban pedig 7,5%-a vett részt. $c)$ Hány tanuló vett részt összesen a munkálatokban?  (3 pont)     3. $a)$ Oldjuk meg az alábbi egyenlőtlenséget a valós számok halmazán. $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{2}x\le \text{log}{}_{\frac{1}{2}}\left(4x\right)}\end{array}$ (7 pont) $b)$ Oldjuk meg az alábbi egyenletrendszert, ahol $x$ és $y$ nemnegatív valós számok. $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{x}-\sqrt[]{y}}& {\displaystyle =\mathrm{8,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \sqrt[]{xy}}& {\displaystyle =33.}\hfill \end{array}}\}}\end{array}$ (7 pont)   4. A vasúti szaknyelvben űrszelvénynek nevezik a szerelvények akadálytalan áthaladásához szükséges térnek a vágányokra merőleges keresztmetszetét. A nemzetközi szabványok szerint az űrszelvény jellemzően 4 m széles és 5 m magas. Az alakja általában követi a szerelvény alakját, de az egyszerűség kedvéért ez legyen most az ábrán szürkével jelzett téglalap. A vasút egy olyan híd alatt halad át, amelynek acél tartószerkezete parabolaív alakú. A tartószerkezet belső íve (az ábrán vastag fekete vonallal) a sínek szintjén 6 m széles és éppen nem lóg be az űrszelvénybe.   $a)$ Milyen magas a híd tartószerkezete a belső ívének középső, legmagasabb pontján?   (8 pont)   A vasútvonal áthalad egy olyan 24 méter hosszú, egyenes alagúton is, amelynek keresztmetszete parabolaszelet alakú. A parabolaszeletet a koordináta-rendszerben megadott $\begin{array}{c}{\displaystyle y=-\frac{1}{2}{x}^2+8}\end{array}$ egyenletű parabola és az $x$ tengely határolja. A koordináta-rendszerben 1 egység 1 métert jelent. $b)$ Hány m${}^3$ követ kellett kitermelni az alagút építése közben? Válaszunkat egészre kerekítve adjuk meg.  (6 pont)   II. rész     5. $a)$ Határozzuk meg azt a legkisebb, különböző számjegyekből álló 6-jegyű természetes számot, amely a 0; 1; 2; 3; 4; 5 számjegyekből áll és osztható 12-vel.  (5 pont)   $b)$ A $\left\{0;1;2;3;4;5\right\}$ halmaznak hány részhalmaza tartalmaz legalább 1 db páratlan számot?   (3 pont)   $c)$ Adjuk meg az ábrán látható függvény hozzárendelési szabályát, és számítsuk ki a függvény $E\left(-1;-4\right)$ pontjában húzott érintőjének meredekségét.  (8 pont)     6. Tekintsük az $a_n=n^2+2$ sorozatot. $a)$ Határozzuk meg a $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\frac{1}{a_n}$ határértéket. Válaszunkat indokoljuk.  (2 pont)   $b)$ Számítsuk ki az $\left(a_n\right)$ sorozat első száz tagjának összegét.  (4 pont)   Az $\left(a_n\right)$ sorozat egymást követő tagjai segítségével a $b_n=a_{n+1}-a_n$ sorozatot képeztük. $c)$ Igazoljuk, hogy a $\left(b_n\right)$ sorozat számtani sorozat.  (3 pont)   $d)$ Igazoljuk teljes indukcióval, hogy az $\left(a_n\right)$ sorozat $a_1=3$ és $n>1$ esetén megadható az $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=\left(1+\frac{2n-1}{n^2-2n+3}\right)\cdot a_{n-1}}\end{array}$ rekurzióval is.  (7 pont)     7. Az ábrán egy családi ház földszintjének alaprajza látható a benne lévő hét helyiséggel és az ajtókkal együtt. A rajzon feltüntettük a földszint és néhány helyiség méretét is. (A földszinti bejárati ajtó nem szerepel az ábrán, mert a megoldáshoz az nem szükséges.)   $a)$ A házban lévő helyiségeket és az ajtókat egy gráffal szemléltethetjük úgy, hogy a gráf csúcsai $\left(A\mathrm{,}B\mathrm{,}C\mathrm{,}D\mathrm{,}E\mathrm{,}F\mathrm{,}G\right)$ a helyiségeket jelölik, a gráf két csúcsa között pedig pontosan akkor vezet él, ha a két csúcsnak megfelelő helyiség között van ajtó. Rajzoljuk fel a családi ház földszintjének gráfját (a csúcsok azonosításával együtt), és határozzuk meg a felrajzolt gráfban a fokszámok összegét.  (3 pont)   A lakás fölött a földszinttel megegyező méretű padlás, a ház alapterületének negyede alatt pince is van. A család macskája a pince padlóján fele olyan szívesen, a padláson viszont kétszer olyan szívesen van, mint a földszinten. $b)$ Mekkora valószínűséggel fekszik a macska a $C$ jelű szobában?  (8 pont)   $c)$ Legalább hány élt kell kitörölni egy 7 csúcsú teljes gráfból ahhoz, hogy az már ne legyen összefüggő? Állításunkat igazoljuk.  (5 pont)     8. Az alábbi táblázat hazánk napsütéses óráinak átlagos mennyiségét mutatja órában mérve az egyes évszakokban.   ${\displaystyle \begin{array}{|cccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{Tavasz}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ Nyár}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ Ősz}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ Tél }}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{575,2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 845,7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 403}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 180,1 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Határozzuk meg a napsütéses órák mennyiségének átlagát és szórását.   (4 pont)   Az ábrán látható napóra egy magyar városban található. A napóra mutatójának hossza 60 cm, északi irányba áll és a vízszintes talapzattal ${60}^{\circ }$-os szöget zár be. A tavaszi nap-éj egyenlőség idején (2018. március 20-án) a Nap delelési magassága ${42}^{\circ }$ volt. A Nap delelési magasságán a Nap irányába mutató félegyenesnek a vízszintessel bezárt szögét értjük.     $b)$ Milyen hosszú volt ekkor a napóra mutatójának árnyéka a vízszintes alaplapon?  (5 pont)   A napóra felületének koszolódását úgy szeretnék csökkenteni, hogy talapzatra helyezik a napórát. A talapzat egy olyan téglatest alakú betontömb, amelynek fedőlapját és oldallapjait 2 cm vastag márványlappal borítják be. A márvánnyal beborított betontömb alaplapja 1 m oldalhosszúságú négyzet, magassága 80 cm. A márványbevonat készítése közben a megvásárolt mennyiség 10%-a hulladék lesz. $c)$ Mennyibe kerül a betontömb beborításához szükséges márvány, ha 1 m${}^3$ 2 cm vastag márványlap ára 540 000 Ft? Válaszunkat tízezer forintra kerekítve adjuk meg.  (7 pont)     9. Az alábbi táblázatban a gyorshajtás miatt bekövetkezett halálos közúti balesetek száma látható a Nyugat-Dunántúlon 2010-től 2018-ig a megadott időszakban.   Halálos közúti balesetek száma 2010-től 2018-ig 01.01-től 02.28-ig (Nyugat-Dunántúl)   ${\displaystyle \begin{array}{|cccccccccc|}\hline {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Év</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2010}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2011}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2012}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2013}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2014}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2015}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2016}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2017}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 2018 }}\hfill \\ {\displaystyle \text{<span style="font-weight: bold;">Balesetek száma</span>}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 18}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 14}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 15}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 12}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{ 8 }}\hfill \\ \hline\end{array}}$   $a)$ Határozzuk meg a balesetek számának mediánját és terjedelmét.  (3 pont)   Hazánkban a rendőrség rendszámtábla alapján azonosítja a gyorshajtókat. Egy sebességmérés alkalmával az úttesten szabályosan közlekedő autós éppen szemben van a mérést végző készülékkel, amit VÉDÁ-nak hívnak. A 6,5 m magas állványra szerelt sebességmérő berendezésből ${15}^{\circ }$-os lehajlási szögben érkezik az úttestre a lézernyaláb. (A lézernyaláb szélességétől az egyszerűség kedvéért most tekintsünk el.)   $b)$ Érzékeli-e a sebességmérő berendezés az ebben a pillanatban a $P$ ponttól 40 m távolságban az úttest közepén a VÉDA irányába közlekedő személyautót?   (4 pont)   Egy biztosító honlapján a következőket olvashatjuk: ,,Az autóbiztosítással rendelkező ügyfeleink 65 százalékát férfiak, 35 százalékát nők teszik ki. Balesetek szempontjából a férfiak a károkozók 69 százalékát teszik ki. Úgy tűnik, a hölgyek biztonságosabban vezetnek, ugyanis a károkozók körében csak 31 százalékos az arányuk.'' $c)$ Vizsgáljuk meg, hogy (a leírtak alapján) az alábbi két esemény közül melyiknek nagyobb a valószínűsége.  (9 pont) I. Ha hölgy vezeti az autót, akkor ő okozza a balesetet. II. Ha férfi vezeti az autót, akkor ő okozza a balesetet.