Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Németh László (Fonyód)
Füzet:	2019/március, 137 - 139. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket: $a)$ ${\displaystyle \frac{2x}{x-1}}+{\displaystyle \frac{3}{x+1}}={\displaystyle \frac{6}{1-x^2}}$,  (4 pont)   $b)$ $\text{cos}\left(2x\right)+5\text{sin}x=3$,  (5 pont)   $c)$ $|x-2|+x=4\sqrt[]{x}-2$.  (5 pont)   2. Egy háromszögben az egyik oldal kétszer akkora, mint egy másik oldal; az előbbivel szemközti szög ${60}^{\circ }$-kal nagyobb az utóbbival szemközti szögnél. A háromszög területe $2\sqrt[]{3}$ területegység. Mekkorák a háromszög oldalai és szögei?   (12 pont)   3. $a)$ Igaz-e az $A$, $B$ kijelentések tetszőleges logikai értékénél, hogy $\begin{array}{c}{\displaystyle \left(\left(\neg A\to \neg B\right)^A\right)\to B=\text{i}?}\end{array}$ $\left(\neg A=\text{nem }A\mathrm{.}\right)$  (5 pont) $b)$ Igaz-e, ha $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\left(a_n+b_n\right)=0$, akkor $\underset{n\to \infty }{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\left(a_n\right)+\underset{n\to \infty }{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\left(b_n\right)=0$? Válaszunkat indokoljuk.  (3 pont) $c)$ Hány pontja lehet annak az egyszerű, összefüggő gráfnak, amelynek 8 éle van?  (4 pont)   4. $a)$ Hány olyan kétjegyű szám van, amelyben a számjegyek különbségének abszolút értéke legfeljebb 3?  (8 pont) $b)$ Ha ezek közül véletlenszerűen kiválasztunk kettő különböző számot, mennyi a valószínűsége annak, hogy az egyik páros, a másik páratlan lesz?  (5 pont)   II. rész     5. Egy téglalap oldalainak mérőszáma egész szám. Ezt a téglalapot oldalaival párhuzamos egyenesekkel egységnégyzetekre daraboltuk, majd a széleken levőket fehérre, a többit feketére festettük. $a)$ Mekkorák a téglalap oldalai, ha kétszer annyi fekete négyzet lett, mint amennyi fehér?  (9 pont) $b)$ Az $a)$ részben kapott téglalapokból kiválasztottuk azt, amelynek oldalméretei között legkisebb a különbség, majd egy 8 egység sugarú piros körlap közepére erősítettük. Az így kapott eszközt céltáblának használjuk, ahol a telitalálatot az jelenti, ha fehér mezőbe csapódik a lövedék. Feltesszük, hogy minden lövés eltalálja a céltáblát, és annak minden pontját egyenlő valószínűséggel. Mekkora a valószínűsége, hogy Vilmos négy lövésből legalább kétszer telitalálatot ér el? Az eredményt százalékban egészre kerekítve fejezzük ki.  (7 pont)   6. $a)$ Az $f\left(x\right)=\frac{x^2}{4}$ függvény grafikonját tükrözzük az $A\left(2;5\right)$ pontra. Hol metszi az így kapott görbe az $f\left(x\right)$ grafikonját?  (5 pont) $b)$ Húzzunk érintőt a $P\left(3;-4\right)$ pontból $f\left(x\right)$ grafikonjához. Írjuk fel az érintők egyenletét.  (6 pont) $c)$ Mekkora a területe annak a síkidomnak, melyet az $f\left(x\right)$ függvény grafikonja és a $P\left(3;-4\right)$ ponton átmenő érintők zárnak közre?  (5 pont)   7. $a)$ Mutassuk meg, hogy minden $n$ természetes számra igaz, hogy $3\mid n^3+8n$.   (6 pont) $b)$ Oldjuk meg a $p+q^n=2019$ egyenletet, ahol $p$, $q$ pozitív prím, $n$ pozitív egész szám. Használjuk a függvénytáblázatot.  (6 pont) $c)$ Nagy úr éppen most kísérte végig vendégeit a birtokán, amelynek során minden ajtón pontosan egyszer mentek át. A bemutató végén a nappaliban pezsgővel koccintottak a találkozásra. Melyik helyiség a nappali? A helyiségek betűjelének felsorolásával adjunk meg egy lehetséges bejárási sorrendet.  (4 pont)   Nagy úr házának alaprajza     8. Egy kozmetikai cég saját termékét három változatban forgalmazza a hatóanyag töménységétől, a kiszerelés mennyiségétől és a csomagolástól függően. Az $A$ jelű termék 150 g-os, 10% töménységű; a $B$ jelű 100 g-os, 20% töménységű; a $C$ jelű 50 g-os, 30% töménységű. A hatóanyag és az oldószer a termék árában a mennyiségével egyenes arányban jelenik meg; az $A$ és $B$ jelű termék csomagolása kétszer annyiba kerül, mint a $C$ jelű terméké. Az üzletben az $A$ 2275 Ft-ba, a $B$ 2500 Ft-ba, a $C$ pedig 1725 Ft-ba kerül dobozonként. $a)$ Mennyi a hatóanyag és az oldószer grammonkénti ára?  (7 pont) Anna egyik nap észrevette, hogy az üzlet egyik polcán az $A$, $B$, $C$ jelű termékekből annyi van, hogy számuk egy növekvő mértani sorozat három szomszédos elemével egyenlő. A számok átlaga 14, szórása $2\sqrt[]{14}$. $b)$ Hány termék volt a polcon az egyes fajtákból?  (9 pont)   9. A 2 egység élű $ABCDEFGH$ csúcsú kocka $ABCD$ alaplapjának középpontja $P$; $DCGH$ oldallapjának középpontja $Q$; $AEHD$ előlapjának középpontja $R$; a $BF$ él felezőpontja $S$. ($A$-t $E$-vel, $B$-t $F$-fel, $C$-t $G$-vel, $D$-t $H$-val köti össze él.) $a)$ Mekkora az $A$, $P$, $Q$, $R$, $S$ csúcsú poliéder térfogata?  (8 pont) $b)$ Mekkora a poliéderbe írt gömb sugara?  (8 pont)