Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Ratkó Éva
Füzet:	2019/február, 71 - 73. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Lara 3 piros, 4 kék és 3 sárga építőkockával játszik, melyek legfeljebb csak a színükben különböznek egymástól. Az összes építőkockát egymásra téve szeretne egy tornyot építeni. Hányféle színmintázatú tornyot építhet, ha $a)$ piros kockát sem alulra, sem felülre nem tesz; $b)$ legalább két piros elem közvetlenül egymás fölött van?  (12 pont)   2. Az ábra egy $f$ függvény deriváltfüggvényének $\left(f\text{'}\left(x\right)\right)$ egy részletét mutatja. Adjuk meg az alábbi állítások esetén, hogy melyik igaz, melyik hamis, illetve melyiknél nem lehet ezt eldönteni. Válaszunkat indokoljuk. $a)$ A 0 pontban az $f$ függvénynek lokális maximuma van. $b)$ Ha $0\le x\le 2$, akkor $f\left(x\right)\le 0$. $c)$ Az $f$ függvény képe az origóra szimmetrikus a $\left(-\mathrm{1,1}\right)$ intervallumon.     $d)$ Az $f$ függvénynek a $x=2$ helyen inflexiós pontja van.  (12 pont)   3. Krisztiánnak 80 CD-ből álló gyűjteménye van. A CD-k között 48 olyan van, amin több előadó szerepel (T), 24 olyan van, amin egy előadó vagy együttes számai vannak (E), és 8 hangszeres zenei CD-je (H) is van. Sajnos Krisztián nem túl rendes, és az összes CD egy fiókban hever egymás hegyén-hátán. Egyik barátja megkéri, hogy vigyen el a partijára 5 CD-t. Mivel ‐ mint mindig ‐ Krisztián nagy rohanásban van, anélkül, hogy a fiókba nézne, kivesz onnan 5 CD-t. $a)$ Mi a valószínűsége annak, hogy csak hangszerest visz? $b)$ Mi a valószínűsége, hogy az öt CD között lesz legalább egy (T), viszont nem lesz (H)? $c)$ Krisztián rápillantott a kezében lévő CD-kre, és látta, hogy a legfelső (H). Mi a valószínűsége, hogy a többi is az?  (13 pont)   4. Oldjuk meg a következő egyenleteket a valós számok halmazán: $a)$ $2^{4x-1}\cdot 4^{2x+3}=8^x$; $b)$ $\sqrt[]{x-\sqrt[]{x+2}}\le 2$.  (14 pont)   II. rész     5. A Schiller Gimnázium diákjainak mindegyike első idegen nyelvként angolt tanul, és legalább egy, legfeljebb két nyelvet választhatnak a francia, spanyol és latin közül. A 10. évfolyam 72 diákjából 40-en két nyelvet is választottak. 48-an tanulnak franciául, 40-en spanyolul és valahányan latinul. 24-en tanulnak franciául és spanyolul is, és 12-en franciául és latinul. $a)$ Hányan tanulnak összesen latinul; és ebből hányan spanyolul is? Az évfolyamról egy tanulót véletlenszerűen kiválasztva mi annak a valószínűsége, hogy $b)$ franciául és spanyolul, $c)$ franciául vagy spanyolul, $d)$ vagy franciául, vagy latinul (de nem mindkét nyelven) tanul?  (16 pont)   6. Egy parkban néhány, betonból készült, félgömb formájú virágtartót használnak. A félgömbök belső sugara 44 cm, falvastagsága 8 cm, a beton sűrűsége 2,2 g/${\text{cm}}^3$. $a)$ Hány ${\text{m}}^3$ virágföld fér egy ilyen tartóba? $b)$ Milyen nehéz egy tartó? $c)$ A tél beállta előtt mindegyik tartót kiürítik, majd hármat-hármat egymásra helyeznek. Milyen magas egy ilyen rakás?     $d)$ Tavasszal újra kihelyezik a tartókat. Előtte fehérre meszelik a tartók külső részét (a peremet is). Egy-egy virágtartónak mekkora területű része lesz így frissen meszelve (${\text{cm}}^2$-ben)?  (16 pont)   7. Egy téglalap oldalai $a_1=2$ m és $b_1=3$ m. Felosztjuk két téglalapra az ábrán látható módon úgy, hogy az egyik hasonló az elsőhöz, oldalai $a_2$ és $b_2=a_1$. Ezt a második téglalapot is felosztjuk úgy, hogy a kapott két téglalap közül az egyik hasonló hozzá, és ennek a harmadik téglalapnak az oldalai $a_3$ és $b_3=a_2$. Ezt az eljárást folytatjuk. $a)$ Milyen hosszúak az $n$-edik téglalap oldalai? $b)$ Milyen $n$ esetén lesz az $n$-edik és az $\left(n+1\right)$-edik téglalap területének különbsége 1 ${\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cm</span>}}^2$-nél kisebb?     $c)$ Mekkora az első $n$ téglalap kerületének összege?  (16 pont)   8. Egy kalandpark pályáján két fa között egy függőhíd található. Tudjuk, hogy egy ilyen felfüggeszett híd alakja ún. láncgörbe, melynek általános képlete $f\left(x\right)=a\cdot \frac{e^{kx}+e^{-kx}}{2k}$, ahol $a$ és $k$ valós paraméterek. Az 1. ábrán a $k=\mathrm{0,5}$; $k=1$ és $k=2$ értékekhez tartozó láncgörbék láthatók.     1. ábra   2. ábra $a)$ A 2. ábrán a híd vázlatos oldalnézetét látjuk. Határozzuk meg a híd görbéjéhez tartozó két paraméter értékét 3 tizedesjegyre kerekítve (a talajszintet tekintsük az $x$-tengelynek.) $b)$ Határozzuk meg, hogy az $A$ pontban a híd milyen szöget zár be a vízszintessel. $c)$ Reklámfelülelet szeretnének felszerelni a híd egyik oldalára úgy, hogy a felülelet a talajszint, a híd és a két fa zárja közre. Mekkora felület keletkezik így?   (16 pont)   9. $a)$ Hány osztója van a $2018\cdot 2019$, illetve a ${2018}^{2019}$ számnak? $b)$ Mennyi az egyik, illetve a másik szám osztóinak az összege? $c)$ Bizonyítsuk be, hogy ${2018}^{2019}$ legalább $3\cdot 2019$ számjegyből áll. $d)$ Melyik nagyobb: ${2018}^{2019}$ vagy ${2019}^{2018}$?  (16 pont)