Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Szoldatics József
Füzet:	2018/december, 524 - 526. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. $a)$ Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{log}{}_{2^x+1}\left(2^{x+1}+5\right)=2.}\end{array}$ (6 pont) $b)$ A LOTTÓ (90 számból 5 húzása) megváltoztatására készülnek. Két javaslat van. Az egyik 90-ből 4 szám húzását javasolva a régi módon, a másik meg 45 számból 4 húzását javasolja a sorrend figyelembe vételével, de ez lehetővé tenné, hogy ugyanazt a számot többször is ki lehessen húzni, azaz a már húzott számot ismét visszatennék. Azt akarnák elfogadni, amelyik játék esetében kevesebb az esély a telitalálatra. Zsebszámológép nélkül (!) határozzuk meg, hogy melyiket válasszák.   (6 pont)   2. $a)$ Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet, ahol $p$ valós paraméter: $\begin{array}{c}{\displaystyle 3x+2p=5\sqrt[]{px}\mathrm{.}}\end{array}$ (7 pont) $b)$ Egy négyszögnek, mely egyidejűleg érintő és húrnégyszög is, az egyik oldala 5 cm és valamelyik oldaltól kezdve pozitív körbejárás szerint véve az oldalakat mértani sorozat elemeit kapjuk. Mekkora a másik három oldal és milyen négyszögről van szó?  (6 pont)   3. $a)$ Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletrendszert: $\begin{array}{c}{\displaystyle \{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle {\displaystyle \frac{x}{y}}-1}& {\displaystyle =1-{\displaystyle \frac{y}{x}}\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle x^8+2y^6}& {\displaystyle =x^6+2y^8\mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ (6 pont) $b)$ Adjuk meg az összes $p$ pozitív prímszámot, melyre a $\begin{array}{c}{\displaystyle 4x^2-4\left(2p+1\right)x+\left(4p^2-p\right)=0}\end{array}$ egyenlet gyökeinek különbsége egész szám.  (7 pont)   4. $a)$ Oldjuk meg a valós számok halmazán a következő egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{sin}x+\sqrt[]{3}\cdot \text{cos}x=4\cdot \text{sin}x\cdot \text{cos}x\mathrm{.}}\end{array}$ (7 pont) $b)$ Mekkora területet zárnak be az $y=x$ egyenes és a $y=x^3-9x^2+9x$ görbe?   (6 pont)   II. rész     5. Az $y=x^3-6x^2+15x+c$ függvény egyik érintőjének egyenlete $y=6x-5$. Mekkora a $c$ értéke?  (16 pont)   6. A rajz szerint egy 10 m sugarú kör közepén állunk puskával a kézben, amit $8$ darab, 1 m sugarú tölgyfa vesz körbe nem egyenletesen elhelyezkedve (a rajz nem a valós elhelyezkedést mutatja). Véletlenszerűen 5 lövést leadva mekkora annak a valószínűsége, hogy legalább 3 lövés kijut a ,,fa ketrecből''?  (16 pont)       7. Kugli játékhoz könnyen boruló bábut terveztünk. A rajz a keresztmetszeti képét ábrázolja. Veszünk egy $R=30$ cm sugarú gömböt, amiből kivágunk egy a gömb középpontjából induló kúpot úgy, hogy a gömb felületén egy $225\pi {\text{cm}}^2$ felületdarabot vágunk ki. Ezután egy $r=5$ cm sugarú gömböt teszünk a csúcsra úgy, hogy a kis gömb középpontja pont a csúcsra illeszkedjék (persze, előtte a szükséges lyukat kivágjuk). Mekkora az így kapott test térfogata?  (16 pont)       8. Egy nyakláncra medált terveztünk, melyet a rajz mutat, ahol a medált a vastag vonalak határolják. A nagy kör sugara $R=4$ cm, a kicsi kör belülről érinti a nagy kört és sugara $r=2$ cm, amit kivágunk. Hogy ne legyen hegyes a medál, ezért a nagy kör középpontjából szimmetrikusan ${60}^{\circ }$ szög szögtartományában levő részeket is levágjuk. Mekkora a keletkezett medál kerülete, területe?   (16 pont)       9. Az ábra egy földterület rajzát adja, amelyen 4 tulajdonos osztozik. A nyilvántartásban a középső két terület nagysága olvashatatlan. Mekkora a hiányzó két terület nagysága?        (16 pont)