Kezdőlap


Cím:	Jegyzet az előbbi czikkhez
Füzet:	1894/július, 73 - 74. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Jegyzet az előbbi czikkhez.

Jamet, marseilli tanártól.^{$^{*}$} )

Kimutatható, hogy a Lemoine-féle tétel ábrájában az

F N F' N'

négyszög húrnégyszög.
(Ha ugyanis az

F' M

egyenesre felvisszük az

M J = M F

hosszúságot, akkor az

M F' \cdot M F = M N' \cdot M N

egyenlőség értelmében,

M F' \cdot M J

is egyenlő

M N' \cdot M N

-nel. Tehát az

J N F' N'

négyszög húrnégyszög. De

J

és

F

pontok szimmetrikusak az

N N'

egyenesre az

M

pontban merőlegesen húzott egyenesre, mint tengelyre nézve. Ez pedig az

J N F' N'

kör egy átmérője lévén, az

F

pont is az

J N F' N'

körön fekszik, vagyis az

F N F' N'

is húrnégyszög. Szerk.)
Abból, hogy az

F N F' N'

négyszög húrnégyszög és hogy az

O N F' = N' N F

, következik, hogy

O N F' = N' F' F

-fel is; továbbá, hogy az

O N' F' = N N' F

egyenlő egyszersmind az

N F' F

-fel is.
Abból, hogy

F' O N = F' O N'

és

O N \cdot O N' = O F'^{2}

következik, hogy a parabolának, mely

N F'

-et

N

-ben és

N' F'

-et

N'

-ben érinti, gyújtópontja az

O

. Minthogy

F' M

e parabolának egy átmérője, az

N' F' O

szög

= M F' N

szöggel. -Hasonlóképpen látható, hogy

N' F O = M F N

.
Összefoglalva az egészet, azt látjuk, hogy a következő szögegyenlőségek állanak fenn:

\begin{matrix} 1. F O N = F O N' és F' O N = F' O N'; \end{matrix}

\begin{matrix} 2. O N F = F' N N' = F' F N' = M F N; \end{matrix}

\begin{matrix} 3. O N F = F N N' = F F' N' = M F' N; \end{matrix}

\begin{matrix} 4. O N' F' = F N' N = F F' N = M F' N'; \end{matrix}

\begin{matrix} 5. O N' F = F' N' N = F' F N = M F N . \end{matrix}

Nem szükséges említenem, hogy mind e szögegyenlőségek levezethetők bizonyos háromszögek hasonlóságából, ha a következő aránylatokból indulunk ki:

\begin{matrix} \frac{M N}{M F} = \frac{M F'}{M N} és \frac{M N'}{M F} = \frac{M F'}{M N'} \end{matrix}

Az előbbi czikk második ábrájának tanulmányozása egy egyenesre vonatkozó megjegyzéssel végződik, mely az

O

-tól

O H = a

távolságra fekszik. E megjegyzésnek több érdek és preczizitás kölcsönözhető, ha megfontoljuk, hogy a főkör

H

pontja az ellipszis

M

pontjának ordinátáján fekszik. Valóban kimutatható, hogy

\begin{matrix} F M = F G = a - c \end{matrix}

hol

F G

F

pont távolsága a parabola vezérvonalától és

\begin{matrix} F' M = F' G' = a + c \end{matrix}

(Ugyanis ha az

M (x_{0} y_{0})

pont coordinátái

x_{0}

és

y_{0}

a következő egyenletek által advák:

\begin{matrix} x_{0} = a \end{matrix}

bebizonyítandó, miszerint

\begin{matrix} φ = F O H . \end{matrix}

Minthogy

\begin{matrix} {(a - c \cdot cos F O H)}^{2} = y_{0}^{2} + {(x_{0} - c)}^{2} = b^{2} sin^{2} φ + a^{2} cos^{2} φ - 2 a c \cdot cos φ + c^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} = a^{2} sin^{2} φ - c^{2} sin^{2} φ + a^{2} - a^{2} sin^{2} φ - 2 a c \cdot cos φ + c^{2} = \end{matrix}

\begin{matrix} c^{2} cos^{2} φ - 2 a c \cdot cos φ + a^{2} = {(a - c \cdot cos φ)}^{2} \end{matrix}

következik, miszerint tényleg

\begin{matrix} cos φ = cos F O H . \end{matrix}

Szerk.)

M

az ellipszis egy pontja lévén,

H

és

H'

a főkör két pontja, melyek az

M

-mel egy ugyanazon, a nagy tengelyre merőleges egyenesen fekszenek,

N

és

N'

pedig azon pontok, melyben az ellipszis normálisa az

M

pontban az

O H

és

O H'

sugarakat metszi, kimondhatjuk végre, hogy az

N

és

N'

pontok mértani helyei két kör által advák, melyeknek középpontja

O

, és melyeknek sugarai

(a + b)

és

(a - b)

^{$^{*}$}"Bulletin de mathématiques spéciales" p.46.