Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Számadó László
Füzet:	2018/október, 397 - 400. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Adjuk meg azon $P\left(x;y\right)$ pontok halmazát, amelyek koordinátáira teljesül: $a)$ $\left(x^2-y^2\right)\left(x^2+y^2-4\right)=0$; $b)$ ${\left(x^2-y\right)}^2+{\left(x^2+y^2-14y+36\right)}^2=0$.  (11 pont)   2. A $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">SzÁMADÓ</span>}}$ és az $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ADÓSzÁM</span>}}$ egy-egy olyan hatjegyű, a $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">SzÁM</span>}}$ és az $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ADÓ</span>}}$ pedig egy-egy olyan háromjegyű szám, amelyben az Sz, Á, M, A, D és Ó betűk különböző pozitív számjegyek. $a)$ Mennyi a $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">SzÁM</span>}}+\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ADÓ</span>}}$ összeg, ha $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">SzÁMADÓ</span>}}+\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ADÓSzÁM</span>}}=678678$? $b)$ Adjuk meg a $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">SzÁMADÓ</span>}}$ számot, ha még azt is tudjuk, hogy $\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Sz</span>}>\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">A</span>}$, valamint $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">SzÁM</span>}}\cdot \overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ADÓ</span>}}=90585$. $c)$ Mennyi az $\overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ADÓSzÁM</span>}}$, ha $7\cdot \overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">ADÓSzÁM</span>}}=6\cdot \overline{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">SzÁMADÓ</span>}}$?  (12 pont)   3. A Szép Utazások iroda tájékoztatójában a repülőgépen szállítható csomagokról ez olvasható: ,,Az iroda által bérelt járatokon 15 kg/fő feladott poggyász és 1 db 8 kg/fő kézipoggyász szállítása díjtalan, a többletsúlyért fizetni kell. Mindegyik poggyásznak téglatest alakúnak kell lennie. A feladott poggyász egyik élhossza sem lehet több, mint 150 cm, és a három különböző irányú él hosszának összege nem haladhatja meg a 220 cm-t. A kézipoggyász maximális hossza 56 cm, maximális szélessége 45 cm, maximális mélysége 25 cm lehet, azonban a három méret összesen nem haladhatja meg a 115 cm-t.'' $a)$ Bea kézipoggyásznak való kisbőröndöt vásárol az utazáshoz. A boltban a megfelelő bőröndök egyik élhossza 25 cm. Szeretné, ha az élhosszak összege a megengedett maximális, ugyanakkor a bőrönd felszíne 8500 cm${}^2$ lenne. Milyen méretű bőrönd felelne meg ezeknek a feltételeknek? $b)$ László az utazáshoz bőröndöt szeretne vásárolni, amibe a feladható poggyászként engedélyezett 15 kg-ot bepakolhatja. A neki tetsző bőröndök egyik élének hossza 40 cm volt. Milyen méretű bőröndöt válasszon ezek közül, ha szeretné, hogy a térfogata maximális legyen? Mekkora lesz ekkor a bőrönd térfogata?  (14 pont)     4. A Fővárosi Nagycirkusz 13 méter átmérőjű porondjának vázlatát mutatja az ábra. A vízi cirkuszi előadásban a porond kilenc, azonos területű része függőlegesen, le-föl mozgatható. $a)$ Mekkora a porond közepén látható szabályos nyolcszög területe? $b)$ A nyolc egybevágó (trapézszerű) síkidomot a könnyebb mozgatás miatt körben egy nagyon speciális anyaggal borították. Ehhez előzetesen meg kellett határozni ezeknek a síkidomoknak a kerületét. Mekkora a kerülete az $ABCD$ trapézszerű síkidomnak? $c)$ A nyolc egybevágó síkidom függőleges mozgatásához megépített szerkezet miatt minden ilyen síkidom alatt szükség volt egy átlós merevítőre. Adjunk képletet az $AC$ merevítő hosszára az ábra $x$ és $y$ hosszúságú szakaszának ismeretében. (A képletben előforduló szögfüggvényértékek négy tizedes jegy pontossággal szerepeljenek.)  (14 pont)   II. rész     5. Rebeka új szemüveget vásárol, de nem szeretné, hogy a lencsékért 25 000 Ft-nál többet fizessen. A szaküzletben kiderül, hogy ha hagyományos lencsét vásárolna, akkor 4280 Ft-ot fizetne a két lencséért. Rebeka tudja, hogy a minőséget a különböző típusú bevonatok javíthatják, ezért tükröződésmentes és karcolás mentes bevonatot kér a lencsékre. A bevonatok mindegyikének 99 Ft/cm${}^2$ az ára. (A lencsék felületét síknak vehetjük.) Azt is eldöntötte, hogy a hagyományosnál vékonyabb lencsét szeretne választani. A készlet szerint ez lehet 10, 20, 30, 40, illetve 50%-kal vékonyabb. Ezeknek a lencséknek az ára a hagyományoshoz képest rendre 40, 80, 160, 320, 640%-kal drágább. Egy lencse határvonalát az $f\left(x\right)=2-\frac{2}{25}{x}^2$ és a $g\left(x\right)=\frac{x^2}{5}-5$ hozzárendeléssel megadott függvények grafikonja által meghatározott síkidom határvonala adja. A koordinátarendszer egysége 5 mm-rel egyenlő. Mekkora területű részt foglal el egy lencse az asztalon? A hagyományos lencséhez képest hány százalékkal választhat vékonyabb lencsét Rebeka?  (16 pont)   6. A Rubik-kocka feltalálásának évfordulójára díszdobozos kiadást terveznek. Az egyik változat szerint legyen a doboz egy olyan négyoldalú szabályos gúla, amelynek alapéle ugyanolyan hosszú, mint az oldaléle. Az elképzelés szerint a kocka egyik lapja illeszkedik a gúla alaplapjára, az ezzel párhuzamos lap csúcsai pedig a gúla oldaléleire. $a)$ Mekkora legyen a doboz éleinek hossza, ha a Rubik-kocka élhosszúsága: $a=5\mathrm{,}7$ cm? $b)$ A sok-sok terv közül azonnal elvetették azokat, amelyeknél a játék a doboz 35%-át sem tölti ki. A fenti terv megfelelő-e ezen feltétel ismeretében?  (16 pont)   7. $a)$ A tízes számrendszerben felírt egyjegyű $a$, kétjegyű $\overline{ab}$ és háromjegyű $\overline{abb}$ szám ebben a sorrendben egy számtani sorozat első, második és tizenkettedik tagja. (Azonos betűk azonos, különböző betűk különböző számjegyeket jelölnek.) Hány darab megfelelő kétjegyű szám van? Mennyi a legnagyobb megfelelő kétjegyű szám esetén a számtani sorozat első 20 tagjának összege? $b)$ A pozitív számokból álló $\left(a_n\right)$ mértani sorozat kilenc egymást követő tagjából képezzünk három számot úgy, hogy összeadjuk az első hármat, aztán a következő hármat, és végül az utolsó hármat. Mutassuk meg, hogy az így kapott három szám tízes alapú logaritmusa egy számtani sorozat három egymást követő tagja lesz.  (16 pont)   8. Az $ABCDEFGH$ téglatestben úgy jelöltük a csúcsokat, hogy az $ABCD$ alaplapra az $AE$, $BF$, $CG$ és $DH$ élek merőlegesek. Tudjuk, hogy a $HAD$ szög ${30}^{\circ }$-os, a $FAB$ szög pedig ${60}^{\circ }$-os. $a)$ Mekkora az $AFH$ háromszög területe, ha a téglatest térfogata 3375 cm${}^3$? $b)$ Mekkora szögben hajlik a téglatest $AG$ testátlója az $ABCD$ laphoz? $c)$ Dávid a téglatest ábráját a 8 csúccsal, a 12 élével és az $AH$, valamint $AF$ éllel egy gráfnak tekinti. Barbara pedig a hiányzó élek berajzolásával készített egy teljes gráfot. Azt állítja, hogy rajzolás közben minden csúcsot érintett, viszont egy élt csak egyszer rajzolt meg, és közben a ceruzáját nem kellett felemelnie a papírról. Miért tartjuk ezt hihetőnek? Melyik csúcsból kezdhette a rajzolást, és melyik csúcsba érkezhetett?  (16 pont)   9. Legyen $n$ pozitív egész szám. Adottak az alábbi sorozatok: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \left\{a_n\right\}}& {\displaystyle =\left\{\text{lg}\left(n+1\right)\right\};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left\{b_n\right\}}& {\displaystyle =\left\{\frac{n^3-5n^2-n+5}{n+1}\right\};}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \left\{c_n\right\}}& {\displaystyle =\left\{|n+2|+|n-6|\right\}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Válaszoljunk (indoklással) mindhárom esetben, hogy a sorozat alulról, felülről korlátos vagy nem, illetve monoton vagy nem. Ha van, adjunk meg egy alsó, illetve felső korlátot.  (16 pont)