Cím:	Barangolás kockás papíron
Szerző(k):	Koncz Levente ,  Számadó László
Füzet:	2018/szeptember, 326 - 334. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Cikkek, Másodfokú diofantikus egyenletek, Rácsgeometria

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   Barangolás kockás papíron   Szeretjük, ha egy számsorozat általános tagja megadható képlettel. Például a páratlan számok, a páros számok, a háromszögszámok, a négyzetszámok előállítására gyorsan tudunk képletet adni. A számok megjelenítése egy-egy megfelelő figurával sokat segíthet a képlet előállításában. A figurális számokat régen egyforma kavicsokkal ábrázolták, ma kirakhatjuk őket például színes kupakokból. A ,,kockás papír'' négyzetrácsán is szemléltethetők ezek a számok.   Az $n$-edik páratlan szám: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=n+\left(n-1\right)=2n-1.}\end{array}$         Az $n$-edik páros szám: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=2n\mathrm{.}}\end{array}$         Az $n$-edik háromszögszám: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=1+2+\text{...}+n=\frac{n\left(n+1\right)}{2}\mathrm{.}}\end{array}$         Az $n$-edik négyzetszám: $\begin{array}{c}{\displaystyle {a_n=n}^2\mathrm{.}}\end{array}$     Milyen képlettel tudnánk megadni a következő számsorozat $n$-edik tagját? $\begin{array}{c}{\displaystyle \mathrm{1,}\mathrm{5,}\mathrm{13,}\mathrm{25,}\mathrm{41,}\mathrm{61,}\mathrm{85,}\mathrm{113,}\mathrm{145,}\mathrm{181,}\mathrm{221,}\mathrm{265,}\text{...}\mathrm{.}}\end{array}$ (1) Ha két szomszédos négyzetszám figuráját egymásra illesztjük, azonnal láthatóvá válik a képlet.   Vagyis a sorozat $n$-edik tagja: $\begin{array}{c}{\displaystyle a_n=n^2+{\left(n-1\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ (2)     Az (1) sorozat számait látva érthetetlen lett volna, ha négyzetszámoknak nevezzük ezeket. Az ábrákat szemlélve viszont jogosnak érezhetnénk, de ez az elnevezés már foglalt. Mivel a négyzetszámok megszokott ábráján minden kis négyzetnek a közepét is bejelöltük, ezért ezeket a számokat középpontos négyzetszámoknak nevezi a szakirodalom. A középpontos négyzetszámok szemléltetésénél észrevehető az is, hogy egy pont van középen, és azt négyzet alakú pontrétegek veszik körül. Adott réteg minden oldala eggyel több pontot tartalmaz, mint a korábbi réteg. Ezt felhasználva bevezethetjük a középpontos sokszögszámok fogalmát is. Az ábrán példaként a középpontos hatszögszámok sorozatát szemléltetjük kockás papíron.     A (2) képlet eszünkbe juttathatja a Pitagorasz-tételt. Tekintsük azokat a derékszögű háromszögeket, amelyekben a két befogó hossza két egymást követő egész számmal adható meg:     Az így kapott $n$-edik derékszögű háromszög átfogójának hosszát az $n+1$. középpontos négyzetszám négyzetgyöke adja: $c_n=\sqrt[]{{\left(n+1\right)}^2+n^2}$. Az ábrasorozat harmadik tagja a jól ismert 3, 4, 5 oldalhosszúságokkal megadott Pitagorasz-féle háromszög. Van-e még a sorozatban Pitagorasz-féle háromszög? A kérdésre az ${\left(n+1\right)}^2+n^2=c^2$ másodfokú diofantoszi egyenlet megoldása adja a választ. Ezekkel a kérdésekkel tanórán is foglalkoztunk, de az ilyen típusú egyenletek megoldása nem szerepel a középiskolai tananyagban, ezért függvénytáblázat, számológép, illetve számítógép segítségével próbáltak a diákjaink ilyen háromszögeket keresni. A függvénytáblázatban a $c<100$-hoz megtaláljuk a Pitagorasz-féle számhármasokat. Ezek között csak egy további megfelelő van: 20, 21, 29. Grafikus számológéppel további számhármasokat is kaptunk. A számológép táblázatának első oszlopában az $n$, a második oszlopában a $\sqrt[]{{\left(n+1\right)}^2+n^2}$ értékeit írattuk ki. Így a $c<1000$-hez találtunk még két megfelelő háromszöget: 119, 120, 169, illetve 696, 697, 985. Óvatosan kell kezelnünk a számológép táblázatának számait. A számológép például a 288, 289, 408 számhármast is megadta, de ez nyilvánvalóan rossz, hiszen a ${288}^2+{289}^2$ utolsó számjegye 5, míg ${408}^2$ utolsó számjegye 4. A táblázat számait két tizedesre kerekítve a gép 408-nak vette a $\sqrt[]{{288}^2+{289}^2}\approx 408\mathrm{,}001$ -et. Szondy Dániel számítógéppel a $c<225058682$ feltétel mellett összesen 11 számhármast talált: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccc|}\hline \hfill {\displaystyle }& \multicolumn{1}{c}{{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math>}}}& \multicolumn{1}{c}{{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math>}}}& \multicolumn{1}{c}{{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math>}}}\\ \hfill {\displaystyle \text{1.}}& \hfill {\displaystyle \text{3}}& \hfill {\displaystyle \text{4}}& \hfill {\displaystyle \text{5}}\\ \hfill {\displaystyle \text{2.}}& \hfill {\displaystyle \text{20}}& \hfill {\displaystyle \text{21}}& \hfill {\displaystyle \text{29}}\\ \hfill {\displaystyle \text{3.}}& \hfill {\displaystyle \text{119}}& \hfill {\displaystyle \text{120}}& \hfill {\displaystyle \text{169}}\\ \hfill {\displaystyle \text{4.}}& \hfill {\displaystyle \text{696}}& \hfill {\displaystyle \text{697}}& \hfill {\displaystyle \text{985}}\\ \hfill {\displaystyle \text{5.}}& \hfill {\displaystyle \text{4 059}}& \hfill {\displaystyle \text{4 060}}& \hfill {\displaystyle \text{5 741}}\\ \hfill {\displaystyle \text{6.}}& \hfill {\displaystyle \text{23 660}}& \hfill {\displaystyle \text{23 661}}& \hfill {\displaystyle \text{33 461}}\\ \hfill {\displaystyle \text{7.}}& \hfill {\displaystyle \text{137 903}}& \hfill {\displaystyle \text{137 904}}& \hfill {\displaystyle \text{195 025}}\\ \hfill {\displaystyle \text{8.}}& \hfill {\displaystyle \text{803 760}}& \hfill {\displaystyle \text{803 761}}& \hfill {\displaystyle \text{1 136 689}}\\ \hfill {\displaystyle \text{9.}}& \hfill {\displaystyle \text{4 684 659}}& \hfill {\displaystyle \text{4 684 660}}& \hfill {\displaystyle \text{6 625 109}}\\ \hfill {\displaystyle \text{10.}}& \hfill {\displaystyle \text{27 304 196}}& \hfill {\displaystyle \text{27 304 197}}& \hfill {\displaystyle \text{38 613 965}}\\ \hfill {\displaystyle \text{11.}}& \hfill {\displaystyle \text{159 140 519}}& \hfill {\displaystyle \text{159 140 520}}& \hfill {\displaystyle \text{225 058 681}}\\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Ezeket egyszerű ''favágó'' módszerrel kereste, ezért kijelenthetjük, hogy eddig teljes a lista. Az ennél nagyobb számok keresése előtt egy érdekességet vett észre. Megfigyelte, hogy az első oszlopban a két egymás után következő szám hányadosa 5,83 körüli értéket vesz fel. Ezen érdekesség alapján elkészített egy új keresési algoritmust: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-style: italic;">A legnagyobb ismert ilyen <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math> értéket (azaz a háromszög legrövidebb oldalának hosszát)</span>}}\\ {\displaystyle \text{<span style="font-style: italic;">szorozzuk meg az utolsó két szám hányadosával, és ennek vegyük az egészrészét, és csak</span>}}\\ {\displaystyle \text{<span style="font-style: italic;">az így kapott szám környezetében keressünk megfelelő számokat.</span>}}\end{array}$ (3) Vagyis az új derékszögű háromszög legkisebb oldalának hosszát $[\frac{a_n^2}{a_{n-1}}]$ környékére várjuk. Ez a sejtés sikeresnek mondható, mert ilyen módon jelentős mennyiségű új számhármas adódott, de már nem lehetünk biztosak listánk teljességében: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cccc|}\hline \hfill {\displaystyle }& \multicolumn{1}{c}{{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math>}}}& \multicolumn{1}{c}{{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>b</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math>}}}& \multicolumn{1}{c}{{\displaystyle \text{<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><msub><mrow><mi>c</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></math>}}}\\ \hfill {\displaystyle \text{12.}}& \hfill {\displaystyle \text{927 538 920}}& \hfill {\displaystyle \text{927 538 921}}& \hfill {\displaystyle \text{1 311 738 121}}\\ \hfill {\displaystyle \text{13.}}& \hfill {\displaystyle \text{5 406 093 003}}& \hfill {\displaystyle \text{5 406 093 004}}& \hfill {\displaystyle \text{7 645 370 045}}\\ \hfill {\displaystyle \text{14.}}& \hfill {\displaystyle \text{31 509 019 100}}& \hfill {\displaystyle \text{31 509 019 101}}& \hfill {\displaystyle \text{44 560 482 149}}\\ \hfill {\displaystyle \text{15.}}& \hfill {\displaystyle \text{183 648 021 599}}& \hfill {\displaystyle \text{183 648 021 600}}& \hfill {\displaystyle \text{259 717 522 849}}\\ \hfill {\displaystyle \text{16.}}& \hfill {\displaystyle \text{1 070 379 110 496}}& \hfill {\displaystyle \text{1 070 379 110 497}}& \hfill {\displaystyle \text{1 513 744 654 945}}\\ \hfill {\displaystyle \text{17.}}& \hfill {\displaystyle \text{6 238 626 641 379}}& \hfill {\displaystyle \text{6 238 626 641 380}}& \hfill {\displaystyle \text{8 822 750 406 821}}\\ \hfill {\displaystyle \text{18.}}& \hfill {\displaystyle \text{36 361 380 737 780 }}& \hfill {\displaystyle \text{36 361 380 737 781}}& \hfill {\displaystyle \text{51 422 757 785 981}}\\ \hfill {\displaystyle \text{19.}}& \hfill {\displaystyle \text{211 929 657 785 303}}& \hfill {\displaystyle \text{211 929 657 785 304}}& \hfill {\displaystyle \text{299 713 796 309 065}}\\ \hfill {\displaystyle \text{20.}}& \hfill {\displaystyle \text{1 235 216 565 974 040 }}& \hfill {\displaystyle \text{1 235 216 565 974 041 }}& \hfill {\displaystyle \text{1 746 860 020 068 409}}\\ \hline\end{array}}}\end{array}$ Mi lehet az a titokzatos 5,83 körüli szám? A megtalált húsz derékszögű háromszög két befogója majdnem egyenlő hosszúságú. Minél nagyobb sorszámú háromszögeket nézünk a sorozatból, annál jobban az egyenlőszárú derékszögű háromszögeket juttatják az eszünkbe, amelyekben a befogó hosszának $\sqrt[]{2}$-szöröse adja az átfogó hosszát. Ez adhatta azt a megérzést, hogy az 5,83 és a $\sqrt[]{2}$ között keressünk kapcsolatot. Mivel $2\sqrt[]{2}+3\approx 5\mathrm{,}8284$, ezért az $\frac{a_{n+1}}{a_n}=2\sqrt[]{2}+3$ sejtést is megfogalmaztuk. A fenti majdnem egyenlőszárú derékszögű háromszögeket a továbbiakban röviden MED háromszögeknek fogjuk nevezni. Az eddigi oldalhosszakat nézve rekurzív képletet is találtunk: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle a_{n+1}}& {\displaystyle =6a_n-a_{n-1}+\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle b_{n+1}}& {\displaystyle =6b_n-b_{n-1}-\mathrm{2,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle c_{n+1}}& {\displaystyle =6c_n-c_{n-1}\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$ Próbáltunk a Fibonacci-sorozathoz hasonló explicit képletet adni az $a_n$-re. A kísérletezgetések alapján igaznak tűnik a következő képlet: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{{\left(3+2\sqrt[]{2}\right)}^n-{\left(3-2\sqrt[]{2}\right)}^n}{\sqrt[]{2}}=a_n+a_{n-1}+\mathrm{1,}}\end{array}$ (4) ahol 1-nél nagyobb egész szám az $n$. Ez egy szép sejtés, de nem az $a_n$-re várt képlet. Ezek után utánanéztünk az interneten, hogy vajon mások is foglalkoztak-e már a MED háromszögekkel, s ha igen, akkor ők mire jutottak. Nem meglepő módon igen sok találatot kaptunk, a kérdésnek gazdag irodalma van. Sok érdekességre is bukkantunk, ezek közül ‐ a teljesség igénye nélkül ‐ itt csak néhányat említünk. Az [1]-ben például találunk egy bizonyítást arra, hogy végtelen sok ilyen háromszög van, és egy konstrukciót is kapunk ilyenek előállítására. Az azonban nem derül ki ebből a bizonyításból, hogy az így konstruálható háromszögeken kívül is vannak-e MED háromszögek. A [2]-ben találunk egy rövid bizonyítást arra nézve, hogy végtelen sok olyan háromszögszám van, amely egyben négyzetszám is. Könnyű ellenőrizni, hogy ha $H\left(n\right)=$ $\frac{n\left(n+1\right)}{2}$ (tehát az $n$-edik háromszögszám) négyzetszám, akkor $H\left(4n\left(n+1\right)\right)$ is az. Ez a konstrukció nem adja meg az összes ilyen tulajdonságú számot, viszont a [3]-ban olvasható egy bizonyítás, ami megadja az összest. A [4] szerint pedig Euler 1778-ban általános formulát talált az $E_k$-ra, azaz a $k$-adik háromszögszám-négyzetszámra: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_k={\left(\frac{{\left(3+2\sqrt[]{2}\right)}^k-{\left(3-2\sqrt[]{2}\right)}^k}{4\sqrt[]{2}}\right)}^2\mathrm{.}}\end{array}$ Ezt azért tartjuk érdekesnek, mert nagyon hasonlít az $a_n+a_{n-1}+1$-re általunk talált (4) összefüggésre. Kis átrendezéssel kapjuk, hogy $a_n+a_{n-1}+1=4{\sqrt[]{E}}_k$. A [2] egyik állítása háromszögszám-négyzetszámok és a MED háromszögek közti szoros kapcsolatot is igazolja.   Állítás: Végtelen sok MED háromszög van, s ezek oldalhosszúságainak általános alakja:   Behelyettesítéssel ellenőrizhető, hogy az $E_1=1$ a $\left(\mathrm{3,}\mathrm{4,}5\right)$, az $E_2=36$ pedig a $\left(\mathrm{20,}\mathrm{21,}29\right)$ MED háromszöget adja. Az érdeklődő olvasó az állítás (középiskolás ismeretekkel is követhető) bizonyítását a [2]-ben megtalálja. Végül [5] nem csak a majdnem egyenlőszárú derékszögű háromszögekkel, hanem a majdnem derékszögű, ezen belül a majdnem derékszögű egyenlőszárú háromszögekkel is foglalkozik, sőt a háromszögek e két osztálya között kapcsolatot is teremt. Egy háromszöget majdnem derékszögűnek nevezünk, ha oldalaira $x^2+y^2=z^2\pm 1$ teljesül. Ezek között már sok egyenlőszárút találunk. Ilyenek például az $\left(\mathrm{5,}\mathrm{5,}7\right)$, $\left(\mathrm{29,}\mathrm{29,}41\right)$, $\left(\mathrm{169,}\mathrm{169,}239\right)$ vagy a $\left(\mathrm{12,}\mathrm{12,}17\right)$, $\left(\mathrm{70,}\mathrm{70,}99\right)$, $\left(\mathrm{408,}\mathrm{408,}577\right)$ háromszögek. Az első típusba tartozó háromszögek szára épp egy MED háromszög átfogója, alapja pedig ugyanebben a MED háromszögben a két befogó összege. A második típusba tartozó háromszögeknek az alapja két egymást követő MED háromszög átfogójának a számtani közepe, szára pedig a kisebbik MED háromszög három oldalának összege. A kockás papíron a további barangoláshoz válasszuk a KöMaL 1989/10. számában megjelent Gyakorló feladatok egyetemi felvételire című összeállításból a következő feladatot:   1. feladat: Határozzuk meg a