Kezdőlap


Cím:	Megoldásvázlatok a 2018/7. sz. emelt szintű fizika gyakorló feladatsorhoz
Szerző(k):	Markovits Tibor
Füzet:	2018/november, 493 - 496. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Megoldásvázlatok
a 2018/7. szám emelt szintű fizika gyakorló feladatsorához

Tesztfeladatok

\begin{matrix} \begin{matrix} 1 & 2 & 3 & 4 & 5 & 6 & 7 & 8 & 9 & 10 & 11 & 12 & 13 & 14 & 15 \\ B & D & A & A & B & A & B & B & A & D & D & C & D & C & B \end{matrix} \end{matrix}

Számolásos feladatok

a)

A síkkondenzátor kapacitása

\begin{matrix} C = ε_{0} \frac{A}{d} = 8, 85 \cdot 10^{- 12} \frac{A s}{V m} \cdot \frac{5 \cdot 10^{- 3} m^{2}}{0, 02 m} = 2, 21 \cdot 10^{- 12} F= 2,21pF. \end{matrix}

b)

Töltés hatására a kondenzátoron

\begin{matrix} U = \frac{Q}{C} = \frac{2 \cdot 10^{- 9} C}{2, 21 \cdot 10^{- 12} F} = 905 V \end{matrix}

feszültség alakul ki.
A kondenzátorban tárolt energia

\begin{matrix} E = \frac{1}{2} C U^{2} = \frac{1}{2} \cdot 2, 21 \cdot 10^{- 12} F \cdot {(905 V)}^{2} = 9, 06 \cdot 10^{- 7} J. \end{matrix}

2. Egy

ℓ_{1} = 80

cm hosszúságú fonálinga lengésideje:

\begin{matrix} T = 2 π \sqrt[]{\frac{ℓ_{1}}{g}} = 2 π \sqrt[]{\frac{0, 8 m}{9, 81 \frac{m}{s^{2}}}} = 1, 79 s. \end{matrix}

Ez az inga 1 perc alatt

60 s / 1, 79 s = 33, 5

lengést végez.
A megadott feltétel szerint a második inga ennél 2-vel többet, azaz 35,5-et leng, vagyis a lengésideje

60 s / 35, 5 = 1, 69

s.
Ismét a lengésidőre vonatkozó összefüggést felhasználva:

\begin{matrix} 1, 69 s = 2 π \sqrt[]{\frac{ℓ_{2}}{9, 81 \frac{m}{s^{2}}}}, \end{matrix}

ahonnan a másik inga hossza:

ℓ_{2} = 0, 71 m

3. Mivel a közös hőmérséklet megbecslése nem egyszerű feladat, vizsgáljuk meg, hogy mennyivel több vagy kevesebb energiával rendelkezik a rendszer a kiindulási állapotban, mint egy hasonló össztömegű,

0^{\circ}

C hőmérsékletű vizet tartalmazó másik rendszer.
A jég energiája negatív, mert a hőmérséklete

0^{\circ}

C alatt van:

\begin{matrix} E_{jég} & = - L_{olvadás} m_{jég} - c_{jég} m_{jég} | Δ T_{jég} | = \\ = - 2256 \frac{kJ}{kg} \cdot 6 kg - 2, 1 \frac{kJ}{{kg}^{\circ} C} \cdot 6 kg \cdot 20^{\circ} C = - 2262 kJ . \end{matrix}

A víz energiája pozitív:

\begin{matrix} E_{víz} = c_{víz} m_{víz} Δ T_{víz} = 4, 2 \frac{kJ}{{kg}^{\circ} C} \cdot 4 kg \cdot 60^{\circ} C = 1008 kJ, \end{matrix}

és a vízgőz energiája is pozitív:

\begin{matrix} E_{gőz} & = L_{forrás} m_{gőz} + c_{gőz} m_{gőz} Δ T_{gőz} = \\ = 2256 \frac{kJ}{kg} \cdot 2 kg + 4, 2 \frac{kJ}{{kg}^{\circ} C} \cdot 2 kg \cdot 100^{\circ} C = 5352 kJ . \end{matrix}

Az összenergia

\begin{matrix} E_{összes} = E_{jég} + E_{víz} + E_{gőz} = - 2262 kJ + 1008 kJ + 5352 kJ = + 4098 kJ > 0. \end{matrix}

Mivel az összenergia pozitív a rendszer hőmérséklete

0^{\circ}

C-nál magasabb. Nézzük meg, hogy ez az energia milyen hőmérsékletre tudja emelni a rendszert:

\begin{matrix} E_{összes} = c_{víz} m_{összes} Δ T, \end{matrix}

ahonnan (feltételezve, hogy

Δ T < 100^{\circ}

C, tehát az egyensúlyi állapotban csak víz lesz jelen):

\begin{matrix} Δ T = \frac{E_{összes}}{c_{víz} m_{összes}} = \frac{4098 kJ}{4, 2 \frac{kJ}{{kg}^{\circ} C} \cdot 12 kg} = 81, 3^{\circ} C . \end{matrix}

a)

A 18 m hosszú lánc tömege

m_{lánc} = 18 \cdot 0, 5 kg = 9 kg

. Ez azt jelenti, hogy kezdetben

m_{lánc} + m_{vödör} = 24

kg tömeget kell emelni, a legvégén pedig csak

m_{vödör} = 15

kg-ot. Mivel a lánc homogén, ezért az össztömeg, és ezzel együtt a szükséges erőhatás is a vödör elmozdulásával lineárisan csökken. Ebből kiindulva

\begin{matrix} F_{max} & = (m_{vödör} + m_{lánc}) g = 24 kg \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} = 235 N,F_{min}=m_{vödör}g =15kg\cdot9,81\frac{m}{s^{2}}=147 N. \end{matrix}

A lánc súlya méterenként

\begin{matrix} \frac{G}{ℓ} = 0, 5 \frac{kg}{m} \cdot 9, 81 \frac{m}{s^{2}} = 4, 9 \frac{N}{m} . \end{matrix}

b)

Jelölje

x

a vödör elmozdulását! Ekkor az erő-elmozdulás függvény matematikai alakja a következő:

\begin{matrix} F (x) = 235 N-4,9\frac{N}{m}\cdotx, \end{matrix}

és a függvény grafikonját az ábra mutatja.

c)

A munkavégzést a függvény alatti terület kiszámításával adhatjuk meg. A teljes munka

\begin{matrix} W = \frac{F_{max} + F_{min}}{2} ℓ = \frac{235 N + 147 N}{2} 18 m=3438 J. \end{matrix}

Ennek harmada

3438 J / 3 = 1146 J

. Ennyi munkát kell elvégezni minden embernek. Tegyük fel, hogy az első ember

x_{1}

hosszat húzott a kötélen, ekkor a munkavégzése (az SI egységek elhagyásával):

\begin{matrix} 1146 = \frac{235 + 235 - 4, 9 x_{1}}{2} x_{1}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 4, 9 x_{1}^{2} - 470 x_{1} + 2292 = 0. \end{matrix}

A másodfokú egyenletből

x_{1}

meghatározható, értéke 5,2 m. (A második gyök 90,6 m, ez nyilván nem felel meg a feladat feltételeinek.) Tehát az első embernek 5,2 m-t kell húzni a vödrön.
Az előbbihez hasonlóan megkereshetjük a második váltás helyét is:

\begin{matrix} 2292 = \frac{235 + 235 - 4, 9 x_{2}}{2} x_{2}, \end{matrix}

vagyis

\begin{matrix} 4, 9 x_{2}^{2} - 470 x_{2} + 4584 = 0. \end{matrix}

A másodfokú egyenlet megoldása:

x_{2} = 11, 0

m. (A második gyök ebben az esetben sem megfelelő.)
Tehát 5,2 m-nél és 11,0 m-nél kell váltani ahhoz, hogy mindhárom ember egyenlő mértékben végezzen munkát.

\begin{matrix} Markovits TiborBudapest \end{matrix}