Kezdőlap


Cím:	Feynman és a legkisebb hatás elve
Szerző(k):	Solt György
Füzet:	2018/november, 490 - 493. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Feynman és a legkisebb hatás elve

Egy emlékezetes feladat

Az 1930-as évek elején történt, hogy a középiskolában unatkozni látszó (később Nobel-díjas fizikus) Richard Feynmant tanára a következő feladattal kívánta felélénkíteni: Győződjön meg arról, hogy egy eldobott tárgy két adott időpont között (adott repülési idő mellett) éppen azt a röppályát ,,választja'', amelyet a mechanikai legkisebb hatás elve (másnéven Hamilton-elv) előír számára [1]. Az elv szerint a repülés kezdeti

t_{1}

és végső

t_{2}

időpontja közötti

t_{2} - t_{1} = T

időben valamennyi elképzelhető mozgáspálya közül az valósul meg, amelyen a

K

kinetikus és

V

potenciális energia különbségének, az

L (t) = K (t) - V (t)

függvénynek a mozgás során vett időbeli átlagértéke, amit

〈 L 〉

módon jelölünk, minimális¹.
Feynman ezt az elvet ,,elbűvölően érdekesnek'' találta, és lelkesedése az évek során sem csökkent. Az addig csak a klasszikus fizikában alapvető hatáselv, pályafogalom Feynman nyomán bekerültek a részecskefizika kvantummechanikai eszköztárába.
Mivel a legkisebb hatás elve a mai középiskolásokat is érdekelheti, nézzük meg Feynman feladatát egy speciális esetben, ahol elegendó az egyenletesen gyorsuló mozgás ismerete, a matematikai analízis módszereire, variációszámításra nincs szükség.

Az elv működésben

A kiindulási helyzet: valaki

t_{1} = 0

pillanatban labdát dob fel az

x_{a}

távolságban álló ház

y_{a}

magasan lévő emeleti ablakában várakozó társának. Az ablak vízszintes

(x)

és függőleges

(y)

tengelyeken mért koordinátái a mozgás síkjában

(x_{a}, y_{a})

, a labdáé a feldobás pillanatában

(0,0)

. Az iskolában tanultak szerint a labda pályája parabola, a mozgást leíró egyenletek a

t

idő függvényében

\begin{matrix} x = u t, y = - \frac{g}{2} t^{2} + (\frac{u y_{a}}{x_{a}} + \frac{g x_{a}}{2 u}) t \end{matrix}

(1)

(ahol

g

a nehézségi gyorsulás). A repülés teljes

T

idejét az

x

irányú, állandó

v_{x} = u

sebesség rögzíti:

T = x_{a} / u

. A kicsit szokatlan alakban felírt (1) összefüggésben a függőleges irányú kezdősebességet az

y (t = T) = y_{a}

feltétel rögzíti.
Ha tehát az elv ,,működik'', akkor például a

(0,0)

és az

(x_{a}, y_{a})

pontokon átmenő, ugyanakkora

T

repülési idővel, de egy tetszőlegesen választott

a

paraméterrel jellemzett,

\begin{matrix} x = u t, y = - a t^{2} + (\frac{u y_{a}}{x_{a}} + \frac{a x_{a}}{u}) t \end{matrix}

(2)

egyenletekkel leírt parabolapályán az

L (t) = K (t) - V (t)

(az ún. Lagrange-függvény) időbeni átlagértéke,

〈 L 〉

, bármely

a \neq g / 2

választása esetén nagyobb kell legyen, mint a ténylegesen megvalósuló

a = g / 2

pálya esetén.

Megjegyzés. Az egyszerűség kedvéért feltételezzük, hogy a labda mozgása

x

irányban egyenletes. A legkisebb hatás elve megengedné ugyan, hogy másféle időfüggésű mozgásokra is kiszámítsuk a Lagrange-függvény átlagát, és ezek minimumát keressük, de ekkor ismét a variációszámítás matematikai nehézségeibe ütköznénk. Ha olyan mozgások körében keressük a legkisebb hatást, amelyek mindössze egyetlen paramétertől, az

a

mennyiségtől függenek, a probléma egy egyváltozós, ráadásul kvadratikus függvény szélsőértékének megkeresésére egyszerűsödik, ez pedig elemi úton, (teljes négyzetté alakítással) megoldható.

A (2) egyenletekkel leírt mozgás

x

irányban egyenletes,

y

irányban egyenletesen gyorsuló, ezért

\begin{matrix} v_{x} = u, v_{y} = - 2 a t + (\frac{u y_{a}}{x_{a}} + \frac{a x_{a}}{u}) . \end{matrix}

Ezzel az

m

tömegű tárgy Lagrange-függvénye:

\begin{matrix} L & = K - V = \frac{m}{2} (v_{x}^{2} + v_{y}^{2}) - m g y = \\ = \frac{m}{2} [u^{2} + {(- 2 a t + \frac{u y_{a}}{x_{a}} + \frac{a x_{a}}{u})}^{2}] - m g [- a t^{2} + (\frac{u y_{a}}{x_{a}} + \frac{a x_{a}}{u}) t], \end{matrix}

ami

u = x_{a} / T

felhasználásával így is felírható:

\begin{matrix} L = \frac{m}{2} [\frac{x_{a}^{2}}{T^{2}} + {(- 2 a t + \frac{y_{a}}{T} + a T)}^{2}] - m g [- a t^{2} + (\frac{y_{a}}{T} + a T) t] . \end{matrix}

Mivel ez a kifejezés

t

-ben kvadratikus, időbeli átlagértéke elemi számolással megkapható.

\begin{matrix} 〈 L 〉 = 〈 A \cdot t^{2} + B \cdot t + C 〉 = A 〈 t^{2} 〉 + B 〈 t 〉 + C, \end{matrix}

ahol

\begin{matrix} A & = m a (2 a + g), \\ B & = - m (g + 2 a) ä (\frac{y_{a}}{T} + a T), \\ C & = m (\frac{x_{a}^{2} + y_{a}^{2}}{2 T^{2}} + \frac{a^{2} T^{2}}{2} + a y_{a}) \end{matrix}

időfüggetlen kifejezések.
Látható, hogy csak

t^{2}

és

t

átlagára van szükségünk a

(0, T)

intervallumon, ami definíció szerint a függvény alatti terület elosztva az időintervallum hosszával. A

t^{2}

parabola alatti területet a

(0, T)

szakaszon már Arkhimédész kiszámította [2], ez

\frac{1}{3} T^{3}

, tehát

〈 t^{2} 〉 = \frac{1}{3} T^{2}

, és nyilvánvalóan

〈 t 〉 = \frac{1}{2} T

. Ezzel, valamint

A

B

és

C

beírásával kapjuk:

\begin{matrix} 〈 L 〉 = 〈 K - V 〉 = \frac{m}{2} [\frac{1}{3} T^{2} {(a - \frac{g}{2})}^{2} + (\frac{x_{a}^{2} + y_{a}^{2}}{T^{2}} - g y_{a} - \frac{g^{2} T^{2}}{12})] . \end{matrix}

Ez a kifejezés

a = \frac{g}{2}

-nél valóban minimális, bármely ,,hegyesebb'' (

a > g / 2

) vagy ,,laposabb'' (

a < g / 2

) pálya (és az

a = 0

egyenes is) nagyobb

〈 L 〉

-re vezet.

De honnan tudja a labda?

A legkisebb hatás elve tehát parabolapályákra szorítkozva beigazolódott, de az elv minden más alakú pályát tekintetbe véve is a jó eredményt adja [1].² De hogyan? A labda ismeri a távoli jövőjét? Tudja minden

0 < t < T

pillanatban, merre kell továbbrepülnie ahhoz, hogy a már megtett és a még hátralévő utat is magában foglaló egész pályájára számított

〈 L 〉

átlagérték (és vele az

S

hatásfüggvény) valamennyi elképzelhető pálya közül a legkisebbnek bizonyuljon?
A távoli jövő előrelátása a klasszikus mechanika szerint valójában nem szükséges, mert a legkisebb hatás elvéből matematikailag következnek a labda közvetlen jövőjét minden helyen és időpontban meghatározó Newton-féle mozgásegyenletek (és viszont, a Newton-egyenletekből levezethető a hatáselv), ezért nem csoda, hogy a megvalósuló pálya éppen az, amelyen

〈 L 〉

minimális. A hatáselv a klasszikus mechanikában egyszerűen a mozgásegyenletek matematikailag tömör, előnyös (koordináta-rendszertől független) megfogalmazásának tekinthető.
De ha ez csak egyszerű matematika, mit talált korának egyik legnagyobb fizikusa (aki idén éppen 100 éves lenne) a legkisebb hatás elvében ,,elbűvölően érdekesnek''? Hogyan ,,vizsgálják meg'' a részecskék a kvantumfizika Feynman-féle megfogalmazásában az összes elképzelhető pályát ahhoz, hogy kiválasszák az optimálisat, a megvalósulót? Erről egy következő írásban lesz szó, ahol a legkisebb hatás elve és néhány további, hasonlóan ,,célt megfogalmazó'' (integrális) fizikai elv kapcsolatára is fény derül.

Irodalom

[1]	R. P. Feynman, R. B. Leighton, M. Sands: Mai fizika 6., 71. fejezet, Műszaki Könyvkiadó, 1970.

[2]	Simonovits András: Válogatott fejezetek a matematika történetéből, 25. old., Typotex, 2009.

\begin{matrix} Solt GyörgySvájc, Zug \end{matrix}

¹A szakirodalomban a ,,legkisebb hatáson'' az

S = (t_{2} - t_{1}) 〈 L 〉

hatásfüggvény minimumát (általánosan stacionárius, vagyis a pálya kis változtatására ,,első közelítésben'' változatlanul maradó) értékét értik. De mivel

(t_{2} - t_{1})

rögzített,

S

minimuma egyben

〈 L 〉

minimuma is. (Az átlagértéket használó megfogalmazás Feynmantól ered [1].) A ,,pálya'' itt nemcsak a pályagörbe alakjára vonatkozik, az elv a pályagörbe meghatározásán túl a megvalósuló mozgás teljes, tér- és időbeli leírását adja.

²A legkisebb hatás elvét L. Euler (1707‐1783) és J. L. Lagrange (1736‐1813) ilyen irányú eredményeit felhasználva mai formájában W. R. Hamilton (1805‐1865) fogalmazta meg 1834-ben.