Kezdőlap


Cím:	A 2018. évi Kunfalvi Rezső olimpiai válogatóverseny néhány elméleti feladata
Füzet:	2018/szeptember, 368 - 370. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Egyéb (KöMaL pontverseny is)

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A 2018. évi Kunfalvi Rezső
olimpiai válogatóverseny
néhány elméleti feladata

^{1}

Hőcserélő
A hőcserélő olyan eszköz, amelyben egy meleg és egy hideg (folyékony vagy légnemű) közeg között hőcsere jön létre. Az eszközt igen széles körben alkalmazzák fűtési rendszerekben és erőművekben.¹
Az 1. ábrán látható hőcserélő két

L

hosszúságú, téglalap keresztmetszetű csőből áll, melyek szélessége

w

, magassága

h

. A két csövet

d

vastagságú,

λ

hővezetési tényezőjű fémlap választja el egymástól. A kezdetben meleg közeg az alsó csőben áramlik

v

sebességgel jobbról balra, míg a kezdetben hideg közeg a felső csőben áramlik ellentétes irányban (balról jobbra) ugyancsak

v

sebességgel. Mindkét közeg térfogategységre eső hőkapacitása

c

1. ábra

A hőcserélőbe való belépéskor a meleg közeg hőmérséklete

Δ T_{be}

értékkel magasabb, mint a belépő hideg közegé. Amikor a közegek elhagyják a hőcserélőt, a közöttük lévő hőmérséklet-különbség

Δ T_{ki}

-re csökken. Feltételezzük, hogy mindkét csőben a hőmérséklet csak hosszanti irányban változik, és hőátvitel csak a fémlapban való hővezetéssel, valamint a közegek mozgásával történik.
Igazoljuk, hogy a fenti feltevések mellett a hőmérséklet úgy változik mindkét csőben hosszirányban, hogy a fémlap két oldalán a hőmérséklet-különbség mindenütt állandó!
Határozzuk meg a

Δ T_{ki}

kilépési hőmérséklet-különbséget a megadott paraméterek függvényében! Előfordulhat-e, hogy a kezdetben hidegebb közeg végső hőmérséklete melegebb, mint a kezdetben meleg közeg kilépő hőmérséklete?

Fotonrakéta
A fotonrakéta olyan elképzelt rakéta, amely fotonokat használ hajtóanyagként. Tegyük fel, hogy a hajtómű ideális, tehát a rakéta tömegének egy részét fotonokká alakítja, amiket egyirányban, párhuzamosan kilövell. A rakéta nyugalomból indul, és kezdeti (nyugalmi) tömege

M

.
Határozzuk meg a hajtómű bekapcsolása után a rakéta

v

sebességét a rakéta

m

(nyugalmi) tömegének függvényében! (A

v

sebességet abban a rendszerben mérjük, amelyből a rakéta indult.)

Faraday-effektus
Ha átlátszó szigetelő anyagot homogén mágneses mezőbe helyezünk, és az anyagon a mágneses indukcióvektorral azonos irányba haladó, lineárisan polarizált fénynyalábot bocsátunk keresztül, akkor a közegből kilépő fény továbbra is lineárisan polarizált marad, azonban polarizációjának iránya a

B

mágneses indukcióval arányos

θ

szögben elfordul (2. ábra). Ebben a feladatban ennek az optikai forgatásnak (az ún. Faraday-effektusnak) a leírásával foglalkozunk.

2. ábra

Tekintsünk egy vákuumban elhelyezkedő,

L

hosszúságú, tömör szigetelő hengert, melynek szimmetriatengelye egybeesik a

z

tengellyel. Ha a henger egyik (

z = 0

-nál elhelyezkedő) körlapjára egy

y

irányban lineárisan polarizált,

z

irányba terjedő,

ω

körfrekvenciájú fényhullámot ejtünk, akkor az a hengerbe belépve a

z = 0^{+}

helyen (azaz a körlaphoz nagyon közel) az

\begin{matrix} E_{x} (t) = 0, E_{y} (t) = E_{0} cos (ω t) \end{matrix}

(

*

)

térerősség-komponensekkel írható le, ahol

E_{0}

pozitív konstans. Ez a hullám egyértelműen előállítható egy jobbra és egy balra cirkulárisan polarizált² fényhullám szuperpozíciójaként.
Bontsuk fel a fenti egyenletekkel megadott beeső fényhullámot kétféle cirkulárisan polarizált hullámra, és adjuk meg ezek

E_{x}^{jobb} (t)

és

E_{y}^{jobb} (t)

, valamint

E_{x}^{bal} (t)

és

E_{y}^{bal} (t)

térerősség-komponenseit a

z = 0^{+}

helyen. A választ

E_{0}

és

ω

felhasználásával adjuk meg.
A Faraday-effektus oka az ún. cirkuláris kettőstörés: a mágneses mező jelenlétében a jobbra, illetve balra cirkulárisan polarizált fényre vonatkozóan a szigetelő törésmutatója különböző,

n_{jobb}

és

n_{bal}

értékű.
Határozzuk meg, mekkora

θ

szöggel fordul el a beeső fényhullám polarizációs síkja, mialatt átjut a szigetelőből készült hengeren. A választ

L

n_{jobb}

n_{bal}

és a fény vákuumbeli

λ

hullámhossza segítségével adjuk meg, a henger körlapjain történő esetleges visszaverődést hagyjuk figyelmen kívül!
Az

n_{jobb}

és

n_{bal}

törésmutatók közötti különbség megértéséhez a közeg atomjainak a fénnyel és a homogén mágneses térrel való kölcsönhatását kell vizsgálnunk. A továbbiakban tegyük fel, hogy a szigetelő henger anyaga paramágneses³, azaz olyan atomokból áll, melyeknek van mágneses momentuma. Tekintsük az atom egy klasszikus modelljét, melyben az egymással nem kölcsönható, pontszerű elektronok a sokkal nagyobb tömegű mag körül körpályán keringenek. Az elektronok és az atommag spinjétől mindvégig tekintsünk el!
Adjuk meg az atom

μ

eredő mágneses momentumának és az elektronok eredő

N

perdületének hányadosát! A választ az

e

elemi töltéssel és az elektron

m

tömegével fejezzük ki!
Ha a paramágneses anyagban

z

irányú,

B

indukciójú mágneses mező is jelen van, akkor a közeg véletlenszerű orientációjú,

μ

mágneses momentumú atomjai elkezdenek a

z

tengely körül precesszálni. Határozzuk meg ennek a precessziónak az

ω_{p}

szögsebességét! A mágneses indukció irányához képest milyen körüljárású ez a mozgás?
Most vegyük figyelembe, hogy a homogén mágneses téren kívül az anyagban a

(*)

összefüggéssel megadott, lineáris polarizációjú fényhullám is jelen van. Az előző részfeladatban leírt precesszió miatt a fényhullám kétféle cirkulárisan polarizált összetevőjének térerősségvektora az atomokhoz képest

ω \pm ω_{p}

nagyságú szögsebességgel forog. Laboratóriumban előállítható mágneses terek esetén

ω_{p}

sokkal kisebb a látható fény

ω

körfrekvenciájánál. Ismert továbbá, hogy

B = 0

esetén a közeg törésmutatója (mind a jobbra, mind pedig a balra cirkulárisan poláros fényre nézve)

n (λ)

függvény szerint függ a benne haladó fény vákuumbeli

λ

hullámhosszától.
Az eddigi eredmények felhasználásával adjuk meg a közeg optikai forgatását jellemző

V = θ / (L B)

ún. Verdet-állandó értékét! Eredményünket a

c

fénysebesség, a fény vákuumbeli

λ

hullámhossza, valamint

e

m

és

d n / d λ

felhasználásával adjuk meg!
A szigetelő henger után egy síktükröt helyezünk el a fény útjára merőlegesen, így a fényhullám még egyszer áthalad (ellenkező irányban) a közegen. Összesen mekkora szöggel fordul el a fény polarizációja? A választ a

V

Verdet-állandóval, valamint

B

-vel és

L

-lel adjuk meg!

¹A versenyt két fordulóban, Budapesten rendezték meg 2018 márciusában. A feladatokat Tasnádi Tamás, Szász Krisztián és Vigh Máté állította össze.

²A cirkuláris polarizáció azt jelenti, hogy a tér tetszőleges pontjában az elektromos térerősségvektor nagysága időben állandó, iránya pedig $ω$ szögsebességgel forog a terjedési irányra merőleges síkban. A jobb- és balkezességet a térerősségvektor forgási iránya szabja meg.

³A paramágnes olyan anyag, melynek relatív permeabilitása $μ_{r} \approx 1$ , miközben $μ_{r} > 1$ .