A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Februári számunkban bemutattuk a módszer használatát egy matematikai probléma megoldásánál. Folytatásként nézzük meg, hogyan használható a szimulációs módszer a fizika területén, például az elektrosztatikában. Legyen egy térfogatban számú pontszerű töltés vákuumban. Adjuk meg az -edik ponttöltés nagyságát a számmal és helyét az helyvektorral (). A Coulomb-törvény segítségével a tér egy vektorral mutatott helyén kiszámítható az előbbi töltések által keltett térerősség és potenciál, melyek értékei | | Az összegzések egyszerűen elvégezhetők, nagyszámú ponttöltés esetén akár számítógépet is segítségül hívhatunk. A térerősség és a potenciál meghatározása összetettebb feladat, ha a töltések nem pontszerűek, hanem folytonos töltéseloszlások vannak a térrészben, például testeken vagy azok felületén. Ekkor a Gauss-törvény használatával néhány szimmetrikus esetben könnyen kiszámíthatóak az előbbi mennyiségek. Általános esetben azonban el kell végezni az összegzéseket, illetve helyettük ekkor integrálni szükséges. Ha például a töltés egy felületen, egyenletes töltéssűrűséggel helyezkedik el, akkor a felületet gondolatban nagyságú elemi részekre bontjuk, melyek mindegyikére töltés jut töltéssűrűséggel. Az összeg helyére ekkor a következő integrálok lépnek: | |
Az potenciál a tér minden pontjához egy skalár értéket rendel. A függvény általános esetben például úgy szemléltethető, hogy az értékeihez hozzárendeljük egy színskála színeit, és azokkal színezzük a térbeli pontokat. Szerencsére a problémák egy részében a feladat olyan töltéselrendezésű, amely valamely térirányban szimmetrikus, így sokszor elég egy síkmetszetben található töltéseket vizsgálni és ebben a síkban ismerni a térerősség és a potenciál értékét. Ekkor egy függvény, amely térben vagy akár síkban is ábrázolható, ez utóbbi esetben pl. szintvonalakkal vagy színekkel. Egy ponttöltés potenciálfüggvényének képe:
A potenciálfüggvény számítása összetett töltéseloszlások esetén nem egyszerű. A gyakorlati alkalmazások során elegendő a pontenciál közelítő értékének ismerete, ami a következő bolyongásos szimulációval végezhető. Példaként keressük egy síkbeli töltéseloszlás potenciálját. A sík vizsgált részét gondolatban osszuk fel elemi négyzetre, melyek mindegyike tartalmazhat elemi töltést, vagy üres. A sík minden négyzetének adjunk egy kezdetben zérus értéket, és indítsunk mindegyikből egy véletlenszerű mozgással rendelkező ,,részecskét''. A bolyongó részecske egy szimulációs lépésben a sík bármely négyzetéből egy csúcsban vagy élben vele szomszédos négyzetre léphet. Ha olyan mezőre ér, amelyben van töltés, akkor a mező töltése hozzáadódik a kiindulási hely értékéhez. A bolyongást minden négyzetre alkalommal elvégezzük, majd a kapott értékeket -sel osztjuk. Megmutatható, hogy az így létrejött függvény a töltések által létrehozott elektromos potenciált közelíti. A közelítés annál pontosabb, minél többször végezzük el a szimulációt, tehát értékének növelésével az eredmény pontosítható. A lap 2018. márciusi számában kitűzött I. 453. feladat lényegében ennek a szimulációnak az elvégzését és a potenciál színskálával történő ábrázolását tűzte ki feladatként a versenyzőknek. A négy ábrán egy -es, négyzet alakú terület látható:
| a bal felső képen a negatív és pozitív elemi töltések helye; |
| a jobb felső képen 5 szimuláció elvégzése után a potenciál szürkeárnyalatos ábrája; |
| az alsó sor képein ugyanez 20 és 100 szimuláció elvégzése után. |
A szimulációt végző program a fenti leírásnak, és az I. 453. feladatnak megfelelően a következő fontosabb részekből állítható össze:
1. | Adatok bevitele ( töltések koordinátái) |
3. | Szimuláció elvégzése -szer minden egységnégyzetre |
4. | értékeinek leképezése egy színskálára és ábrázolásuk |
A szimuláció elvégzéséhez érdemes fölvenni egy kétdimenziós tömböt, melynek értékei megadják az elhelyezett töltések értékét a téglalap -edik sorában és -edik oszlopában (vagy 0-t), illetve egy hasonló tömböt, amely a potenciál értékét tartalmazza a szimuláció során (kezdeti értéke 0). Mivel egy töltéssel rendelkező négyzetből induló bolyongás azonnal egy töltéshez ér, ezért azokon a helyeken, ahol nem nulla, értéke egyenlő értékével. Minden más esetben addig változtatunk helyet, amíg egy töltéssel rendelkező négyzethez nem érünk. Előfordulhat ugyan, hogy a bolyongás ,,kivezet'' a vizsgált területről, vagyis túllép a határokon. Ekkor két lehetőség közül választhatunk: vagy engedjük, hogy a bolyongás tetszőleges távolra vezessen, vagy abbahagyjuk a bolyongást, és nem változtatunk a kiindulási négyzet értékén, és új bolyongást indítunk. Az első esetben a program igen sokáig futna, amit nem szeretnénk, ezért érdemes a második esetet választani, illetve a vizsgált terület méreteit úgy megadni, hogy a töltések ne a szélén helyezkedjenek el. Így az elkóborlás esélye csekély, és nem befolyásolja számottevően a szimuláció eredményét. A program többi részének elkészítése nem nehéz, az elkészült programok megnézhetők és tesztelhetők honlapunkon az I. 453. feladatnál. |