Kezdőlap


Cím:	Monte-Carlo-módszerek 2.
Szerző(k):	Schmieder László
Füzet:	2018/május, 290 - 292. oldal	PDF \| MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek, Programozás, algoritmusok
Hivatkozás(ok):	2018/február: Monte-Carlo-módszerek 1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

Februári számunkban bemutattuk a módszer használatát egy matematikai probléma megoldásánál. Folytatásként nézzük meg, hogyan használható a szimulációs módszer a fizika területén, például az elektrosztatikában. Legyen egy $V$ térfogatban $N$ számú pontszerű töltés vákuumban. Adjuk meg az $i$ -edik ponttöltés nagyságát a $Q_{i}$ számmal és helyét az $r_{i}$ helyvektorral ( $1 \leq i \leq N$ ). A Coulomb-törvény segítségével a tér egy $r$ vektorral mutatott helyén kiszámítható az előbbi töltések által keltett $E(r)$ térerősség és $U (r)$ potenciál, melyek értékei

\begin{matrix} E(r) = k \sum_{i = 1}^{N} \frac{Q_{i} (r - r_{i})}{| r - r_{i} |^{3}} és U (r) = k \sum_{i = 1}^{N} \frac{Q_{i}}{| r - r_{i} |} . \end{matrix}

Az összegzések egyszerűen elvégezhetők, nagyszámú ponttöltés esetén akár számítógépet is segítségül hívhatunk.
A térerősség és a potenciál meghatározása összetettebb feladat, ha a töltések nem pontszerűek, hanem folytonos töltéseloszlások vannak a térrészben, például testeken vagy azok felületén. Ekkor a Gauss-törvény használatával néhány szimmetrikus esetben könnyen kiszámíthatóak az előbbi mennyiségek. Általános esetben azonban el kell végezni az összegzéseket, illetve helyettük ekkor integrálni szükséges. Ha például a

Q

töltés egy

A

felületen, egyenletes töltéssűrűséggel helyezkedik el, akkor a felületet gondolatban

d A

nagyságú elemi részekre bontjuk, melyek mindegyikére

d Q = Q \frac{d A}{A}

töltés jut

σ = \frac{Q}{A}

töltéssűrűséggel. Az összeg helyére ekkor a következő integrálok lépnek:

\begin{matrix} E(r) = k \int_{A}^{} \frac{σ (r - r_{d A})}{| r - r_{d A} |^{3}} d A és U (r) = k \int_{A}^{} \frac{σ}{| r - r_{d A} |} d A . \end{matrix}

U (r)

potenciál a tér minden pontjához egy skalár értéket rendel. A függvény általános esetben például úgy szemléltethető, hogy az értékeihez hozzárendeljük egy színskála színeit, és azokkal színezzük a térbeli pontokat. Szerencsére a problémák egy részében a feladat olyan töltéselrendezésű, amely valamely térirányban szimmetrikus, így sokszor elég egy síkmetszetben található töltéseket vizsgálni és ebben a síkban ismerni a térerősség és a potenciál értékét. Ekkor

U

egy

R^{2} \to R

függvény, amely térben vagy akár síkban is ábrázolható, ez utóbbi esetben pl. szintvonalakkal vagy színekkel. Egy ponttöltés potenciálfüggvényének képe:

A potenciálfüggvény számítása összetett töltéseloszlások esetén nem egyszerű. A gyakorlati alkalmazások során elegendő a pontenciál közelítő értékének ismerete, ami a következő bolyongásos szimulációval végezhető. Példaként keressük egy síkbeli töltéseloszlás potenciálját. A sík vizsgált részét gondolatban osszuk fel

N \times M

elemi négyzetre, melyek mindegyike tartalmazhat

\pm q

elemi töltést, vagy üres. A sík minden négyzetének adjunk egy kezdetben zérus

p (n, m)

értéket, és indítsunk mindegyikből egy véletlenszerű mozgással rendelkező ,,részecskét''. A bolyongó részecske egy szimulációs lépésben a sík bármely négyzetéből egy csúcsban vagy élben vele szomszédos négyzetre léphet. Ha olyan mezőre ér, amelyben van töltés, akkor a mező töltése hozzáadódik a kiindulási hely

p (n, m)

értékéhez. A bolyongást minden négyzetre

S

alkalommal elvégezzük, majd a kapott

p (n, m)

értékeket

S

-sel osztjuk. Megmutatható, hogy az így létrejött

p (n, m)

függvény a

q_{i}

töltések által létrehozott elektromos potenciált közelíti. A közelítés annál pontosabb, minél többször végezzük el a szimulációt, tehát

S

értékének növelésével az eredmény pontosítható.
A lap 2018. márciusi számában kitűzött I. 453. feladat lényegében ennek a szimulációnak az elvégzését és a potenciál színskálával történő ábrázolását tűzte ki feladatként a versenyzőknek.
A négy ábrán egy

50 \times 50

-es, négyzet alakú terület látható:

$•$	a bal felső képen a negatív és pozitív $\pm q$ elemi töltések helye;

$•$	a jobb felső képen 5 szimuláció elvégzése után a potenciál szürkeárnyalatos ábrája;

$•$	az alsó sor képein ugyanez 20 és 100 szimuláció elvégzése után.

A szimulációt végző program a fenti leírásnak, és az I. 453. feladatnak megfelelően a következő fontosabb részekből állítható össze:

1.	Adatok bevitele ( $N, M, S, \pm q_{i}$ töltések koordinátái)

2.	Kezdőértékek megadása

3.	Szimuláció elvégzése $S$ -szer minden egységnégyzetre

4.	$p (n, m)$ értékeinek leképezése egy színskálára és ábrázolásuk

A szimuláció elvégzéséhez érdemes fölvenni egy

q

kétdimenziós tömböt, melynek értékei megadják az elhelyezett töltések értékét a téglalap

n

-edik sorában és

m

-edik oszlopában (vagy 0-t), illetve egy hasonló

p

tömböt, amely a potenciál értékét tartalmazza a szimuláció során (kezdeti értéke 0).
Mivel egy töltéssel rendelkező négyzetből induló bolyongás azonnal egy töltéshez ér, ezért azokon a helyeken, ahol

q (n, m)

nem nulla,

p (n, m)

értéke egyenlő

q (n, m)

értékével. Minden más esetben addig változtatunk helyet, amíg egy töltéssel rendelkező négyzethez nem érünk. Előfordulhat ugyan, hogy a bolyongás ,,kivezet'' a vizsgált területről, vagyis túllép a határokon. Ekkor két lehetőség közül választhatunk: vagy engedjük, hogy a bolyongás tetszőleges távolra vezessen, vagy abbahagyjuk a bolyongást, és nem változtatunk a kiindulási négyzet

p

értékén, és új bolyongást indítunk. Az első esetben a program igen sokáig futna, amit nem szeretnénk, ezért érdemes a második esetet választani, illetve a vizsgált terület méreteit úgy megadni, hogy a töltések ne a szélén helyezkedjenek el. Így az elkóborlás esélye csekély, és nem befolyásolja számottevően a szimuláció eredményét.
A program többi részének elkészítése nem nehéz, az elkészült programok megnézhetők és tesztelhetők honlapunkon az I. 453. feladatnál.