Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Varga Péter
Füzet:	2018/április, 200 - 203. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Egy katonai laktanyában az ábrán látható őrbódéban őrködnek a katonák. A 3,5 m magas építmény egy négyzetes hasábból és egy hozzá kapcsolódó szabályos négyoldalú gúlából áll. Bejárata téglalap alakú, annak felső, rövidebb oldalára illesztett félkörrel. A négyzetes oszlop alapéle 1,3 m, magassága 2,5 m, míg a bejárat téglalap alakú része 0,8 m széles és 1,8 m magas.     $a)$ Mennyibe kerül az őrbódé külső lefestése, ha $1{\text{m}}^2$ felület lefestéséhez 1,5 dl festék szükséges, melynek literje 3200 Ft? (Az őrbódé tetejét is festjük, ajtaját azonban nem.)  (6 pont) A laktanyában a hétvégi (pénteki, szombati és vasárnapi) éjszakai őrség kialakításakor a parancsnok az alábbi szempontokat veszi figyelembe: $•$ Minden katona legalább egy éjszaka őrködjön, de ne legyen olyan katona, aki mindhárom éjszaka őrségben van. $•$ A teljes létszámnak a fele teljesítsen pontosan két éjszaka őrszolgálatot. $•$ Az őrség létszáma az első éjszaka 16 fő, a második éjszaka 22 fő, míg a harmadik éjszaka 10 fő. $b)$ Hány katona vett részt az éjszakai őrségben?  (5 pont)   2. Egy szabályos dobókockával 20-szor dobva 5 db egyest, 5 db kettest, 4 db hármast, 3 db négyest és 3 db ötöst dobtunk. $a)$ Számítsuk ki a dobott számok átlagát és szórását.  (3 pont) A dobott számok közül 4 db-ot véletlenszerűen kiválasztunk. $b)$ Hány esetben lesz a kiválasztott számok között legalább egy hármas?  (4 pont) $c)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy mind a négy kiválasztott szám különböző?  (6 pont)   3. $a)$ Az $\text{u}\left(1;\text{log}{}_{8}x\right)$ és $\text{v}\left(\text{log}{}_{2}x;-1\right)$ vektorok merőlegesek egymásra. Határozzuk meg $x$ értékét $\left(x>0\right)$.  (5 pont) $b)$ Adott a síkon $n$ db pont, melyek közül semelyik három nem illeszkedik egy egyenesre $\left(n\ge 3\right)$. Határozzuk meg $n$ értékét, ha a pontok 20-szor annyi négyszöget határoznak meg, mint egyenest.  (8 pont)   4. Adott az $f:\text{R}\to \text{R}$, $x\mapsto x^4+3x^2+1$ függvény. $a)$ Igazoljuk, hogy az $f$ függvény szigorúan monoton csökken a negatív valós számok halmazán.  (3 pont) $b)$ Igazoljuk, hogy az $f$ függvény páros.  (4 pont) $c)$ Adjuk meg az $f$ függvénynek azt az $F$ primitív függvényét, amelyre $F\left(-1\right)=2$.  (4 pont) $d)$ Állapítsuk meg a $\underset{x\to \infty }{\overset{}{\underset{}{\overset{}{\text{lim}}}}}\frac{3x^2+1}{x^4}$ határértéket.  (3 pont)   II. rész     5. $a)$ A tízes számrendszerben felírt $\overline{abc}$ háromjegyű szám számjegyei a felírás sorrendjében egy számtani sorozat egymást követő három elemét alkotják. Ha a háromjegyű számot elosztjuk a számjegyeinek összegével, 26-ot kapunk. Ha az eredeti számban a százasok és az egyesek számát felcseréljük, az eredetinél 396-tal nagyobb számot kapunk. Melyik ez a háromjegyű szám?  (7 pont) $b)$ Adjuk meg azokat a különböző számjegyekből álló tízes számrendszerben felírt $\overline{a6c}$ alakú háromjegyű számokat, amelyek a 4, 6 és 9 számok közül pontosan kettővel oszthatók.  (7 pont) $c)$ Lehet-e $a^p\cdot b^q\cdot c^r$ négyzetszám, ha $a$, $b$ és $c$ különböző prímszámok, $p$, $q$ és $r$ pedig különböző páratlan egészek?  (2 pont)   6. Egy földmérő noteszában egy vízszintes háromszög alakú telekről a következő bejegyzés olvasható: ,,A telek három sarkán villanypózna, fúrt kút és gázcsonk található. A villanypózna a fúrt kúttól 46 méterre, a fúrt kút a gázcsonktól 20 méterre található. A villanypóznánál állva a fúrt kút és a gázcsonk alkotta szakasz 25$°$-os szögben látszik.'' $a)$ Számítsuk ki a háromszög alakú telek lehetséges területét.  (5 pont) Az előbbi telken a víz-, a gáz- és az elektromos ellátottság nagyon fontos, ugyanis azon kereskedelmi egység épül. Az elektromos rendszer költsége a víz- és a gázellátás költségeinek mértani közepe. Ha a gázellátás költségeit 100 000 Ft-tal csökkentenénk, akkor a víz-, az elektromos- és a gázellátás költségei ebben a sorrendben számtani sorozatot alkotnának. Az elektromos költségek a vízellátás költségeinek 150át teszik ki. $b)$ Mennyibe kerülnek a felsorolt közművek egyenként?  (6 pont) A telken a víz-, gáz- és az elektromos ellátottság kivitelezésére hat árajánlat érkezett hat különböző vállalkozástól. $c)$ Igazoljuk, hogy a versenytárgyalás résztvevői között biztosan van három olyan személy, akik kölcsönösen ismerik, vagy három olyan, akik kölcsönösen nem ismerik egymást (Egy vállalkozást egy tárgyalópartner képvisel).  (5 pont)   7. Tekintsük a következő, fagráfra vonatkozó állítást: Ha 5 fagráfnak összesen 41 éle van, és ezeket a fagráfokat egy gráfnak tekintjük, akkor ezen gráf pontjainak száma páros. $a)$ Adjuk meg az előbbi állítás logikai értékét (igaz vagy hamis). A választ indokoljuk.  (3 pont) $b)$ Igazoljuk, hogy ha egy ötpontú egyszerű gráfnak 8 éle van, akkor a gráfnak van legalább két olyan pontja, amelyből pontosan három él indul ki.  (5 pont) 2017. november 8-án a Fővárosi Állat- és Növénykertben kiselefánt született. A hírt először csak az állat egyik gondozója tudja. $c)$ Hányféleképpen juthat el a hír a többi 4 gondozóhoz, ha mindenki telefonon beszél a másikkal, és a lehető legkevesebb hívással értesül mindenki a hírről?  (8 pont)   8. Az ábrán egy 300 méter hosszú egyenes alagút bejárata látható, mely egy 8 méter sugarú kör egy része. Az alagúton keresztülvivő autóút az alagút tetejétől 9,5 méterre található.     $a)$ Milyen széles az autóút?  (3 pont) $b)$ Mekkora térfogatú kőzetmennyiséget kellett eltávolítani az alagút fúrása során?  (5 pont) Egy túlméretes szállítmány olyan téglatest alakú tárgyat szállít, melyet a jármű 1,5 méter magasan lévő platójára helyeznek. $c)$ Mekkora lehet legfeljebb egy olyan tárgy keresztmetszete, ami még átvihető a kétsávos alagúton szabályosan közlekedve?  (8 pont)   9. A gumiszerelő műhelyben a szakember tudja, hogy normál körülmények között a gépjárművek első ‐ meghajtott ‐ két kerekén lévő gumik 30 000 kilométer alatt, a hátsó gumik 50 000 kilométer alatt kopnak el. $a)$ Hány kilométert képes biztonságosan autózni adott gumiszettel az autós, ha az első- és hátsó tengelyen lévő kerekek egymással kicserélhetők?  (6 pont) A személygépkocsikra való gumik gyártósoráról lekerülő termékeket nagyon alaposan ellenőrzik. Egy gyártósori széria jellemzően 80 000 gumit tartalmaz, melyből általában 400 darab hibás (méret és/vagy anyag összetételi eltérés miatt). Az automatikus minőségellenőrzésen az ellenőrző berendezés csak a valóban hibás gumik 99%-át találja meg, a jó termékek 2%-át viszont hibásnak minősíti. $b)$ Mekkora annak a valószínűsége, hogy az automatikus ellenőrző berendezés által hibásnak minősített gumi valóban hibás?  (5 pont) $c)$ Mekkora valószínűséggel képes az automatikus ellenőrző berendezés a jó minősítést megállapítani?  (5 pont)