Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Kántor Sándor
Füzet:	2018/március, 140 - 142. oldal	PDF  |  MathML
Hivatkozás(ok):	2018/április: Megoldásvázlatok a 2018/3. sz. emelt szintű matematika gyakorló feladatsorhoz

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Oldjuk meg a valós számok halmazán az alábbi egyenleteket (ha a megoldás pontos értéke nem racionális szám, akkor közelítő értéket is adjunk): $a)$ $3^{2x+2}+9^{2x+1}=4$.  (5 pont) $b)$ $\text{log}{}_2\left(x-3\right)+{\left(\text{log}{}_4\left(8x-24\right)\right)}^2=6\mathrm{,}25$.  (7 pont)   2. Egy háromszög oldalhosszai olyan számtani sorozat első három eleme, amelynek második eleme 6. $a)$ Adjuk meg azt a számhalmazt (a legegyszerűbb alakú) pontos értékekkel, amelynek elemei az ilyen háromszögek területei.  (7 pont) $b)$ Van-e az ilyen háromszögek között maximális területű, van-e minimális területű? Ha igen, akkor melyik az?  (2 pont) $c)$ Van-e az ilyen háromszögek között két olyan, amelyeknél a beírt kör sugara egyenlő? Ha igen, akkor melyek azok?  (3 pont)   3. Egy ügyfél egy bankból 1980-ban felvett egymillió Ft kölcsönt, évi 5%-os kamatra, 20 évi, évente egyszeri, azonos összegű törlesztési kötelezettséggel. $a)$ Mennyi volt az évi törlesztési összeg, 10 Ft-ra kerekítve?  (5 pont) A kölcsönszerződést nem lehetett megváltoztatni a növekvő infláció ellenére sem, pedig 1992-ben (12 évvel a tárgyalt hitelfelvétel után) már a bank adott 10%-os kamatot a nála elhelyezett pénzre. Ezért a bank a fent leírt kölcsön felvevőjének felajánlotta, hogy hátralevő tartozását megszüntetheti, ha az éppen fennálló tartozásának 90%-át kifizeti. $b)$ Mennyivel tartozott az ügyfél 12 év leteltével?  (4 pont) $c)$ Mennyit helyezzen el az ügyfél egy (másik) bankban, hogy abból az eredeti törlesztő részletét évente kivéve és 10%-os kamattal számolva 8 év alatt megszüntesse a tartozását? Érdemes-e elfogadni a bank ajánlatát, vagy kisebb összegnek egy (másik) bankban való elhelyezésével érdemes tovább törleszteni a tartozását?  (4 pont)   4. Jelölje $k$ azt a kört, amelyik érinti a koordináta-rendszer $x$ tengelyét, és érinti az $f\left(x\right)=\frac{1}{3}\left(x^2+20\right)$ $\left(x\in \text{R}\right)$ függvény grafikonját a függvénynek a 2 abszcisszájú pontjában. (A függvény grafikonjának az érintése egy pontban azt jelenti, hogy az érintő kör ebben a pontban érinti a grafikonhoz az adott pontban húzott érintőt, és az érintő elválasztja a grafikont és a kört.) $a)$ Írjuk fel a $k$ kör egyenletét.  (7 pont) $b)$ Mennyi annak a korlátos síkidomnak a területe, amelyet az $y$ tengely, az $x$ tengely, a $k$ kör és a függvény grafikonja határol?  (7 pont)   II. rész     5. $a)$ Oldjuk meg az $X$ halmazra az $A\setminus X=B$; $A\cup X=C$ egyenletrendszert, ahol az adott $A$, $B$, $C$ halmazokra $B\subset A\subset C$ teljesül.  (6 pont) $b)$ Igazoljuk, hogy az $A$ és $B$ ítéletekre az $\left(A\vee B\right)^\left(A\vee \neg B\right)$ és $A$ ítéletek ekvivalensek.  (6 pont) $c)$ Igaz-e, hogy $\forall H\subset {\text{R}}^{+}$ és $\forall h\in H$ esetén $\exists n\in {\text{N}}^{+}$ úgy, hogy $\frac{1}{n}<h<n$? Ha nem, akkor adjunk rá példát, ha igen, akkor írjuk le, hogy az ilyen $n$ függ-e a $h$-tól, vagy nem? Állításunkat bizonyítani nem kell.  (4 pont)   6. $a)$ Hány olyan 2018 pontú, páronként nem izomorf fagráf van, amelyekben nincs háromnál több élt tartalmazó út?  (11 pont) $b)$ Hol helyezkednek el a koordináta-rendszerben azoknak a 2018 pontú fagráfoknak a pontjai, amelyek mindegyikének pontja az origó, és minden élének a két végpontja olyan $\left(x_1;y_1\right)$, $\left(x_2;y_2\right)$ pont, amelyre $x_1$, $y_1$, $x_2$, $y_2$ egész számok, és az $\left(x_1-x_2\right)$, $\left(y_1-y_2\right)$ számoknak az egyike 0, a másik 0, 1, vagy $-1$.  (5 pont)   7. Egy társaság 5 nőből és 5 férfiből áll, és köztük két házaspár van. $a)$ Hányféleképpen ülhetnek le egy kerek asztal köré, ha minden nő mindkét oldalán férfi ül? Két leülés különböző, ha van olyan személy a társaságban akinek a két leülésnél legalább az egyik oldal (jobb vagy bal) felől nem ugyanaz ül, mint a másik leülésnél.  (4 pont) $b)$ Hányféleképpen ülhetnek le egy kerek asztal köré, ha minden nő mindkét oldalán férfi ül, és mindkét férj a felesége jobb oldalán ül (két leülés különböző olyan módon, mint az $a)$ esetnél).  (4 pont) $c)$ Mennyi annak a valószínűsége, hogy a társaság úgy ül le, hogy minden nő mindkét oldalán férfi ül, de egyik férfi sem ül a felesége mellett?  (8 pont)   8. Legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(x\right)=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \text{sin}2x\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }0\le x\le \pi \mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle |2\text{sin}\left(x-\pi \right)|\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha }\pi \le x\le 3\pi \mathrm{.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ $a)$ Differenciálható-e a függvény az $x_0=\pi$ pontban?  (4 pont) $b)$ Adjuk meg azt a legbővebb halmazt, amelyen a függvény szigorúan monoton növekvő, és amelyen szigorúan monoton csökkenő.  (6 pont) $c)$ Adjuk meg bizonyítás nélkül a függvény szélsőértékeinek helyét és értékét, de jelezzük nem csak azt, hogy minimum vagy maximum, hanem a szélsőértéknek a szigorú, a helyi és az abszolút tulajdonságát is.  (6 pont)   9. Egy könyvesboltban három kiadónak (jelölésük legyen A, B, C) mind a négy középiskolai évfolyam részére szóló matematika tankönyve megtalálható, áruk az évfolyamtól nem, csak a kiadótól függően rendre 1500 Ft, 1800 Ft és 2000 Ft. A könyvekről a boltban levő példányok számára vonatkozóan az alábbi adatok állnak rendelkezésünkre. ${\displaystyle \begin{array}{cc}{\displaystyle \text{ 9. évfolyamos:}}\hfill & {\displaystyle \text{A-ból 102 db, B-ből 120 db, C-ből 78 db van;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 10. évfolyamos:}}\hfill & {\displaystyle \text{összesen 220 db van, áruk átlagosan 1750 Ft;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 11. évfolyamos:}}\hfill & {\displaystyle \text{összesen 210 db van, áruk átlagosan 1760 Ft;}}\hfill \\ {\displaystyle \text{ 12. évfolyamosról:}}\hfill & {\displaystyle \text{nincs adat, }}\hfill \end{array}}$ de tudjuk, hogy a négy évfolyaméból együtt (tehát az összes könyv) 810 db van, áruk átlagosan 1760 Ft. (Az átlagok egészre kerekített értékek). $a)$ Mennyi a raktáron levő 9. évfolyamos könyvárak módusza, mediánja, átlaga és szórása?  (6 pont) $b)$ Mit tudunk a fenti adatok alapján a 12. évfolyamos könyvek számáról és átlagáráról?  (5 pont) $c)$ Ha az A kiadó raktárban levő könyveinek a száma 305, akkor mennyi a B és a C kiadók raktárban levő könyveinek száma, egészre kerekítve (az átlagok is egészre kerekített értékek voltak)?  (5 pont)