Cím:	Rácsok és csoportok 2.
Szerző(k):	Kiss Emil ,  Simányi Nándor
Füzet:	2018/március, 130 - 139. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek
Hivatkozás(ok):	2018/január: Rácsok és csoportok 1.

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.   4. Vandermonde-mátrixok Most rátérünk az olimpiai feladatban szereplő rács vizsgálatára. Rögzítsünk $\left(a_i\mathrm{,}{b}_i\right)$ egész számpárokat ($1\le i\le k$), ahol $a_i$ és $b_i$ relatív prímek. Adott $n>0$ esetén legyen $M_n$ az az egész elemű, $k$ sorból és $n+1$ oszlopból álló mátrix, amelyben az $i$-edik sor $j$-edik eleme $a_i^{n-j+1}{b}_i^{j-1}$ és $A_n$ az $M_n$ oszlopai által generált csoport.   4.1. Az $M_n$ determinánsosztóinak meghatározása. Fölhasználjuk az egész együtthatós többváltozós polinomok számelméletét. Az alábbiak a [3] könyv második és harmadik fejezetéből megérthetők, különös tekintettel a 3.4. szakaszra.   4.1. tétel. A $\text{Z}\left[x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n\right]$ polinomjai között igaz a számelmélet alaptétele, azaz minden nullától és egységtől különböző polinom sorrendtől és egységszerestől eltekintve egyértelműen bontható irreducibilisek szorzatára. A prím és irreducibilis polinomok ugyanazok, és csak $\pm 1$ egység. A $\text{Z}$-beli prímszámok prímek $\text{Z}\left[x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n\right]$-ben is.   Egy polinom akkor primitív, ha együtthatóinak közös osztója csak egység lehet. Egy elsőfokú polinom nem feltétlenül irreducibilis, például $\text{Z}\left[x\right]$-ben $2x$ nem az, hiszen a $2\cdot x$ fölbontásban egyik tényező sem egység. Ha azonban primitív is, akkor már irreducibilis lesz, és egyben prímtulajdonságú. Ez akkor is igaz, ha az együtthatói nem egész számok, hanem egész együtthatós, akár többváltozós polinomok.   4.2. következmény. A $\text{Z}\left[x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n\right]$-beli $x_i{x}_j-x_k{x}_{\ell }$ polinom irreducibilis abban az esetben, ha $i\mathrm{,}j\mathrm{,}k\mathrm{,}\ell$ páronként különböző. Két ilyen polinom különböző négyelemű indexhalmazok esetében biztosan nem egymás egységszerese.   4.3. lemma. Legyen a $k\times k$-as $K$ mátrixban az $i$-edik sor $j$-edik eleme $x_i^{k-j}{y}_i^{j-1}$. Ekkor $\text{det}\left(K\right)=\prod _{1\le i<j\le k}^{}\left(x_i{y}_j-y_i{x}_j\right)$.   Bizonyítás. Képzeljük először azt, hogy $x_i$ és $y_i$ változók, így a determináns elemei $\text{Z}\left[x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_k\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{y}_k\right]$-beli polinomok. Emeljünk ki a determináns $i$-edik sorából $x_i^{k-1}$-et mindegyik $i$-re (ez megtehető, mert $x_i\ne 0$). Az eredmény egy Vandermonde-determináns lesz az $y_i/x_i$ generátorokkal, melynek értéke $\prod _{1\le i<j\le k}^{}\left(\left(y_j/x_j\right)-\left(y_i/x_i\right)\right)$. A nevezőkkel szorozva az állítást kapjuk. Így azonosságot kaptunk. Ha az $x_i$ és $y_i$ helyébe bármilyen számokat (sőt polinomokat, akár $\text{mod}p$ maradékosztályokat) helyettesítünk, az egyenlőség e helyettesítés után is érvényben fog maradni. (Még akkor is, ha valamelyik $x_i$ helyébe nullát írunk.)  $\square$   4.4. állítás. Ha $n+1\ge k$, akkor az $M_n$ mátrix $k$-adik determinánsosztója $\begin{array}{c}{\displaystyle \Delta =\prod _{1\le i<j\le k}^{}\left(a_i{b}_j-b_i{a}_j\right)=\text{det}\left(M_{k-1}\right)\mathrm{,}}\end{array}$ az $n$ értékétől függetlenül. (Ha $k=1$, akkor $\Delta =1$, mint üres szorzat).   Bizonyítás. Legyen ${\Delta }_k$ az $M_n$ mátrix $k$-adik determinánsosztója. Azt fogjuk megmutatni, hogy a $\Delta$ és ${\Delta }_k$ számok egymás osztói. A ${\Delta }_k\mid \Delta$ bizonyításához legyenek $x_i$ és $y_i$ változók ($1\le i\le n-k+1$). Egészítsük ki az $M_n$ mátrixot úgy, hogy az utolsó $k$ sora maradjon az, ami eredetileg volt, az első $n-k+1$ sorában pedig az $i$-edik sor $j$-edik eleme legyen $x_i^{n-j+1}{y}_i^{j-1}$. A kapott négyzetes mátrix determinánsát a 4.3. lemma segítségével számíthatjuk ki. Az így adódó szorzatot bontsuk három részre: $P_1{P}_2{P}_3$, ahol ${\displaystyle \begin{array}{ccc}\hfill {\displaystyle P_1}& {\displaystyle ={\prod }_{1\le i<j\le n-k+1}\left(x_i{y}_j-y_i{x}_j\right)\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>1</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle P_2}& {\displaystyle =\prod \left(x_i{b}_j-y_i{a}_j\right)\mathrm{,}\text{ ahol }1\le i\le n-k+1\text{ és }1\le j\le k\mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>2</mn>)}\\ \hfill {\displaystyle P_3}& {\displaystyle ={\prod }_{1\le i<j\le k}\left(a_i{b}_j-b_i{a}_j\right)=\Delta \mathrm{.}}\hfill & \text{(<mn>3</mn>)}\end{array}}$ A Laplace-kifejtés (2.1. tétel) miatt a determináns $P_1{P}_2{P}_3$ értéke fölírható az $M_n$ mátrix $k\times k$-as aldeterminánsainak olyan lineáris kombinációjaként, amelynek együtthatói $R=\text{Z}\left[x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_{n-k+1}\mathrm{,}{y}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{y}_{n-k+1}\right]$-ből valók. Ezért $R$-ben a ${\Delta }_k$ szám osztója a $P_1{P}_2{P}_3=P_1{P}_2\Delta$ szorzatnak. Tegyük föl indirekt, hogy van olyan $p$ prímszám, melynek ${\Delta }_k$-beli kitevője nagyobb, mint a $\Delta$-beli kitevője. Mivel $R$-ben igaz a számelmélet alaptétele, és $p$ ebben is prímszám (4.1. tétel), ezért $p\mid P_1{P}_2$. Tehát vagy $p\mid x_i{y}_j-y_i{x}_j$, vagy $p\mid x_i{b}_j-y_i{a}_j$ alkalmas $i\mathrm{,}j$-re. Ez azonban lehetetlen, mert $a_j$ és $b_j$ relatív prímek, és így mindkét polinom primitív. Tehát tényleg ${\Delta }_k\mid \Delta$. A fordított oszthatósághoz azt kell igazolnunk, hogy $\Delta$ osztója $\text{det}\left(K\right)$-nak, ha $K$ az $M_n$ egy tetszőleges $k\times k$-as részmátrixa. Vegyünk föl $u_i$, $v_i$ változókat ($1\le i\le k$), és írjuk föl az $M_n$ mátrixot, valamint a $\Delta$ és $\text{det}\left(K\right)$ számokat is $a_i$ helyett $u_i$-vel és $b_i$ helyett $v_i$-vel (azaz képzeljünk az $a_i$ és $b_i$ számok helyébe változókat). Nyilván elegendő az oszthatóságot ebben az esetben igazolni. Rögzített $i<j$ mellett legyen $d=u_i{v}_j-v_i{u}_j$, és írjuk föl $\text{det}\left(K\right)$ Laplace-kifejtését (2.1. tétel) arra az esetre, amikor a soroknak a kételemű $\left\{i\mathrm{,}j\right\}$ indexhalmazát vesszük. Azt kapjuk, hogy $\text{det}\left(K\right)$ előáll az $i$-edik és $j$-edik sorból képzett kétszer kettes aldeterminánsok lineáris kombinációjaként. Ezek a kétszer kettes aldeterminánsok mind oszthatók $d$-vel: ha a két oszlopindex $s<t$, akkor $\begin{array}{c}{\displaystyle \left|{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle u_i^{n-s+1}{v}_i^{s-1}}\hfill & \hfill {\displaystyle u_i^{n-t+1}{v}_i^{t-1}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle u_j^{n-s+1}{v}_j^{s-1}}\hfill & \hfill {\displaystyle u_j^{n-t+1}{v}_j^{t-1}}\hfill \end{array}}\right|=v_i^{s-1}{u}_i^{n-t+1}{v}_j^{s-1}{u}_j^{n-t+1}\left|{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle u_i^{t-s}}\hfill & \hfill {\displaystyle v_i^{t-s}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle u_j^{t-s}}\hfill & \hfill {\displaystyle v_j^{t-s}}\hfill \end{array}}\right|\mathrm{,}}\end{array}$ és az $a-b\mid a^{t-s}-b^{t-s}$ szabály miatt $u_i{v}_j-v_i{u}_j\mid {\left(u_i{v}_j\right)}^{t-s}-{\left(v_i{u}_j\right)}^{t-s}$. Így $d\mid \text{det}\left(K\right)$. Beláttuk tehát, hogy $\text{det}\left(K\right)$ osztható az $u_i{v}_j-v_i{u}_j$ mindegyikével. Ezek a polinomok azonban páronként relatív prímek a 4.2. következmény miatt. A számelmélet alaptétele miatt e polinomok szorzata, ami $\Delta$, szintén osztója $\text{det}\left(K\right)$-nak.  $\square$   4.5. feladat. Számítsuk ki $M_n$ összes determinánsosztóját.   Útmutatás. Az $a_i$ és a $b_i$ relatív prímek, ezért ${\Delta }_1=1$. Ha $2\le r\le \underset{}{\overset{}{\text{min}}}\left(k\mathrm{,}n+1\right)$, akkor vegyük $\left\{\mathrm{1,}\text{...}\mathrm{,}k\right\}$ egy $r$ elemű $S$ részhalmazát, és álljon az $M$ mátrix az $M_n$ ennek megfelelő soraiból. A 4.4. lemma miatt az $M$ mátrix $r\times r$-es aldeterminánsainak legnagyobb közös osztója azon $a_i{b}_j-b_i{a}_j$ számok ${\Delta }_S$ szorzata, amelyekre $i\mathrm{,}j\in S$ és $i<j$. Az összes $r\times r$-es aldetermináns legnagyobb közös osztója tehát ezeknek a ${\Delta }_S$ számoknak a legnagyobb közös osztója. Így ${\Delta }_r$ sem függ az $n$ választásától.  $\square$   4.2. Redukció prímhatvány modulusra. Egy vektort hívjunk $s$-sel oszthatónak, ha mindegyik komponense osztható $s$-sel. Az $s$-sel osztható vektorok halmazát jelölje $s{\text{Z}}^k$. Azt mondjuk, hogy egy $A$ csoport tartalmazza a $\text{v}$ vektort $\text{mod}s$, ha $\text{v}$ fölírható egy $s$-sel osztható és egy $A$-beli vektor összegeként, azaz $\text{v}\in s{\text{Z}}^k+A$.   4.6. lemma. Legyen $A\subseteq {\text{Z}}^k$ egy csoport, $\text{v}\in {\text{Z}}^k$ és $s$, $t$ relatív prím egészek. Ha $A$ tartalmazza $\text{v}$-t $\text{mod}s$ és $\text{mod}t$, akkor tartalmazza $\text{mod}st$ is.   Bizonyítás. Legyen $v=su+g=tw+h$, ahol $g\mathrm{,}h\in A$ és $u\mathrm{,}w\in {\text{Z}}^k$. Mivel $\left(s\mathrm{,}t\right)=1$, van olyan $e\mathrm{,}f\in \text{Z}$, hogy $se+tf=1$. Ekkor $v=sev+tfv=se\left(tw+h\right)+tf\left(su+g\right)=st\left(ew+fu\right)+\left(seh+tfg\right)\in st{\text{Z}}^k+A$.  $\square$   Ha $A$ indexe ${\text{Z}}^k$-ban $\Delta$, akkor a 3.5. feladat szerint minden $\Delta$-val osztható vektor eleme $A$-nak. Ha tehát be akarjuk látni, hogy $\text{v}\in A$, akkor elegendő megmutatni, hogy a $\Delta$ index minden $q$ prímhatvány-osztója esetén $\text{v}$ benne van $A$-ban $\text{mod}q$.   4.3. Az olimpiai feladat megoldása. Ha $d_{ij}=a_i{b}_j-b_i{a}_j=0$ valamilyen $i\ne j$ esetén, akkor, mivel $a_i$ és $b_i$, valamint $a_j$ és $b_j$ relatív prímek, csak az lehetséges, hogy $\left(a_i\mathrm{,}{b}_i\right)$ és $\left(a_j\mathrm{,}{b}_j\right)$ egyenlők vagy ellentettek. Az első esetben $\left(a_j\mathrm{,}{b}_j\right)$ elhagyható. A második esetben szintén, ha az $n$ kitevőt párosnak választjuk (erre majd ügyelünk). Ezért a továbbiakban föltesszük, hogy $d_{ij}$ soha nem nulla, és azt is, hogy $n\ge k-1$. Az $M_n$ által generált $A_n$ ekkor rács, hiszen a $k$-adik determinánsosztó a 4.4. állításban definiált $\Delta$ szám, ami nem nulla. Az $A_n$ indexe tehát $\Delta$, az $n$-től függetlenül.   4.7. lemma. Legyen $q=p^m$, ahol $p$ prím és $m\ge 1$. Tegyük föl, hogy az $n$ szám osztható $2\phi \left(q\right)$-val, és nagyobb vagy egyenlő, mint $2m$ és $k-1$. Ekkor $A_n$ tartalmazza a konstans $1$ vektort $\text{mod}q$.   Bizonyítás. Ha $p\nmid a_i$, akkor az Euler‐Fermat-tétel és $\phi \left(q\right)\mid \left(n/2\right)$ miatt $a_i^{n/2}\equiv 1\left(q\right)$. Ha $p\mid a_i$, akkor $n/2\ge m$ miatt $a_i^{n/2}\equiv 0\left(q\right)$. Ugyanez igaz a $b_i$ számokra is. Vegyük $M_n$ első, középső és utolsó oszlopát (van középső, mert $n$ páros). Mindegyikben csak $1$ és $0$ szerepelhet $\text{mod}q$, és a középső oszlop a két szélső szorzata $\text{mod}q$. Egy sor két szélső eleme nem lehet egyszerre nulla, mert $a_i$ és $b_i$ relatív prímek. Ezért a két szélső oszlop összegéből a középsőt kivonva konstans $1$-et kapunk $\text{mod}q$.  $\square$   Az előző szakasz eredményeivel kombinálva, ha $n$ elég nagy, és $2\phi \left(q\right)\mid n$ teljesül $\Delta$ minden $q$ prímhatvány-osztójára, akkor a konstans $1$ vektor $A_n$-ben van.   4.8. feladat. Igazoljuk, hogy $A_n$ és $A_m$ vektorait komponensenként összeszorozva $A_{n+m}$-beli vektorokat kapunk, így az $A_n$ rácsok periodikusan ismétlődnek $\left(n\ge k-1\right)$.   Útmutatás. Ha a konstans $1$ vektor $A_m$-ben van, akkor $A_n\subseteq A_{n+m}$. Mivel az indexük ugyanaz a $\Delta$ szám, meg is egyeznek.  $\square$   4.4. Az $A_n$ rács vektorai. Most is föltesszük, hogy $d_{ij}=a_i{b}_j-b_i{a}_j\ne 0$ (amikor $i\ne j$). Ha $n\ge k-1$, akkor $A_n$ indexe $\Delta =\prod _{1\le i<j\le k}^{}{d}_{ij}$, így $A_n$ a ${\text{Z}}^k$ vektorainak $\Delta$-ad részét tartalmazza (ez pontos értelmet kap, ha egy nagy gömb vektorait tekintjük).   4.9. feladat. Mutassuk meg, hogy ha $k\ge 4$, akkor $A_n\ne {\text{Z}}^k$, mert $M_n$-nek van két $\text{mod}2$ egyenlő sora. Általánosítsuk ezt $2$ helyett általános prím modulusra.   Útmutatás. Ha $p$ prím, akkor a $t=a_i/b_i$ osztás $p\nmid b_i$ esetén elvégezhető $\text{mod}p$, azaz van olyan $t$ egész, hogy $t{b}_i\equiv a_i\left(p\right)$. Ha $p\mid b_i$, akkor $p\nmid a_i$, mert $a_i$ és $b_i$ relatív prímek, ilyenkor legyen $t=a_i/b_i$ a $\infty$ szimbólum. Ez tehát $t$-re $p+1$ lehetőség $\text{mod}p$. Ha $a_j/b_j$ is $t$ $\text{mod}p$, akkor $p\mid a_i{b}_j-b_i{a}_j$. Mivel $p\mid a_i$ és $p\mid b_i$ egyszerre nem lehetséges, az $a_j/a_i$ és $b_j/b_i$ törtek egyike biztosan értelmes $\text{mod}p$, és ha mindkettő az, akkor ugyanaz az $s$ értékük $\text{mod}p$, ha pedig valamelyik nem értelmes, akkor a számlálója és nevezője is nulla $\text{mod}p$. Így mindig $s{a}_i\equiv a_j\left(p\right)$ és $s{b}_i\equiv b_j\left(p\right)$. Ezért az $M_n$ mátrix $j$-edik sora az $i$-edik sor $s^n$-szerese $\text{mod}p$. Ugyanez tehát $A_n$ vektorainak megfelelő koordinátáira is igaz, vagyis ha $k>p+1$, akkor $A_n\ne {\text{Z}}^k$. (A $\text{mod}p$ vett $M_n$ mátrix rangja a különböző $\text{mod}p$ vett $a_i/b_i$ törtek száma, hiszen ha $r$ olyan sort vesszünk, melyekre $a_i/b_i$ páronként különböznek $\text{mod}p$, akkor ennek a részmátrixnak az $r$-edik determinánsosztója nem osztható $p$-vel a 4.5. feladat miatt.)  $\square$   Ha $i\ne j$, akkor $d_{ij}=a_i{b}_j-b_i{a}_j$ a legnagyobb modulus, melyre nézve $a_j/a_i$ és $b_j/b_i$ egyenlő. Az az $s_{ij}$ szorzó, melyre $s_{ij}{a}_i\equiv a_j\left(d_{ij}\right)$ és $s_{ij}{b}_i\equiv b_j\left(d_{ij}\right)$ az $s_{ij}=e_i{a}_j+f_i{b}_j$ képlettel kapható, ahol $e_i{a}_i+f_i{b}_i=1$ (van ilyen $e_i$, $f_i$, mert $a_i$ és $b_i$ relatív prímek). Legyen $1\le i\le k$ esetén $s_{ii}=1$.   4.10. feladat. Nyilván ${\text{s}}_j={\left[s_{j1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{s}_{jk}\right]}^T\in A_1$ és ${\text{d}}_j={\left[d_{j1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{d}_{jk}\right]}^T\in A_1$. Készítsünk egy olyan bázist $A_n$-ben az ${\text{s}}_j$ és ${\text{d}}_j$ komponensenkénti szorzásával a $\mathrm{4.8.}$ feladat alapján, ahol a vektorok háromszögmátrixot alkotnak ($n\ge k-1$).   Útmutatás. Legyen $1\le j\le k$. A ${\text{d}}_j$ vektor $j$-edik koordinátája nulla, ezért a $j$-edik bázisvektor elkészítéséhez tekintsük a ${\text{d}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{d}}_{j-1}$ (komponensenkénti) szorzatát. Ennek az első $j-1$ koordinátája nulla. Ahhoz, hogy $A_n$-be jussunk, szorozzunk még ${\text{s}}_j^{n-j+1}$-nel. A főátlóban álló elemek szorzata $\Delta$, mert $s_{jj}=1$ és a főátló $j$-edik eleme $d_{\mathrm{1,}j}\cdot \text{...}\cdot d_{j-\mathrm{1,}j}$. Így a vektoraink függetlenek, és az általuk generált rács indexe $\Delta$. De $A_n$ indexe is $\Delta$, ezért bázist kaptunk.  $\square$   Ha az előző feladatban kapott háromszögmátrix $K$, akkor $\text{v}={\left[c_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{c}_k\right]}^T$ pontosan akkor van $A_n$-ben, ha a $K{\left[x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n\right]}^T=\text{v}$ lineáris egyenletrendszer (egyértelmű) megoldása egész $x_i$ számokból áll. Ezt az egyenletrendszert föntről lefelé haladva könnyű megoldani. A $K$ inverzével szorozva ${\left[x_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{x}_n\right]}^T=K^{-1}\text{v}\in {\text{Z}}^k$. Ez $k$ oszthatósági feltétel, ahol a bal oldalon mindig $\Delta$ áll, mert $\Delta K^{-1}$ egész elemű. Az első ezek közül automatikusan teljesül, mert $K$ első sorának első eleme $1$.   4.11. példa. Legyenek a megadott párok $\left(\mathrm{1,1}\right)$, $\left(\mathrm{1,3}\right)$ és $\left(\mathrm{1,}-1\right)$. Ekkor $n\ge 2$ esetén az összes $A_n$ egyenlő, $d_{12}=2$, $d_{13}=-2$, $d_{23}=-4$, $\Delta =16$, mindegyik $s_{ij}=1$, és ${\left[c_1\mathrm{,}{c}_2\mathrm{,}{c}_3\right]}^T$ pontosan akkor van $A_n$-ben, ha $16\mid -8c_1+8c_2$ és $16\mid -4c_1+2c_2+2c_3$.   5. Ortogonális rácsok Zárásként belátjuk Peter McMullen egy gyönyörű tételét. Mostantól kicsit nagyobb tudást föltételezünk lineáris algebrából (például euklideszi tér, ortogonális kiegészítő altér). Legyenek ${\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_r\in {\text{R}}^k$ lineárisan független vektorok és $V$ az általuk generált altér. Ebben ${\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_r$ egész együtthatós lineáris kombinációi egy $r$ rangú $B$ rácsot alkotnak. Ez tehát nem az egész ${\text{R}}^k$-nak rácsa, hanem csak a $V$ altérnek.   5.1. állítás. Jelölje $L$ a $\left[{\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_r\right]$ mátrix $r\times r$-es aldeterminánsainak négyzetösszegét $\left(r\ge 1\right)$. Ekkor a $B$ rács alap-parallelotópjának térfogata $\sqrt[]{L}$.   Bizonyítás. Föltehető, hogy $r<k$. Legyen ${\text{v}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_k$ ortonormált bázis a ${\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_r$ által generált $V$ altér $V^{\perp }$ ortogonális kiegészítő alterében (ezek egy ,,kockát'' feszítenek ki), és $M=\left[{\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_k\right]$. Geometriai megfontolásokból kapjuk, hogy $\text{det}\left(M\right)$ abszolút értéke a ${\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_r$ által generált rács alap-parallelotópjának $d$ térfogata. Az $M^{T}M$ mátrix két diagonális blokkból áll, és a többi eleme nulla. A második blokk a $\left(k-r\right)\times \left(k-r\right)$-es egységmátrix. Az első, $r\times r$-es blokkot jelölje $N$. Ekkor $d^2=\text{det}\left(M^{T}M\right)=\text{det}\left(N\right)$. Alkalmazzuk a Cauchy‐Binet-formulát (2.2. tétel) az $M^{T}M$ szorzatra és az első $r$ sorra/oszlopra. Ekkor $d^2=L$ adódik.  $\square$   Ha $B$ rács ${\text{Z}}^k$-ban és $V$ altér ${\text{R}}^k$-ban, akkor $V$-be $B$-nek kevés vektora is eshet. Például az $y=\sqrt[]{2}x$ egyenes nem tartalmaz egész koordinátájú pontot az origón kívül. Nevezzük $V$-t racionális altérnek, ha generálható racionális koordinátájú vektorokkal. Racionális vektorok egy családja pontosan akkor független $\text{Q}$ fölött, ha $\text{R}$ fölött az. Ha a $V$ racionális altér $r$-dimenziós, akkor $V\cap {\text{Q}}^k$ ortogonális komplementerének dimenziója ${\text{Q}}^k$-ban $k-r$, és így az ${\text{R}}^k$-ban vett ortogonális kiegészítő is racionális altér. Továbbá ${\text{Z}}^k\cap V$-ben van $r$ független vektor, hiszen egy racionális vektort alkalmas nem nulla egésszel megszorozva egész vektort kapunk. Ezért ${\text{Z}}^k\cap V$ rács $V$-ben.   5.2. definíció. Egy $B$ csoport $\text{v}$ elemének $B$-beli magassága a legnagyobb olyan egész, amivel $\text{v}$ elosztható úgy, hogy $B$-ben maradjunk. Ha $B={\text{Z}}^k$, akkor ez a $\text{v}$ komponenseinek legnagyobb közös osztója. Tehát $\text{v}$ akkor primitív, ha magassága ${\text{Z}}^k$-ban $1$. A $B$ részcsoport tiszta ${\text{Z}}^k$-ban, ha a vektorok magassága ugyanaz $B$-ben, mint ${\text{Z}}^k$-ban. (Ez a 3.9. következmény $\left(2\right)$ pontjában szereplő feltétel.)   5.3. lemma. Ha $V$ racionális altér ${\text{R}}^k$-ban, akkor $V\cap {\text{Z}}^k$ tiszta részrácsa ${\text{Z}}^k$-nak.   Bizonyítás. Valóban, ha $\text{v}\in {\text{Z}}^k$ és $m\text{v}\in V\cap {\text{Z}}^k$, akkor $\text{v}\in V$ (hiszen $V$ zárt az $1/m$ számmal való szorzásra), és így $\text{v}\in V\cap {\text{Z}}^k$.  $\square$   5.4. tétel (McMullen, [4]). Legyen $V$ racionális altér ${\text{R}}^k$-ban. Ha $A_1=V\cap {\text{Z}}^k$ és $A_2=V^{\perp }\cap {\text{Z}}^k$, akkor $A_1$ és $A_2$ alap-parallelotópjának térfogata megegyezik.   Bizonyítás. Legyen $\text{dim}\left(V\right)=r$ és $0<r<k$ (az $r=0$ és $r=k$ esetben $\left\{\text{0}\right\}$ térfogatát $1$-nek tekintve igaz az állítás). Vegyük $A_1$-nek egy ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r$ és $A_2$-nek egy ${\text{b}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_k$ bázisát. Ezek együtt bázist alkotnak ${\text{R}}^k$-ban, hiszen $A_1\perp A_2$ (de ${\text{Z}}^k$-ban általában nem). Az 5.3. lemma és a 3.9. következmény miatt a $\left[{\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r\right]$ mátrix $r$-edik determinánsosztója $1$. Az analóg állítás érvényes $A_2$ esetében is. Tekintsük a $\left[{\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_k\right]$ mátrix első $r$ oszlopa szerinti $e_1{f}_1{g}_1+\text{...}+e_m{f}_m{g}_m$ Laplace-kifejtését, ahol $f_i$ az első $r$ oszlophoz, $g_i$ az utolsó $k-r$ oszlophoz tartozó aldeterminánsok, $e_i$ a megfelelő előjelek, és $m=\left(\genfrac{}{}{0ex}{}{k}{r}\right)$. Legyen ${\text{w}}_1=\left[e_1{f}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{e}_m{f}_m\right]$ és ${\text{w}}_2=\left[g_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{g}_m\right]$. Ekkor ${\text{w}}_1$ és ${\text{w}}_2$ skaláris szorzata a $\left[{\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_k\right]$ mátrix $d$ determinánsa (aminek abszolút értéke a ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_k$ által generált rács alap-parallelotópjának térfogata, azaz indexe). Jelölje $d_1$ és $d_2$ az $A_1$, illetve $A_2$ rácsok alap-parallelotópjának térfogatát. Az 5.1. állítás miatt $d_1^2$ a ${\text{w}}_1$ vektor komponenseinek négyzetösszege, hiszen a négyzetre emelés után az előjelek már nem számítanak, és ugyanez áll $d_2$-re és ${\text{w}}_2$-re is. Mivel e két rács ortogonális, $d_1{d}_2=|d|$. Ez azt jelenti, hogy a ${\text{w}}_1$ és ${\text{w}}_2$ vektorokra fölírt Cauchy-egyenlőtlenségben egyenlőség áll. Ezért ${\text{w}}_1$ és ${\text{w}}_2$ egymás skalárszorosai. Ez a skalár szükségképpen racionális szám, azaz alkalmas $m_1$ és $m_2$ nem nulla egészekre $m_1{\text{w}}_1=m_2{\text{w}}_2$. De a $\left[{\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r\right]$ mátrix $r$-edik determinánsosztója $1$, ezért ${\text{w}}_1$ (és hasonlóan ${\text{w}}_2$ is) primitív vektorok. Tehát ${\text{w}}_1=\pm {\text{w}}_2$, és így $d_1=d_2$.  $\square$   6. Appendix: Vetítések és alkalmazásaik Az alábbi feladatokban a mátrixok normálalakja helyett geometriai módszerekkel igazolunk korábbi állításokat. Szó lesz egy számelméleti alkalmazásról is. Fő eszközünk a vetítés. Ha az $e_1$ és $e_2$ egyenesek az origóban metszik egymást, akkor az $e_1$-re való $e_2$ irányú vetítés az a leképezés, amely a sík minden $P$ pontjához az $e_1$ egyenes azon $Q$ pontját rendeli, melyre $PQ$ párhuzamos $e_2$-vel. Ha $U$ és $W$ alterek, és ${\text{R}}^k$ minden eleme egyértelműen fölírható egy $U$-beli és egy $W$-beli vektor összegeként, akkor azt mondjuk, hogy ${\text{R}}^k$ a $V$ és $W$ alterek direkt összege, jele ${\text{R}}^k=U\oplus V$. Az egyértelműség feltétele, hogy $U\cap W$ csak a nullvektorból álljon. A bázisok nyelvén ez azt jelenti, hogy van olyan ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r$ bázis $U$-ban, és ${\text{b}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_k$ bázis $W$-ben, hogy ezek együtt bázist alkotnak ${\text{R}}^k$-ban. Hasonlóan értelmezzük azt is, amikor ${\text{Z}}^k$ az $A$ és $B$ csoportok direkt összege, azaz ${\text{Z}}^k=A\oplus B$. Ha $\text{v}=\text{u}+\text{w}$, ahol $\text{u}\in U$ és $\text{w}\in W$, akkor az a leképezés, amely $\text{v}$-hez $\text{u}$-t rendeli, az ${\text{R}}^k$-nak az $U$-ra való vetítése a $W$ irányban. Ha $\text{v}={\lambda }_1{\text{b}}_1+\text{...}+{\lambda }_k{\text{b}}_k$, akkor $\text{u}={\lambda }_1{\text{b}}_1+\text{...}+{\lambda }_r{\text{b}}_r$, vagyis a vetítés ,,kinullázza'' az utolsó $k-r$ koordinátát.   6.1. feladat. Legyen ${\text{R}}^k=U\oplus W$, ahol $U$ egy $\text{R}$ fölött $r$-dimenziós racionális altér. Igazoljuk, hogy $W$ pontosan akkor racionális altér, ha ${\text{Q}}^k$-nak az $U$-ra vett $W$ irányú vetületében nincs $r$-nél több $\text{Q}$ fölött független vektor.   Útmutatás. Legyen ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r$ racionális bázis $U$-ban és ${\text{b}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_s$ maximális számú, $\text{R}$ fölött független racionális vektor $W$-ben. Ha $s<k$, akkor van olyan $\text{v}\in {\text{Q}}^k$, ami $\text{R}$ fölött független ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_s$-től. Ekkor $\text{v}$ vetülete független $\text{Q}$ fölött ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r$-től.  $\square$   6.2. feladat. Igazoljuk, hogy ha ${\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_{k+1}\in {\text{R}}^k$ független $\text{Q}$ fölött, akkor az általuk generált csoport nem diszkrét, ezért nem is rács.   Útmutatás. Föltehető ($k$ szerinti indukcióval), hogy ${\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_k$ független $\text{R}$ fölött, legyen $B$ az általuk generált rács és $P$ az általuk kifeszített parallelotóp. Tekintsük az $n{\text{v}}_{k+1}$ vektorokat ($n$ egész), és mindegyiket toljuk vissza $P$-be a $B$ megfelelő elemével. A kapott pontok mind különbözők ${\text{v}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{v}}_{k+1}\in {\text{R}}^k$ függetlensége miatt.  $\square$   6.3. feladat. Igazoljuk, hogy minden irracionális szám egész többszöröseinek törtrészei sűrűn helyezkednek el $\left[\mathrm{0,1}\right]$-ben (azaz minden rész-intervallumban van törtrész).   Útmutatás. Az előző feladat ${\text{v}}_1=1$ és ${\text{v}}_2=\alpha$ esetén azt adja, hogy $\left[\mathrm{0,1}\right]$-ben végtelen sok ilyen törtrész van. Ezért minden $\epsilon >0$-ra lesz kettő $\epsilon$-nál közelebb egymáshoz. A megfelelő egész szorzókat kivonva olyan törtrészt kapunk, ami a nullához van $\epsilon$-nál közelebb. Minden $\epsilon$ hosszú intervallumba beleesik ennek valamelyik többese.  $\square$   Sokkal erősebb állítás is igazolható Minkowski rácsokról szóló tétele segítségével: ha $\alpha$ irracionális, akkor van végtelen sok olyan $r/s$ tört, melyek bármelyike $\alpha$-tól kevesebb, mint $1/\left(2s^2\right)$-tel tér el (lásd [2], 8.2. szakasz). Kronecker approximációs tétele arra ad feltételt, hogy ${\text{v}}_{k+1}$ egész többesei $P$-ben alkossanak sűrű halmazt.   6.4. feladat. Tegyük föl, hogy $U$ racionális altér és $C$ a ${\text{Z}}^k$-nak az $U$-ra vett $W$ irányú vetülete. Mutassuk meg, hogy $C$ pontosan akkor rács $U$-ban, ha $W$ is racionális altér.   Útmutatás. Ha $W$ racionális altér, ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r$ racionális bázis $U$-ban és ${\text{b}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_k$ racionális bázis $W$-ben, akkor írjuk föl ezekkel ${\text{Z}}^k$ egy bázisát. Ha az együtthatók közös nevezője $N$, akkor minden $\text{v}\in {\text{Z}}^k$ vektor $U$-ra eső vetületének $N$-szerese benne van a ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r$ generálta csoportban. Így $C$ diszkrét, és nyilván $\text{R}$ fölött generálja az $U$ alteret. Megfordítás: 6.1. és 6.2.  $\square$   6.5. feladat. Mutassuk meg a normálalak használata nélkül, hogy a $\mathrm{3.9.}$ következményben $\left(2\right)$-ből következik $\left(1\right)$.   Útmutatás. A $\left(2\right)$ szerint valamely független ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r\in {\text{Z}}^k$ által generált $B$ csoport tiszta ${\text{Z}}^k$-ban. Legyen ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_k$ racionális bázisa ${\text{Q}}^k$-nak, $W$ a ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r$ által generált valós altér, és $U$ a ${\text{b}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_k$ által generált valós altér. A 6.4. feladat miatt ${\text{Z}}^k$-nak az $U$-ra vett $W$ irányú $C$ vetülete rács $U$-ban, legyenek ${\text{c}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{c}}_k\in {\text{Z}}^k$ olyan vektorok, melyek vetülete bázis $C$-ben. Ekkor minden $\text{v}\in {\text{Z}}^k$ esetén vannak olyan $z_i$ egészek, hogy ${\text{v}}_0=\text{v}-z_{r+1}{\text{c}}_{r+1}-\text{...}-z_k{\text{c}}_k\in W$. Tehát ${\text{v}}_0$ fölírható ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r$ racionális együtthatós lineáris kombinációjaként, és ezért alkalmas $m\ne 0$ egészre $m{\text{v}}_0\in B$. Mivel $B$ tiszta, ${\text{v}}_0\in B$ és ezért ${\text{b}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{b}}_r\mathrm{,}{\text{c}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{c}}_k$ bázis ${\text{Z}}^k$-ban.  $\square$   6.6. feladat. Legyen $B\subseteq {\text{Z}}^k$ rács, ${\text{d}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{d}}_k$ bázis ${\text{Z}}^k$-ban, $W$ a ${\text{d}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{d}}_r$ által generált, $U$ a ${\text{d}}_{r+1}\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{d}}_k$ által generált valós altér. Vetítsük $B$-t $U$-ra $W$ irányából. Igazoljuk, hogy ha ${\text{d}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{d}}_r\in B$, akkor a vetület $B\cap U$, és $B=\left(B\cap W\right)\oplus \left(B\cap U\right)$.   Útmutatás. A $\text{v}=z_1{\text{d}}_1+\text{...}+z_k{\text{d}}_k$ vektor vetülete $U$-ra $\text{u}=z_{r+1}{\text{d}}_{r+1}+\text{...}+z_k{\text{d}}_k$. Ha $\text{v}\in B$, akkor ${\text{d}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{d}}_r\in B$ miatt $\text{u}\in B$, azaz a vetület része $B\cap U$-nak.  $\square$   6.7. feladat. Legyen $B\subseteq {\text{Z}}^k$ rács, $\text{w}\in {\text{Z}}^k$ nem nulla vektor és $C$ a $\text{w}$-re merőleges $B$-beli vektorok halmaza. Vetítsük $B$-t merőlegesen a $\text{w}$ egyenesére. Mutassuk meg, hogy van legrövidebb nem nulla vetület, és ha $\text{v}\in B$ vetülete egy ilyen legrövidebb ${\text{w}}_0$ vektor, akkor $B=A\oplus C$, ahol $A$ a $\text{v}$ egész többszöröseinek halmaza.   Útmutatás. Az $\text{u}\in B$ vektor $\text{w}$-re eső vetületének hossza az $\text{u}\cdot \text{w}=n$ skaláris szorzat osztva $\text{w}$ hosszával. Mivel $n$ egész, ezért a vetületek között tényleg van legrövidebb. Tehát $B$ vetülete rács a $\text{w}$ egyenesén, és ezért minden vektor vetülete ${\text{w}}_0$ egész számszorosa. Ha $\text{u}$ vetülete $m{\text{w}}_0$, akkor $\text{u}-m\text{v}$ merőleges $\text{w}$-re, és ezért $C$-ben van.  $\square$   6.8. feladat. Legyen $\text{w}$ primitív vektor ${\text{Z}}^k$-ban és $C$ a $\text{w}$-re ortogonális egész vektorok halmaza. Bizonyítsuk be, hogy $\text{w}$ hossza megegyezik $C$ alap-parallelotópjának térfogatával. (Ez McMullen tételének speciális esete.)   Útmutatás. Mivel $\text{w}$ primitív, van olyan $\text{v}$ vektor, melynek $\text{w}$-vel vett skaláris szorzata $1$ (oldjuk meg a lineáris diofantoszi egyenletet). Az előző feladatot a $B={\text{Z}}^k$ rácsra alkalmazva azt kapjuk, hogy $\text{v}$ és $C$ generálják ${\text{Z}}^k$-t, azaz $C$ egy $P$ alap-parallelotópja $\text{v}$-vel együtt egy $1$ térfogatú parallelotópot feszít ki. Ennek alapja $P$, magassága pedig a $\text{v}$ vektor $\text{w}$ irányú vetületének hossza, ami $\text{w}$ hosszának reciproka.  $\square$   6.9. feladat. Igazoljuk, hogy a háromdimenziós térben minden egész vektor előáll két egész vektor vektoriális szorzataként.   Útmutatás. Föltehető, hogy $\text{w}$ primitív, alkalmazzuk az előző feladatot. Második, elemi megoldás: ha $\left(a_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}{a}_3\right)$-at akarjuk $\left(x_1\mathrm{,}{x}_2\mathrm{,}{x}_3\right)$ és $\left(y_1\mathrm{,}{y}_2\mathrm{,}{y}_3\right)$ vektoriális szorzataként előállítani, akkor legyen $x_3=y_3=\text{lnko}\left(a_1\mathrm{,}{a}_2\right)=d$. Föltehető, hogy $d\ne 0$; ha $a_1{x}_1+a_2{x}_2=-a_3{x}_3$, akkor $y_1=a_2/d+x_1$ és $y_2=-a_1/d+x_2$ megfelelő.  $\square$   6.10. feladat. Mutassuk meg a normálalak fölhasználása nélkül, hogy ha $B\subseteq {\text{Z}}^k$ rács, akkor van olyan ${\text{c}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{c}}_k$ bázisa ${\text{Z}}^k$-nak, hogy alkalmas $s_1\mathrm{,}{s}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{s}_k$ egészekre $s_1{\text{c}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{s}_k{\text{c}}_k$ bázis $B$-ben.   Útmutatás. Vegyünk egy olyan $h\text{v}\in B$ vektort, melynek ${\text{Z}}^k$-beli $h$ magassága a lehető legkisebb. Ekkor $\text{v}\in {\text{Z}}^k$ primitív, így van olyan $\text{w}\in {\text{Z}}^k$, melynek $\text{v}$-vel vett skaláris szorzata $1$. Jelölje $C$ a $\text{w}$-re merőleges egész vektorok halmazát. A 6.8. feladatban használt gondolatmenet miatt $\text{v}$ és $C$ generálja ${\text{Z}}^k$-t, és ha $\text{v}$ vetülete $\text{w}$ egyenesére ${\text{w}}_0$, akkor a ${\text{Z}}^k$ merőleges vetülete $\text{w}$ egyenesére a ${\text{w}}_0$ egész többeseiből áll. Vetítsük a $B\subseteq {\text{Z}}^k$ rácsot is merőlegesen $\text{w}$ egyenesére, és a vetület legrövidebb vektorát jelölje $m{\text{w}}_0$. Ha $\text{u}\in B$ vetülete $m{\text{w}}_0$, akkor a 6.7. feladat miatt $B$-t generálja $\text{u}$ és $C\cap B$. Az $\text{u}$ magassága ${\text{Z}}^k$-ban legyen $g$, föltevésünk szerint $h\le g$. Az $\left(1/g\right)\text{u}\in {\text{Z}}^k$ vektort $\text{w}$ egyenesére vetítve ${\text{w}}_0$ többszörösét kapjuk, ezért $g\mid m$. Mivel $h\text{v}\in B$ vetülete $h{\text{w}}_0$, ezért $m\mid h$. Ez csak úgy lehetséges, ha $g=h=m$. Vagyis találtunk egy olyan $m\text{v}\in B$ vektort, amelyre $\text{v}$ és $C$ generálja ${\text{Z}}^k$-t, és $m\text{v}$ és $B\cap C$ generálja $B$-t. Vegyünk egy bázist $C$-ben, és írjuk föl ebben $B\cap C$ elemeit is (ilyen átkoordinátázást használtunk a 3.11. feladatban). Az átkoordinátázás után $C$-ből ${\text{Z}}^{k-1}$ lesz. Alkalmazzunk $k$ szerinti indukciót, ekkor van olyan ${\text{c}}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{c}}_k$ bázis $C$-ben, hogy $s_2{\text{c}}_2\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{s}_k{\text{c}}_k\in C$ bázis $B\cap C$-ben. Legyen ${\text{c}}_1=\text{v}$ és $s_1=m$.  $\square$ Az alábbi feladat többszöri alkalmazásával elérhetjük az $s_1\mid \text{...}\mid s_k$ oszthatóságot.   6.11. feladat. Tegyük föl, hogy ${\text{c}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{c}}_k$ bázis a $C$ rácsban és $s_1{\text{c}}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{s}_k{\text{c}}_k$ bázis a $B\subseteq C$ rácsban. Legyen $s$ az $s_1$ és $s_2$ legnagyobb közös osztója, $t=s_1{s}_2/s$ pedig a legkisebb közös többszörösük. Válasszunk olyan $e$ és $f$ egészeket, melyekre $e{s}_1+f{s}_2=s$, legyen ${\text{c}}_1\text{'}=\left(s_1/s\right){\text{c}}_1-\left(s_2/s\right){\text{c}}_2$ és ${\text{c}}_2\text{'}=f{\text{c}}_1+e{\text{c}}_2$. Mutassuk meg, hogy ${\text{c}}_1\text{'}\mathrm{,}{\text{c}}_2\text{'}\mathrm{,}{\text{c}}_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{\text{c}}_k$ bázis $C$-ben és $s{\text{c}}_1\text{'}\mathrm{,}t{\text{c}}_2\text{'}\mathrm{,}{s}_3{\text{c}}_3\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{s}_k{\text{c}}_k$ bázis $B$-ben.   Hivatkozások [1] Freud Róbert: Lineáris Algebra. ELTE Eötvös Kiadó, 2014. www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011_0001_527_LinearisAlgebra [2] Freud Róbert, Gyarmati Edit: Számelmélet. Nemzeti Tankönyvkiadó, 2006. www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011_0001_519_Szamelmelet [3] Kiss Emil: Bevezetés az algebrába. TypoTeX Kiadó, 2007. www.tankonyvtar.hu/hu/tartalom/tamop425/2011-0001-526_kiss_emil [4] Peter McMullen: Determinants of lattices induced by rational subspaces, Bull. London Math. Soc., 16 (1984), 275‐277.