Cím:	Gyakorló feladatsor emelt szintű matematika érettségire
Szerző(k):	Lorántfy László
Füzet:	2018/február, 78 - 80. oldal	PDF  |  MathML
Hivatkozás(ok):	2018/március: Megoldásvázlatok a 2018/2. sz. emelt szintű matematika gyakorló feladatsorhoz

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. I. rész     1. Egy bolthálózat húszéves fennállása alkalmából azzal kedveskedik a vásárlóknak, hogy 20% kedvezményt kapnak vásárlásuk összegéből, ha 4 kockával dobva a dobott számok összege legalább 20. $a)$ Mekkora ennek a valószínűsége? $b)$ Becsüljük meg, mennyibe kerül a vállalatnak ez az akció a jubileumi évben, ha 38 000 vásárlóra számítanak és a vásárlások összegszerű megoszlását az alábbi táblázatban adták meg: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|cc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{0 ‐ 4999 Ft}}& \hfill {\displaystyle \text{12\% }}\\ \hfill {\displaystyle \text{5000 ‐ 9999 Ft}}& \hfill {\displaystyle \text{36\% }}\\ \hfill {\displaystyle \text{10 000 ‐ 14 999 Ft}}& \hfill {\displaystyle \text{47\% }}\\ \hfill {\displaystyle \text{15 000 ‐ 50 000 Ft }}& \hfill {\displaystyle \text{5\% }}\\ \hline\end{array}}}\end{array}$  (11 pont)   2. Egy LED lámpát úgy alakítottak ki, hogy a LED fényforrásokat egy félgömb felületén helyezték el és azért, hogy a felülete ne legyen vakító, egy gömbszelet alakú opálos burát helyeztek fölé az ábrának megfelelően. A két bura falvastagsága elhanyagolható. A félgömb sugara 15 cm, a bura felülete pedig pont kétszerese a félgömb felszínének. A lámpákat a gyárban négyzetes oszlop alakú papírdobozokba csomagolják úgy, hogy a csillárok ne mozdulhassanak el a dobozban. Mekkorák legyenek a dobozok külső méretei, ha a rétegelt papír vastagsága $d=5$ mm?  (12 pont)       3. Egy személyautó fedélzeti számítógépe az átlagfogyasztást az előzőleg megtett 100 km alapján számítja. A tankban lévő üzemanyag mennyiségét is ismerve így azt is jelzi, hogy hány km-t tudunk még autózni a meglévő üzemanyaggal, nevezzük ezt hatótávolság. Egy alkalommal induláskor a hatótáv kijelzett értéke 500 km. Egyenletes sebességgel haladunk autópályán. 50 km megtétele után a kijelző 588 km-es hatótávot jelez. Ezután még 680 km-t teszünk meg ugyanezzel az egyenletes sebességgel, amikor az üzemanyag jelző vészvillogó kigyullad, jelezve, hogy már csak 5 l üzemanyagunk van. Mennyi üzemanyag volt a tankban induláskor?  (14 pont)   4. Egy torony csonkakúp alakú kupolája alul 4 m, felül 3 m kerületű, alkotója pedig 2 m. A kupola egyik oldalán egy hangya mászik fel a torony tengelyének síkjában, 47 cm-re van a kupola alsó szegélyétől. A vele átellenes oldalon egy másik hangya mászik felfelé ugyanabban a síkban, és már csak 3 cm hiányzik, hogy elérje a kupola tetejét. Ekkor a két hangya az eredeti úti célt feladva, a lehető legrövidebb úton egymás felé indul. Mekkora távolságot tesznek meg a találkozásig, ha egyenlő sebességgel haladnak?  (14 pont)   II. rész     5. $a)$ Oldjuk meg az alábbi egyenletet: $\begin{array}{c}{\displaystyle 5|x|=x\cdot \left(3x+2-2\sqrt[]{8-2x-x^2}\right)\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Határozzuk meg az $f\left(x\right)=-x^2-2x+8$ és a $g\left(x\right)=5|x|$ függvények által közrezárt területrész nagyságát.  (16 pont)   6. Egy üzemanyag töltő állomás földalatti benzintároló tartálya egy fekvő hengerpalásból és a két végét lezáró két félgömbből áll. Teljes hossza 6 m, sugara 1,2 m. $a)$ Mekkora a tartály térfogata? $b)$ Mennyi benzin van benne, ha a szintmérő úszó éppen a sugár felénél áll? $c)$ Egy tartálykocsiból feltöltik a tárolót. Mennyi benzint engedtek bele, ha a szintmérő 92 cm-rel emelkedett?  (16 pont)   7. Egy ismeretlen alapú számrendszerben az ${\overline{ab}}_x$ kétjegyű szám és a számjegyei felcserélésével kapott ${\overline{ba}}_x$ kétjegyű szám között a következő összefüggések állnak fenn: 1. ${\overline{ab}}_x+{\overline{ba}}_x={\overline{110}}_x$, 2. ${\overline{ab}}_x-{\overline{ba}}_x={\overline{20}}_{10}$. $a)$ Határozzuk meg a számrendszer alapját. $b)$ Az ilyen alapú számrendszerekben milyen oszthatósági szabály érvényes a 3-mal és az 5-tel való oszthatóságra? $c)$ Határozzuk meg a $c$ és $d$ számjegyek értékét úgy, hogy az ${\overline{12c45d}}_x$ alakú szám a lehető legnagyobb 15-tel osztható szám legyen ezekben a számrendszerekben.  (16 pont)   8. Péter egy 5,2 millió Ft értékű új autót vásárol egy autókereskedőtől. Az összeg 40%-a az önrész, amit átvételkor ki kell fizetnie, az ár fennmaradó részét 5 év alatt törleszti, évi egyenlő részletekben 8%-os éves kamattal. $a)$ Mennyi lesz Péter éves törlesztő részlete? A kereskedő ajánlata, hogy ha 5 év múlva egy ugyanilyen értékű kocsit vesz nála, akkor ezt az autót visszavásárolja tőle, évi 10% értékcsökkenést figyelembe véve és csak az árkülönbözetet kell kifizetnie. $b)$ Mennyit kell fizetnie Péternek az új autóért 5 év múlva, ha elfogadja az ajánlatot? Péter elhatározza, hogy elfogadja a kereskedő ajánlatát és előtakarékoskodik az 5 év múlva esedékes autócserére. A bank legjobb ajánlata évi 2,4 %-os kamat 5 éves futamidőre havi egyenlő részletekben történő befizetéssel, havi kamatozással. (A havi kamat az éves kamat tizenketted része.) Mekkora összeget fizessen be a bankba havonta, hogy az 5 év után kivett összegből fedezni tudja az autó cseréjét?  (16 pont)   9. Egy 12 pontú egyszerű gráfnak 56 éle van. $a)$ Legalább hány kilencnél nagyobb fokszámú csúcsa van a gráfnak? $b)$ Bizonyítsuk be, hogy a gráf összefüggő. Egy asztalitenisz csapatnak 6 férfi és 6 nő versenyzője van. $c)$ Az edzőnek két férfi, két női és két vegyes párost kell kiválasztania egy közelgő versenyre. Egy versenyző legfeljebb két különböző típusú párosban játszhat. Hányféle kiválasztás lehetséges? $d)$ Mennyi az esélye annak, hogy az egyik női versenyző, Tímea, egyik párosba sem kerül be?  (16 pont)