Cím:	Megoldásvázlatok a 2018/2. szám emelt szintű fizika gyakorló feladatsorához
Szerző(k):	Honyek Gyula
Füzet:	2018/március, 177 - 180. oldal	PDF  |  MathML
Témakör(ök):	Szakmai cikkek

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. Tesztfeladatok $\begin{array}{c}{\displaystyle {\displaystyle \begin{array}{|ccccccccccccccc|}\hline \hfill {\displaystyle \text{1}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{2}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{3}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{4}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{5}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{6}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{7}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{8}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{9}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{10}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{11}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{12}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{13}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{14}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{15}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle \text{A}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{A}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{D}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{B}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{C}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{D}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{A}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{C}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{A}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{D}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{A}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{C}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{A}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{D}}\hfill & \hfill {\displaystyle \text{C }}\hfill \\ \hline\end{array}}}\end{array}$   Számolásos feladatok   1. $a)$ Összesen négy erő hat a testre, kettő vízszintes és kettő függőleges. Függőleges irányban az $mg$ nehézségi erő és az asztal $N$ tartóereje kiegyenlítik egymást. A vízszintes erők egyike az $F$ fonálerő, a másik pedig a csúszási súrlódási erő ($F_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}=\mu N=\mu mg\approx 0\mathrm{,}25\cdot 0\mathrm{,}6\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}\cdot 10\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}{{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}^2}=1\mathrm{,}5\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N</span>}$). Ezek eredője szolgáltatja a centripetális erőt ($F_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cp</span>}}=\frac{m{v}^2}{r}=1\mathrm{,}2\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N</span>}$). Tudjuk, hogy a centripetális erő a kör középpontja felé mutat, a csúszási súrlódási erő pedig a sebességgel ellentétes, vagyis a körpálya érintője menti. Ennek alapján a fonálerőről megállapíthatjuk, hogy a súrlódási erővel vektorosan összeadva megkapjuk a centripetális erőt, valamint a vektorösszeadás olyan derékszögű háromszöget eredményez, amelynek egyik befogója a súrlódási erő, átfogója a fonálerő és másik befogója a centripetális erő (1. ábra). Az $F$ fonálerő nagyságát a Pitagorasz-tétel segítségével számíthatjuk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle F=\sqrt[]{F_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}^2+F_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cp</span>}}^2}\approx \sqrt[]{1\mathrm{,}{5}^2+1\mathrm{,}{2}^2}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N</span>}=1\mathrm{,}9\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">N</span>}\mathrm{.}}\end{array}$   1. ábra   $b)$ A fonálerő és a test sebességvektora közötti szöget a tangensfüggvény segítségével számolhatjuk ki: $\begin{array}{c}{\displaystyle \text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">tg</span>}\alpha =\frac{F_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">cp</span>}}}{F_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}}\approx \frac{1\mathrm{,}2}{1\mathrm{,}5}=0\mathrm{,}\mathrm{8,}}\end{array}$ amiből $\alpha =38\mathrm{,}{7}^{\circ }$. $c)$ A fonálerő pillanatnyi teljesítményét nem egyszerűen a fonálerő és a sebesség szorzata adja, mert ezek a vektorok nem egyirányúak. Csak a sebességvektorral párhuzamos erőösszetevő (1,5 N) végez munkát, a merőleges komponens munkája, és így a teljesítménye is nulla. Ezért a fonálerő pillanatnyi teljesítménye: $1\mathrm{,}5\text{N}\cdot 1\text{m/s}=1\mathrm{,}5\text{W}$.   Megjegyzés. Mivel a sebesség állandó, a mozgási energia nem változik, a fonálerő munkáját tehát teljesen felemészti a súrlódási veszteség.   2. $a)$ Alkalmazzuk a hosszú egyenes vezető mágneses terére vonatkozó összefüggést: $\begin{array}{c}{\displaystyle B={\mu }_0\frac{I}{2\pi r}=4\pi {10}^{-7}\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Vs</span>}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Am</span>}}\cdot \frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">20 A</span>}}{2\pi \left(3\cdot {10}^{-3}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}\right)}=1\mathrm{,}33\cdot {10}^{-3}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">T</span>}\mathrm{.}}\end{array}$ $b)$ Lényegében az előző összefüggést kell alkalmaznunk (ami az Amp$\stackrel{`}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">e</span>}}$re-féle gerjesztési törvényből következik), azonban csak azt az áramot kell figyelembe vennünk, ami az $r<R=1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">mm</span>}$-es sugáron belül folyik. Mivel az áramsűrűség a vezető keresztmetszete mentén azonos, és a felület a sugár négyzetével arányos, így a kérdéses sugáron belül folyó áram: $\begin{array}{c}{\displaystyle I\left(r\right)=I\left(R\right)\cdot \frac{r^2}{R^2}\mathrm{.}}\end{array}$ Ennek felhasználásával a következő egyenletet írhatjuk fel: ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle B}& {\displaystyle =1\mathrm{,}33\cdot {10}^{-3}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">T</span>}={\mu }_0\cdot \frac{I}{2\pi r}={\mu }_0\cdot \frac{I\left(R\right)\cdot \frac{r^2}{R^2}}{2\pi r}={\mu }_0\cdot \frac{I\left(R\right)\cdot r}{2\pi R^2}=}\hfill \\ \hfill {\displaystyle }& {\displaystyle =4\pi \cdot {10}^{-7}\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Vs</span>}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Am</span>}}\cdot \frac{\left(\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">20 A</span>}\right)\cdot r}{2\pi {\left(1\cdot {10}^{-3}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}\right)}^2}=\left(4\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">T</span>}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}\right)\cdot r\mathrm{,}}\hfill \end{array}}$ amiből a kérdéses sugarat egyszerűen leolvashatjuk: $r=0\mathrm{,}33\cdot {10}^{-3}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}=0\mathrm{,}33\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">mm</span>}$.   3. A feladat $a)$ és $b)$ részének megoldása összekapcsolódik. Írjuk fel az ellenállásokat a nyugati és a keleti oldalra; mindkét esetben a dupla kábelellenálláshoz sorosan kell hozzáadnunk az átvezetés ellenállását (2. ábra): ${\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle 100\Omega }& {\displaystyle =2\cdot \left(13\frac{\Omega }{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}}\right)\cdot x+R\mathrm{,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle 200\Omega }& {\displaystyle =2\cdot \left(13\frac{\Omega }{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}}\right)\cdot \left(10\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}-x\right)+R\mathrm{.}}\hfill \end{array}}$   2. ábra   $a)$ Ha a két egyenletet kivonjuk egymásból, kiesik az $R$ ellenállás, és $x$-re egy elsőfokú egyenletet kapunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle 100\Omega =260\Omega -52\frac{\Omega }{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}}\cdot x\mathrm{,}}\end{array}$ amelynek megoldása: $x=\frac{40}{13}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}\approx 3\mathrm{,}1\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">km</span>}$. $b)$ Ha $x$-et akármelyik fenti egyenletbe behelyettesítjük, megkapjuk az átvezetés ellenállását: $R=20\Omega$.   4. $a)$ A megadott 10 pm = ${10}^{-11}$ m-nek meg kell felelnie az elektronok de Broglie-féle hullámhosszának: $\begin{array}{c}{\displaystyle {\lambda }_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">elektron</span>}}=\frac{h}{p}\mathrm{,}}\end{array}$ ahol $h$ a Planck-állandó és $p$ az elektronok impulzusa, amit így már könnyen kiszámíthatunk: $\begin{array}{c}{\displaystyle p=m\cdot v=\frac{h}{{\lambda }_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">elektron</span>}}}=\frac{6\mathrm{,}63\cdot {10}^{-34}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">J s</span>}}{{10}^{-11}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}=6\mathrm{,}63\cdot {10}^{-23}\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg m</span>}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}\mathrm{.}}\end{array}$ Ha a fenti képletben lévő $m$ tömeget az elektron nyugalmi tömegének tekintjük, akkor az elektron sebességére $\begin{array}{c}{\displaystyle v=\frac{p}{m}=\frac{6\mathrm{,}63\cdot {10}^{-23}\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg m</span>}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}}{9\mathrm{,}1\cdot {10}^{-31}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}}=7\mathrm{,}29\cdot {10}^7\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}}\end{array}$ értéket kapunk, ami a fénysebességnek közel negyedrésze. Ha az elektron energiáját egyszerűen az $\frac{1}{2}m{v}^2$ mozgási energiaként számítjuk ki (vagy használhatjuk a $\frac{p^2}{2m}$ összefüggést is), akkor az elektron mozgási energiájára a következő értéket kapjuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{1}{2}m{v}^2=\frac{p^2}{2m}=\frac{1}{2}\left(9\mathrm{,}1\cdot {10}^{-31}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">kg</span>}\right){\left(7\mathrm{,}29\cdot {10}^7\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}\right)}^2\approx 2\mathrm{,}4\cdot {10}^{-15}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">J</span>}=15\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">keV</span>}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. Egy százalékon belül azonos eredményre jutunk akkor is, ha a mozgási energiát relativisztikusan számoljuk: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">mozg.</span>}}=\frac{m{c}^2}{\sqrt[]{1-\frac{v^2}{c^2}}}-m{c}^2=\sqrt[]{p^2{c}^2+{\left(m{c}^2\right)}^2}-m{c}^2\approx 2\mathrm{,}4\cdot {10}^{-15}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">J</span>}=15\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">keV</span>}\mathrm{.}}\end{array}$   $b)$ Az ugyanekkora (10 pm) hullámhosszúságú fotonok energiája: $\begin{array}{c}{\displaystyle E_{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">foton</span>}}=h\cdot f=h\cdot \frac{c}{\lambda }=\left(6\mathrm{,}63\cdot {10}^{-34}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">Js</span>}\right)\cdot \frac{3\cdot {10}^8\frac{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}{\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">s</span>}}}{{10}^{-11}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">m</span>}}\approx 2\cdot {10}^{-14}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">J</span>}=125\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">keV</span>}\mathrm{.}}\end{array}$   Megjegyzés. A feladat $a)$ és $b)$ része egymástól függetlenül is megoldható.   $c)$ A mikroszkópoktól elvárjuk, hogy ne tegyék tönkre a preparátumokat, amelyeket bennük vizsgálunk. Tudományosabban megfogalmazva az elvárás az, hogy a mérőműszer minél kevésbé befolyásolja a vizsgálandó tárgyat, jelenséget. Ezért az elektronmikroszkóp látszik alkalmasabbnak, mert annak kisebb energiájú elektronokra van szüksége, mint a fénymikroszkópnak. Megállapíthatjuk azonban, hogy hiába kisebb az elektronok energiája az ugyanakkora hullámhosszúságú fotonokéhoz képest, a $2\mathrm{,}4\cdot {10}^{-15}\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">J</span>}=15\text{<span style="font-weight: normal;font-style: normal;">keV</span>}$ energiájú elektronok is nagy rombolást tudnak végrehajtani (főleg az atomok külső és középső elektronhéjain), tudományosan megfogalmazva ezek az elektronok rugalmatlanul szóródnak az atomi elektronokon. Ezért az elektronhéjak mintázatát még nem sikerült közvetlen módon megfigyelnünk. A 10 pm hullámhosszúságú fotonok a kemény röntgensugárzás tartományába esnek (energiájuk 125 keV körüli). Még nem találták meg annak a módját, hogy ezeket a röntgensugarakat fókuszálják, vagyis mai tudásunk szerint röntgenlencsék, és így röntgenmikroszkópok sem léteznek.