A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. A 2017. májusi emelt szintű érettségi feladatsor egyik feladata a következő volt:
8. b) Az egységnyi oldalú szabályos háromszög minden csúcsánál behúztunk egy-egy szögharmadoló egyenest, így az 1. ábrán látható szabályos háromszöget kaptuk.
1. ábra Számítsa ki a háromszög oldalának hosszát!
A hivatalos javítási-értékelési útmutató három különböző megoldást közölt a feladatra, ezek megtekinthetők pl. a címen.
M1. Az első megoldás az háromszögben felírt két szinusztétel segítségével határozza meg a oldal hosszát (2. ábra).
2. ábra
M2. A második megoldásban egy szinusztétel és területszámítás segítségével érünk célt. ; és a szabályos háromszög területéből az oldalának hossza már számítható.
M3. A harmadik megoldásban szinusztételek többszöri alkalmazásával meghatározzuk a , majd a , és szakaszhosszakat, ebből a szabályos háromszög oldalhossza már számítható.
A javítási útmutatóban a megoldások végén a következő megjegyzés szerepel: ,,Addíciós tételek felhasználásával bizonyítható, hogy .'' Jelen cikkben egyrészt elvégezzük ezt az addíciós tételek segítségével történő bizonyítást, másrészt további elemi geometriai bizonyításokat mutatunk a szabályos háromszög oldalát meghatározó egyenlőségre.
Megjegyzés. Az egyenlőség igazolása addíciós tételek segítségével. A bizonyításban felhasználjuk M3. részeredményeit: | | valamint alkalmazzuk a helyettesítést:
Ezzel igazoltuk az egyenlőséget.
M4. A és háromszögek hasonlóak (szögeik , , ), így , azaz . A egyenes a középpontú egység sugarú kört -ben metszi, . , így az háromszög egyenlő szárú, és . Az és háromszögek hasonlóak (szögeik megegyeznek, 3. ábra), ebből , azaz . Az egyenes szögfelezője -nek, így az háromszögben felírható a szögfelező-tétel: Innen , amiből a fent kapott miatt , azaz következik.
3. ábra
Megjegyzés. A összefüggés az háromszögben felírt szögfelező-tételből is megkapható, ha felhasználjuk az és háromszögek hasonlóságát:
A következő bizonyítás előtt segédlépésként vegyük fel az egység sugarú körbe írt szabályos 18-szög oldalait. Az előző megoldás alapján (4. ábra). A szabályos sokszög szimmetriatulajdonságából következik, hogy átlója és oldala párhuzamos.
4. ábra
M5. Felmérjük -ra -n túl -t, és azt fogjuk igazolni, hogy . egyenlő szárú háromszög, , ezért és párhuzamosak, és az , , pontok egy egyenesbe esnek. egyenlő szárú trapéz () és nem húrtrapéz, ezért paralelogramma, és így . Az háromszög egyenlő szárú, Továbbá (), így , azaz , tehát .
M6. Ismét szükségünk van a szabályos 18-szög oldalainak felvételére (, pontok). Felmérjük -re -n túl -t, és azt fogjuk igazolni, hogy (5. ábra).
5. ábra -os szárszögű egyenlő szárú háromszög, ezért és párhuzamos -vel. Így Az és tükrös helyzetű a egyenesre, ezért , , és így , , egy egyenesre esik. szabályos háromszög (pl. és bezárt szögük ), így , , tehát .
Megjegyzés. Ha már megkaptuk, hogy , , egy egyenesre esik, akkor a megoldás befejezésére több lehetőség is kínálkozik. Például a háromszög szabályossága abból is következik, hogy szögei -osak; vagy azt is megmutathatjuk, hogy paralelogramma.
M7. Felvesszük a szabályos 18-szög oldalait és az előző megoldásbeli pontot. Jelölje és metszéspontját (6. ábra). Az négyszög rombusz, mivel és oldalai párhuzamosak és egyenlők, és velük azonos hosszúságú az oldal is. Így , valamint , és párhuzamosak ( váltószögek.)
6. ábra Azt fogjuk igazolni, hogy paralelogramma. A szakasz hossza legyen . Felmérjük -ra -n túl -t, így a szabályos háromszöget kapjuk ( és a közbezárt szögük ). A és háromszögek egybevágók, mert és oldalaik -os szöget zárnak be, így . Mivel az és háromszögek egybevágók (megegyezik és oldaluk és a közbezárt szögük ), így , azaz szintén. A négyszög egyenlő szárú trapéz ( és párhuzamosak, ) és nem húrtrapéz, ezért paralelogramma. Így , azaz .
Megjegyzések. 1. A megoldás során más utakat is követhetünk, bár ezek elvileg nem nagyon különböznek. Például a négyszögről szögeinek kiszámításával is igazolhatjuk, hogy paralelogramma. Egy másik lehetőség: a körüli -os forgatás a háromszöget a háromszögbe viszi, ezért szabályos háromszög. , és ekkor ráismerhetünk az és paralelogrammákra: az , , szakaszok párhuzamosak és egyenlő hosszúak. 2. A háromszög konstrukciójából és a és háromszögek egybevágóságából következik, hogy | |
A háromszög konstrukciója nélkül is igazolhatjuk a fenti 2. megjegyzésből adódó segédállítást: az háromszögben szögfelező.
Bizonyítás: -ból párhuzamost húzunk -vel, ez -t -ben metszi, és szögfelezője az szögnek. (Azt kell megmutatnunk, hogy és egybeesik.) Jelölje a szakaszok hosszát , , . Az háromszögben (párhuzamos szelők tétele), a háromszögben hasonlóan . A két egyenletből következik, hogy ; azaz ' egybeesik a szögharmadoló talpponttal.
M8. A szabályos 18-szög oldalai és felvétele után ismét azt igazoljuk, hogy paralelogramma. A fenti segédállítás miatt (az háromszögben szögfelező) és párhuzamosak, M7.-ből ismert és párhuzamossága. paralelogramma, így , azaz . M9. Forgassuk el a pont körül pozitív irányban -kal az háromszöget, így az háromszöget kapjuk, ahol (7. ábra).
7. ábra A forgatás szöge és iránya miatt és párhuzamosak. A négyszög húrnégyszög, mert az szakasz -ból és -ből is -os szögben látszik ( és ugyanabban a félsíkban vannak -hez képest). Tehát (kerületi szögek tétele), vagyis . Emiatt párhuzamos -vel, így a négyszögnek két párhuzamos oldalpárja van, vagyis paralelogramma. Tehát vagyis .
Megjegyzés. Persze ismét követhetünk más utakat is. Például ha már tudjuk, hogy a húrnégyszög, akkor ebben az húrhoz -os kerületi szög tartozik, így ugyanekkora kerületi szög tartozik a húrhoz is. Ezért , és szintén. Innen pedig már következik, hogy paralelogramma.
|