Kezdőlap


Cím:	Matematika és fizika totó megoldása
Füzet:	2017/december, 566 - 570. oldal	PDF \| MathML
Hivatkozás(ok):	2017/december: Matematika és fizika totó

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

¹
A telitalálatos szelvény:

\begin{matrix} 1,2,2, 1,X,2, X,2,1, 2,2,2, X,X. \end{matrix}

A legtöbb (13) találatot Argay Zsolt (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.), Beke Csongor (Budapest, Békásmegyeri Veres Péter Gimn., 10. évf.), Hervay Bence (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 9. évf.), Márton Dénes (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.), Molnár Bálint (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 10. évf.), Saár Patrik (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.), Szabó Dávid (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.), és Szabó Kristóf (Budapesti Fazekas M. Gyak. Ált. Isk. és Gimn., 11. évf.), érte el.
Az alábbiakban rövid útmutatást adunk a feladatok megoldásához.

1. Az egyenletet

3 \cdot 2^{m} = (n - 1) (n + 1)

alakba írva,

n - 1

és

n + 1

közül az egyik egy 2-hatvány, a másik pedig egy 2-hatvány háromszorosa, ez utóbbit jelölje

k

. Ha

k = 3

, akkor csak

n - 1 = 1

és

n + 1 = 3

lehetséges, ekkor

(n, m) = (2,0)

. Ha

k = 6

, akkor

n - 1 = 4

és

n + 1 = 6

, vagy

n - 1 = 6

és

n + 1 = 8

. Két újabb megoldást kaptunk:

(n, m) = (5,3)

;

(7,4)

. Ha

k = 3 \cdot 2^{t}

, ahol

t \geq 2

, akkor

3 \cdot 2^{t} \pm 2

osztható 2-vel, de nem osztható 4-gyel. Mivel azonban értéke nagyobb 2-nél, így nem lehet 2-hatvány. Tehát más megoldás nincs.

2. A víz sebessége 20 centiméternyi esés után kb. 2 m/s lesz, a kifolyási sebességnél mintegy 33-szor nagyobb. Emiatt a vízsugár átmérője

\sqrt[]{33}

-szor kisebb, mint a csap belső átmérője, kb. 2 mm nagyságú lesz.
A

d

átmérőjű vízsugár akkor szakadhat szét bizonyos

h

távolságonként

R

sugarú cseppekre, ha a csepp felülete nem nagyobb, mint a ,,vízhenger'' felülete, határesetben éppen egyenlő azzal:

\begin{matrix} 4 R^{2} π < d π h, \end{matrix}

miközben a térfogat nem változik:

\begin{matrix} \frac{4 R^{3} π}{3} = \frac{d^{2}}{4} π h . \end{matrix}

Ebből a két egyenletből a csepp átmérőjére

2 R = \frac{3}{2} d = 3

mm adódik. Ez az érték csak nagyságrendi becslésnek tekinthető; a folyadék cseppekre szakadása meglehetősen összetett, a fentebb leírtaknál sokkal bonyolultabb probléma.

3. A Héron-képletttel:

t_{A B C} = \sqrt[]{21 \cdot 6 \cdot 7 \cdot 8} = 84

. Mivel

\begin{matrix} P A U ∢ = 180^{\circ} - C A B ∢, \end{matrix}

ezért a trigonometrikus területképlet alapján

t_{P A U} = t_{A B C}

. Hasonlóan,

t_{R B Q} = t_{T C S} = t_{A B C}

. A kérdéses terület tehát:

t_{P Q R S T U} = 15^{2} + 14^{2} + 13^{2} + 4 \cdot 84 = 926

4. Az üreg (anyaghiány) úgy vehető figyelembe, mint egy negatív tömegű, kisebb gömb a tömör, homogén gömb belsejében. Minél messzebb helyezkedik el ez a negatív tömegű gömb a forgástengelytől, annál kisebb lesz az egész rendszer tehetetlenségi nyomatéka.

5. Legyen

p

egy megfelelő prím. Ekkor

\frac{1}{p} = 0, x \bar{z}

, ahol

x

egy

r

-jegyű rész,

z

pedig egy hétjegyű. Ekkor

\frac{10^{r}}{p} - x = 0, \bar{z}

. Ebből

\begin{matrix} \frac{10^{r}}{p} - x = \frac{z}{10^{7} - 1} . \end{matrix}

Rendezve:

(10^{7} - 1) 10^{r} = p (z + (10^{7} - 1) x)

. Mivel

p

prím, ezért osztója

(10^{7} - 1)

-nek vagy

10^{r}

-nek. Könnyen látható, hogy

\frac{999 999}{4649} = 3 \cdot 237

, tehát

p

értéke 2, 5, 3, 4649 vagy 239 lehet. A 2, 3, és az 5 nem jó, a 239 igen.

6. A

h = 20

méter szintkülönbségű mozgólépcsőn összesen

n = 80

lépcsőfok található. Ha mindegyiken két

m = 70

kg tömegű ember áll (a gyakorlatban ez nem szokott előfordulni, de elvben elképzelhető), akkor a felszállításuk során

W = 2 m g h n \approx 2

MJ munkát kell végezzen a villanymotor. A mozgólépcső sebessége hozzávetőlegesen 1 m/s, tehát

t \approx 40

s alatt érnek fel az emberek. A szükséges teljesítmény becsült értéke:

P = W / t \approx 50

kW. (A becslés során nem vettük figyelembe a súrlódási veszteségeket és a motor 1-nél kisebb hatásfokát, viszont a lépcsőn egyszerre elférő emberek számát és össztömegét feltehetően túlbecsültük.)

7. Helyezzük el az oldalakat az ábra szerint. Legyen

C P ⊥ O P

. Ekkor

O P = D C / 2 = 7 / 2

. A Pitagorasz-tételt felírva az

O P C

és a

B P C

derékszögű háromszögekre:

\begin{matrix} C P^{2} = O C^{2} - O P^{2} és C P^{2} = B C^{2} - P B^{2} . \end{matrix}

Felhasználva, hogy

O C = O B = r

O P = 7 / 2

B C = 20

és

O B - O P = P B

, kapjuk, hogy

\begin{matrix} r^{2} - {(7 / 2)}^{2} = 20^{2} - {(r - 7 / 2)}^{2} . \end{matrix}

Ebből

r = 16

adódik.

8. A gumiabroncs túlnyomásának és a talajjal érintkező gumifelületnek a szorzata megegyezik a talajra ható erővel. Ez az erő a kerékpárnál (a kerékpárost is beleszámítva) kb. tízszer-hússzor kisebb, mint egy megterhelt autó súlya, a talajjal érintkező gumifelület viszont több nagyságrenddel kisebb az autógumi megfelelő felületénél. Emiatt állíthatjuk, hogy a kerékpár tömlőjében nagyobb a nyomás, mint az autók gumiabroncsában. (Az ajánlott túlnyomások: országúti kerékpárnál kb. 6 bar, a személygépkocsik keréknyomása pedig kb. 2 bar.)

9. Jelöljük a két eredeti szám egymás utáni számjegyeit

A

B

C

D

E

, illetve

F

G

H

K

betűvel, ekkor a szóban forgó összeadások:

Mivel

x < 10^{4}

, azért (1)-nek tízezres oszlopa szerint

A

értéke 2 vagy 3. Így a (2)-nek 1-es helyi értékű oszlopa alapján

A + F = 10

, tehát

F

értéke 8 vagy 7, ezért (1)-nek ezres oszlopából mindenképpen van tízes átvitel a tízezresbe, éspedig 1, hiszen a

B C D E

szám is kisebb, mint

10^{4}

. Így

A + 1 = 3

A = 2

F = 8

.
Ugyanezzel a gondolatmenettel (2)-ből indulva

E

értéke 3 vagy 4,

K

értéke 7 vagy 6, a (2) ezres oszlopából nincs átvitel,

E = 4

K = 6

. Mindezeket beírva feladatunk egyszerűsödik:

Innen

B

csak 4 vagy 5 lehet, emiatt

G = 9 - B

is 4 vagy 5, tehát

(1')

-ből

C + G \geq 10

, és ezért

B = 4

G = 5

. Így

(2')

-ből

D = 1

és

(1')

alapján

H = 7

. Ekkor

(1')

szerint

C

csak 6 lehet, ez a

(2')

-t is kielégíti, tehát a feladat két kiindulási száma 24 614 és 8576, a kérdéses összeg pedig 43.

10. A Földre zuhanó Hold gravitációs helyzeti energiájának megváltozása először mozgási energiává, majd hővé alakulna:

| Δ E_{grav.} | = Q

. Felírhatjuk, hogy

\begin{matrix} Δ E_{grav.} = γ m_{Föld} \cdot m_{Hold} (\frac{1}{d} - \frac{1}{r}) \approx - γ m_{Föld} \cdot m_{Hold} / r, \end{matrix}

ahol

d

a Föld és a Hold jelenlegi távolsága,

r

pedig a két égitest átlagos távolsága az ütközés után (ez utóbbit hozzávetőlegesen a Föld sugarával közelíthetjük), másrészt

Q = c (m_{Föld} Δ T_{Föld} + m_{Hold} \cdot Δ T_{Hold}) \approx c \cdot m_{Föld} \cdot Δ T_{Föld}

, hiszen a Föld tömege lényegesen nagyobb, mint a Hold tömege. A fenti összefüggésekből (ha az átlagos fajhőt nagyságrendileg pl. a vas, a nikkel vagy a gránit fajhőjével egyenlőnek tekintjük)

\begin{matrix} Δ T_{Föld} \approx \frac{γ m_{Hold}}{c \cdot r} \approx 500 - 700 K. \end{matrix}

11. Messe a

B A C ∢ = α

, illetve

A B C ∢ = β

szög szögfelezője a szemközti oldalt

A_{1}

-ben, illetve

B_{1}

-ben, és jelöljük ezeknek az

A B

-re eső vetületét

A_{2}

-vel, illetve

B_{2}

-vel. Az

A_{1}

B_{1}

pontnak a felezett szög másik szárára való vetülete

C

, ezért

A_{1} C = A_{1} A_{2}

, (hiszen a szögfelező pontjai ugyanakkora távolságra vannak a szög két szárától), tehát az

A_{1} C A_{2}

háromszög egyenlő szárú. Így

A_{1} C A_{2} ∢ = α / 2

, hiszen

B A_{1} A_{2} ∢ = α

. Hasonlóképpen

B_{1} C B_{2} ∢ = β / 2

, és így

\begin{matrix} A_{2} C B_{2} ∢ = 90^{\circ} - (\frac{α}{2} + \frac{β}{2}) = 45^{\circ}, \end{matrix}

tehát az

A_{2} B_{2}

szakasz

45^{\circ}

-os szögben látszik a

C

-ből.

12. A neutronnak van mágneses nyomatéka, jóllehet semleges részecske. Ennek oka, hogy a neutron töltéssel és spinnel rendelkező kvarkokból áll, amelyek még mozognak is az összetett rendszerben, tehát köráramokat képviselnek. A neutron mágneses nyomatéka a spinjével ellentétes irányú, mert ‐ a mérések szerint ‐ az ún. giromágneses faktora negatív:

- 3, 82

13. Mivel

a

b

c

egy-egy számrendszer alapszámát jelöli, azért mindegyikük pozitív egész, és a felhasznált számjegyek alapján

a \geq 4

b \geq 5

c \geq 10

. A számrendszer egységeit kiírva a következő egyenletrendszert kapjuk:

\begin{matrix} (a^{2} + 1) + (2 b^{2} + 1) & = (3 c + 9) + 9, \\ (2 a^{2} + 3) + (4 b^{2} + 4) & = (7 c + 7) + 8. \end{matrix}

A szokásos rendezés után

\begin{matrix} a^{2} + 2 b^{2} & = 3 c + 16, \\ 2 a^{2} + 4 b^{2} & = 7 c + 8. \end{matrix}

A második egyenletből kivonva az első kétszeresét

c = 24

és

a^{2} + 2 b^{2} = 88

adódik.
Az egyenletből leolvashatjuk, hogy

a^{2}

páros, tehát 4-gyel is osztható:

\begin{matrix} b^{2} = 44 - \frac{a^{2}}{2}, ahol \frac{a^{2}}{2} páros . \end{matrix}

b^{2} < 44

, s mivel

b \geq 5

és páros, így

b

csak

6

lehet, és akkor

a = 4

13 + 1

. Az

R

sugarú vízcseppben a felületi feszültségből származó

2 α / R

görbületi nyomás növeli, a felületi töltésekre ható elektromos erő pedig csökkenti a csepp belsejében fellépő nyomást. Az elektromos húzófeszültség (negatív nyomás) nagysága

ε_{0} E^{2} / 2

, ahol

E = (n e) / (4 π ε_{0} R^{2})

n

elemi töltést tartalmazó vízcsepp felületénél kialakuló elektromos térerősség (az

1 / 2

faktor abból ered, hogy a gömbön belül nulla a tér, azon kívül pedig

E

.). A cseppben a nyomás akkor egyezik meg a légköri nyomással, ha a felületi feszültségből származó és az elektromos térből származó nyomások éppen kiegyenlítik egymást:

\begin{matrix} \frac{2 α}{R} = \frac{ε_{0}}{2} {(\frac{n e}{4 π ε_{0} R^{2}})}^{2} . \end{matrix}

Ennek megfelelően

n

százmilliós nagyságrendű, tehát az Avogadro-számnál lényegesen kisebb, de a néhány száznál sokkal nagyobb szám.

¹A kérdések az 542. oldalon találhatók.