Cím:	Az 58. Nemzetközi Matematikai Diákolimpia feladatai
Füzet:	2017/szeptember, 324 - 325. oldal	PDF  |  MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre. 1 Első nap   1. feladat. Minden $a_0>1$ egész számra definiáljuk az $a_0\mathrm{,}{a}_1\mathrm{,}{a}_2\mathrm{,}\text{...}$ sorozatot a következőképpen. Minden $n\ge 0$-ra legyen $\begin{array}{c}{\displaystyle a_{n+1}=\{{\displaystyle \begin{array}{cc}\hfill {\displaystyle \sqrt[]{a_n}\mathrm{,}}& {\displaystyle \text{ha <math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML"><mrow><mroot><mrow><mrow><msub><mrow><mi>a</mi></mrow><mrow><mi>n</mi></mrow></msub></mrow></mrow><mrow></mrow></mroot></mrow></math> egész szám,}}\hfill \\ \hfill {\displaystyle a_n+3}& {\displaystyle \text{különben.}}\hfill \end{array}}}\end{array}$ Határozzuk meg az összes olyan $a_0$ értéket, amihez van olyan $A$ szám, amire $a_n=A$ teljesül végtelen sok $n$-re.   2. feladat. Legyen $\text{R}$ a valós számok halmaza. Határozzuk meg az összes olyan $f:\text{R}\to \text{R}$ függvényt, amire minden valós $x$, $y$ szám esetén teljesül $\begin{array}{c}{\displaystyle f\left(f\left(x\right)f\left(y\right)\right)+f\left(x+y\right)=f\left(xy\right)\mathrm{.}}\end{array}$   3. feladat. Egy vadász és egy láthatatlan nyúl egy játékot játszik az euklideszi síkon. A nyúl $A_0$ kiindulópontja és a vadász $B_0$ kiindulópontja egybeesnek. A játék $\left(n-1\right)$-edik menete után a nyúl az $A_{n-1}$ pontban, a vadász a $B_{n-1}$ pontban van. A játék $n$-edik menetében a következő három dolog történik, ebben a sorrendben: (i) A nyúl láthatatlan módon egy olyan $A_n$ pontba megy, amire $A_{n-1}$ és $A_n$ távolsága pontosan 1. (ii) Egy nyomkövető eszköz megad egy $P_n$ pontot a vadásznak. Az eszköz által a vadásznak nyújtott információ mindössze annyi, hogy $P_n$ és $A_n$ távolsága legfeljebb 1. (iii) A vadász látható módon egy olyan $B_n$ pontba megy, amire $B_{n-1}$ és $B_n$ távolsága pontosan 1. Igaz-e, bárhogyan mozogjon is a nyúl, és bármilyen pontokat jelezzen is a nyomkövető eszköz, hogy a vadász mindig meg tudja úgy választani a mozgását, hogy ${10}^9$ menet után a távolság közte és a nyúl között legfeljebb $100$ legyen?   Második nap   4. feladat. Legyenek $R$ és $S$ különböző pontok egy $\Omega$ körön, amikre $RS$ nem átmérője a körnek. Legyen $\ell$ az $\Omega$ körhöz a $R$ pontban húzott érintőegyenes. Legyen $T$ az a pont, amire teljesül az, hogy $S$ az $RT$ szakasz felezőpontja. Legyen $J$ egy olyan pont az $\Omega$ kör rövidebb $RS$ ívén, amire teljesül az, hogy a $JST$ háromszög $\Gamma$ körülírt köre az $\ell$ egyenest két különböző pontban metszi. Legyen $\Gamma$ és $\ell$ metszéspontjai közül az $A$ pont az, ami közelebb van az $R$-hez. Az $AJ$ egyenes $\Omega$-val vett második metszéspontja legyen $K$. Bizonyítsuk be, hogy a $KT$ egyenes érintője a $\Gamma$ körnek.   5. feladat. Adott egy $N\ge 2$ egész szám. $N\left(N+1\right)$ futballjátékos, akik között nincs két egyenlő magasságú, valahogyan felállnak egy sorban. Az edző ki akar hagyni ebből a sorból $N\left(N-1\right)$ játékost úgy, hogy a megmaradt $2N$ játékos alkotta sor játékosaira teljesüljön az alábbi $N$ feltétel: (1) senki nem áll a legmagasabb és a második legmagasabb játékos között, (2) senki nem áll a harmadik legmagasabb és a negyedik legmagasabb játékos között, $⋮$ ($N$) senki nem áll a két legalacsonyabb játékos között. Bizonyítsuk be, hogy ez mindig megtehető.   6. feladat. Egy egész számokból álló $\left(x\mathrm{,}y\right)$ rendezett párt primitív rácspontnak nevezünk, ha $x$ és $y$ legnagyobb közös osztója 1. Ha adott primitív rácspontok egy véges $S$ halmaza, bizonyítsuk be, hogy van olyan $n$ pozitív egész, és vannak olyan $a_0\mathrm{,}{a}_1\mathrm{,}\text{...}\mathrm{,}{a}_n$ egészek, hogy minden $\left(x\mathrm{,}y\right)$  $S$-beli pontra teljesül $\begin{array}{c}{\displaystyle a_0{x}^n+a_1{x}^{n-1}y+a_2{x}^{n-2}{y}^2+\cdots +a_{n-1}x{y}^{n-1}+a_n{y}^n=1.}\end{array}$ 1Az olimpia honlapja: http://www.imo2017.org/.