Kezdőlap


Cím:	Bernoulli algebrai egyenlőtlenségének bizonyítása
Szerző(k):	Varga János
Füzet:	2017/április, 200 - 201. oldal	PDF \| MathML

A szöveg csak Firefox böngészőben jelenik meg helyesen. Használja a fenti PDF file-ra mutató link-et a letöltésre.

A Bernoulli-egyenlőtlenséget Jacob Bernoulli svájci matematikus állította fel. Ez az egyenlőtlenség a matematika egyik legfontosabb tétele, számos összefüggés bizonyításában szerepel segédtételként. Az egyenlőtlenség az alábbi alakú:

\begin{matrix} {(1 + x)}^{n} \geq 1 + n x, \end{matrix}

(1)

ahol

1 + x > 0

, azaz

x > - 1

valós szám, és

n

tetszőleges pozitív egész szám (

n \in N^{+}

). Egyenlőséget akkor kapunk, ha

n = 1

vagy

x = 0

Egy egyszerű bizonyítás. A bizonyítás előnye, hogy nem igényel komoly matematikai ismereteket, elegendő csupán a mértani sorozat összegképletének ismerete, ami viszont középszintű érettségin is követelmény.
Vegyük az

a_{1} = 1

a_{2} = 1

a_{3} = 1

...

a_{n} = 1

n

elemű sorozatot. Ezt tekinthetjük olyan számtani sorozatnak, melynél a különbség

d = 0

, vagy olyan mértani sorozatnak is, amelynél a hányados

q = 1

. A sorozat első

n

elemének összege

n

. Ha azonban a mértani sorozatnak tekintett fenti sorozat esetén a hányados értékét

x \geq 0

értékkel megnöveljük, akkor

q = 1 + x \geq 1

lesz. A mértani sorozatnak ‐ a változatlan elsőt kivéve ‐ mindegyik eleme, így a sorozat összege is növekedni fog, tehát a mértani sorozat első

n

tagjának összegére vonatkozó képlet alapján

\begin{matrix} S_{n} = \frac{a_{1} (q^{n} - 1)}{q - 1} = \frac{1 \cdot [{(1 + x)}^{n} - 1]}{(1 + x) - 1} \geq n, \end{matrix}

amelyből rendezés után éppen a Bernoulli-egyenlőtlenség adódik.
Ha

- 1 < x < 0

, akkor

0 < q = 1 + x < 1

, vagyis a mértani sorozat csökkenő, így a fentiekkel megegyező gondolatmenet alapján írhatjuk, hogy

\begin{matrix} \frac{{(1 + x)}^{n} - 1}{(1 + x) - 1} \leq n, \end{matrix}

amelyből rendezés után ismét az (1) egyenlőtlenség adódik. (Az egyenlőtlenség iránya azért fordul meg, mert a tört eltüntetésekor az egyenlőtlenség mindkét oldalát